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    二五混水平U型設(shè)計(jì)的Lee偏差下界

    2023-07-04 02:52:12李偉汪政紅
    關(guān)鍵詞:下界偏差定理

    李偉,汪政紅

    (中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院,武漢 430074)

    均勻設(shè)計(jì)[1]是一種重要的計(jì)算機(jī)試驗(yàn),它能使試驗(yàn)周期大大縮短從而節(jié)省大量的費(fèi)用.在均勻設(shè)計(jì)的發(fā)展史上,不同的偏差被相繼提出,其中最早使用的是星偏差[1],隨后HICKERNELL提出了Lp-星偏差[2-3],廣泛用于度量連續(xù)型因子設(shè)計(jì)的均勻性,QIN和FANG基于Hamming距離提出了離散偏差[4],用于度量類別型因子設(shè)計(jì)的均勻性,ZHOU基于Lee距離提出了Lee偏差[5].Lee偏差具有優(yōu)良的性質(zhì),克服了離散偏差中使用Hamming距離僅能判斷兩個(gè)因子的取值是否相等的弱點(diǎn).

    偏差的下界一直是人們關(guān)心的問(wèn)題,在使用門(mén)限接受法搜索近似均勻設(shè)計(jì)時(shí),下界起著關(guān)鍵作用,因此許多文獻(xiàