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    多廂矩形渡槽槽身彈性穩(wěn)定分析的梁殼復(fù)合有限條法

    2011-07-12 06:27:04徐建國
    水利水運工程學(xué)報 2011年3期
    關(guān)鍵詞:渡槽勢能拉桿

    徐 偉,徐建國,王 博

    (1.鄭州大學(xué) 土木工程學(xué)院,河南 鄭州 450001;2.鄭州大學(xué) 水利與環(huán)境學(xué)院,河南 鄭州 450001)

    多廂矩形渡槽邊墻、隔墻兼做縱梁,沿槽身縱向一定距離布有側(cè)肋、橫梁及拉桿,具有整體性好、剛度大、輸水流量大等優(yōu)點,是南水北調(diào)中線輸水渡槽主選結(jié)構(gòu)形式之一.隨著高強混凝土及預(yù)應(yīng)力技術(shù)的應(yīng)用,槽身邊墻、隔墻及底板的高厚比、寬厚比變得越來越大,在多種荷載組合作用下,橫截面內(nèi)存在較大的縱向壓力及彎矩,在設(shè)計、施工乃至運行過程中,應(yīng)充分考慮槽身穩(wěn)定性問題[1].

    有限條法橫向位移采用插值多項式函數(shù),縱向采用解析函數(shù)代替常規(guī)有限元法的離散化方法,降低了結(jié)構(gòu)維數(shù),單元劃分簡單,輸入數(shù)據(jù)少,適合于各種邊界條件和加載條件,精度在求解板、殼和橋梁結(jié)構(gòu)的靜、動力計算及穩(wěn)定分析中已得到驗證[2-5],不足之處在于對橫截面形狀不規(guī)則的復(fù)雜結(jié)構(gòu)難以進(jìn)行條元劃分和結(jié)構(gòu)計算,即使結(jié)構(gòu)橫截面形狀規(guī)則,若條元內(nèi)有橫向加勁肋或條元間有橫向連接拉桿,常規(guī)有限條法也較難解決.文獻(xiàn)[6]采用梁殼復(fù)合有限條法計算渡槽自振特性,解決了條元內(nèi)橫向加勁肋及條元間橫向連接拉桿的問題.針對渡槽槽身橫截面形狀規(guī)則的特點,本文基于最小勢能原理,探討應(yīng)用梁殼復(fù)合有限條法分析多廂矩形渡槽槽身的彈性穩(wěn)定問題.相對靜力分析,彈性穩(wěn)定分析時結(jié)構(gòu)的總勢能除彈性勢能及外力勢能外,還包括附加應(yīng)變能[7].

    1 殼條的附加應(yīng)變能

    槽身彈性穩(wěn)定分析屬于小撓度問題,不考慮殼條中面位移引起的附件應(yīng)變.彎曲引起的平面附加應(yīng)變?yōu)椋?]:

    式中:w為殼條的彎曲撓度.

    式中:t為殼條的厚度;Nx,Ny為殼條中面內(nèi)拉壓力;Nxy,Nyx為殼條中面內(nèi)剪力.

    彈性體內(nèi)的應(yīng)變能等于變形過程中外力所做的功,因此可通過計算中面內(nèi)力在附加應(yīng)變上所做的功來求得彎曲引起的附加應(yīng)變能[8]:

    引入形函數(shù)表示的殼條彎曲撓度[6],則有:

    式中:δs,m為殼條節(jié)線位移參數(shù)列陣[6].兩端簡支時,矩陣 gs,m的具體形式如下:

    式中:km=mπ/a;a,b為殼條長度和寬度;x,y為殼條局部坐標(biāo).由式(3)和(4)可得殼條的幾何剛度矩陣:

    其基本單位子矩陣為:

    S為彈性穩(wěn)定分析時殼條初始平面應(yīng)力矩陣:

    2 板內(nèi)加勁肋的影響

    槽身側(cè)肋、橫梁為邊墻、底板的板內(nèi)加勁肋,彈性穩(wěn)定分析時,需考慮其對整體結(jié)構(gòu)幾何剛度的影響.用殼條節(jié)線位移參數(shù)計算殼條內(nèi)梁單元節(jié)點位移的公式為[6]:

    式中:T為位移轉(zhuǎn)換矩陣,Tim,Tjm是與梁單元節(jié)點i,j對應(yīng)的m項位移轉(zhuǎn)換矩陣的子矩陣.

    若空間梁單元在其局部坐標(biāo)系中的幾何剛度矩陣記為kbg,則用殼條節(jié)線位移參數(shù)表示的梁單元附加應(yīng)變能為[9]:

    可得殼條內(nèi)梁單元在殼條節(jié)線位移廣義坐標(biāo)系中的幾何剛度矩陣為:

    3 梁殼復(fù)合有限條總勢能

    由彈性力學(xué)能量原理可求得殼條彈性勢能Us,梁單元的彈性勢能Ub及殼條外力勢能W[6],梁殼復(fù)合有限條總勢能等于彈性勢能、附加應(yīng)變能及外力勢能之和:

    式中:ks為殼條剛度矩陣;為梁單元在殼條節(jié)線位移參數(shù)廣義坐標(biāo)中的剛度矩陣;qe為殼條分布荷載系數(shù);n為一個梁殼復(fù)合有限條中梁單元的個數(shù).

    由式(13)得梁殼復(fù)合有限條的幾何剛度矩陣為:

    4 橫向連接拉桿的處理

    設(shè)編號為H的槽身殼條與拉桿相連,拉桿離散后與殼條相連的梁單元編號為E,節(jié)點為e和f,其中節(jié)點e為殼條節(jié)線上的一點.梁單元E節(jié)點位移與殼條H節(jié)線位移參數(shù)滿足關(guān)系[6]:

    由上式可以看出,對于橫向連接拉桿梁單元E的附加應(yīng)變能可作如下描述:附加應(yīng)變能由3部分組成,即與之相連接的殼條H引起的附加變形勢能、梁單元節(jié)點f引起的附加變形勢能,以及殼條H與梁單元E相互作用引起的附加應(yīng)變能.整體結(jié)構(gòu)計算時,梁單元E的節(jié)點f的位移作為整體結(jié)構(gòu)的單獨自由度來處理.計算所得的矩陣經(jīng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后,將其中的各元素計入整體幾何剛度矩陣相應(yīng)位置.

    5 彈性穩(wěn)定分析的基本方程

    把局部坐標(biāo)系內(nèi)的節(jié)線位移、剛度矩陣及荷載轉(zhuǎn)換到結(jié)構(gòu)整體坐標(biāo)系中去,然后利用編碼法[10]可建立多廂矩形槽槽身整體的位移列陣、剛度矩陣和荷載列陣.設(shè)組集后槽身整體位移列陣為δ,剛度矩陣為K,幾何剛度矩陣為KG,外荷載列陣為F.則整個結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能等于各單元應(yīng)變能之和:

    由最小勢能原理知勢能的一階變分等于0,得彈性穩(wěn)定問題的基本方程:

    彈性穩(wěn)定臨界狀態(tài)的特點是:即使外荷載F=0,結(jié)構(gòu)仍能維持一定的變位,即δ≠0.如果縱向荷載按比例因子λ增加,則如上方程即轉(zhuǎn)換為彈性穩(wěn)定分析的廣義特征值問題[9]:

    6 算例驗證

    6.1 算 例 1

    某矩形薄板,長(a)、寬(b)均為2 m,厚度t為0.2 m,對邊簡支,沿寬度均勻承受60 MPa的縱向壓力,彈性模量為3.25×107MPa,泊松比為0.167.為增強薄板的穩(wěn)定性,可在薄板縱向或橫向布置加勁肋.利用梁殼復(fù)合有限條法,沿寬度劃分為5個殼條,計算不同長寬比時薄板的穩(wěn)定系數(shù),并與鐵摩辛柯解[11]相比較,計算結(jié)果列于表1.

    表1 薄板屈曲系數(shù)Tab.1 Buckling coefficients of thin plate

    可見,本文解與鐵摩辛柯解最大相對誤差為0.036,說明應(yīng)用梁殼復(fù)合有限條法分析加肋薄板的彈性穩(wěn)定是適合的,精度滿足工程計算要求.隨著薄板長寬比的增加,穩(wěn)定系數(shù)逐漸降低,就單根加勁肋而言,縱向加肋效果優(yōu)于橫向加肋.

    6.2 算 例 2

    圖1 槽身橫截面Fig.1 Cross-section of aqueduct

    南水北調(diào)中線雙洎河渡槽初步設(shè)計槽身為預(yù)應(yīng)力兩廂矩形槽,單跨長30 m,設(shè)計水位為6.58 m,兩端簡支.每槽凈寬7.0 m;邊墻凈高 7.9 m,厚 0.6 m;隔墻厚 0.9 m;底板厚0.4 m,沿槽身縱向每隔一段距離布有側(cè)肋、橫梁及拉桿.分別利用梁殼復(fù)合有限條法和ANSYS程序進(jìn)行如表2所示的多工況下槽身的彈性穩(wěn)定分析.應(yīng)用ANSYS程序分析時,采用塊體單元劃分結(jié)構(gòu)[12],并進(jìn)行了單元加密計算,以驗證有限單元法的有效性.利用梁殼復(fù)合有限條法計算時,按照等效荷載法計算節(jié)線處預(yù)應(yīng)力效應(yīng)[13].2種方法計算得出的各工況下槽身彈性穩(wěn)定系數(shù)見表2.

    通過對計算數(shù)據(jù)分析可得如下結(jié)論:

    (1)梁殼復(fù)合有限條法計算多廂矩形槽槽身彈性穩(wěn)定分析時具有與ANSYS程序分析相同的精度,可以作為有限元法的替代方法.

    (2)理論上,計算級數(shù)m取值越大,計算精度越高.但實際計算中,隨著級數(shù)項的增加,計算量也成倍增加,因此級數(shù)m的取值應(yīng)以滿足精度要求為準(zhǔn).算例中m取到25時精度已經(jīng)足夠.

    (3)正常使用時,風(fēng)荷載及人群荷載對槽身內(nèi)有橫向拉桿彈性穩(wěn)定影響不大.

    (4)隨著槽內(nèi)水位的增加,槽身彈性穩(wěn)定系數(shù)降低,但屈曲模態(tài)沒有變化.圖2(a)繪出了工況5一階屈曲模態(tài)的水平面投影,工況2,3,4與之相同.

    (5)圖2(b)繪出了工況1一階屈曲模態(tài)的水平面投影,對比圖2(a)和(b)知:預(yù)應(yīng)力作用不僅降低了槽身彈性穩(wěn)定系數(shù),而且一階屈曲模態(tài)也發(fā)生了變化,說明在預(yù)應(yīng)力逐步作用過程中,槽身結(jié)構(gòu)體系受力狀況發(fā)生了轉(zhuǎn)變.

    (6)各種計算工況下結(jié)構(gòu)自身并無變化,只是荷載情況不同,表2計算結(jié)果的差異主要是由荷載矩陣計算形式不同引起的.

    表2 計算工況及槽身彈性屈曲系數(shù)Tab.2 Working cases and buckling coefficients of aqueduct

    圖2 槽身屈曲模態(tài)Fig.2 Buckling mode of aqueduct

    7 結(jié)語

    應(yīng)用梁殼復(fù)合有限條法計算多廂矩形渡槽槽身彈性穩(wěn)定時,具有單元劃分簡單、數(shù)據(jù)輸入少、計算效率高的優(yōu)點,精度滿足工程要求.算例2所選渡槽為實際工程設(shè)計方案,在正常使用狀況下彈性穩(wěn)定系數(shù)較大,不會發(fā)生失穩(wěn)破壞.施工過程特別是槽身預(yù)應(yīng)力張拉過程中的穩(wěn)定性問題及動力穩(wěn)定性問題應(yīng)作進(jìn)一步研究.

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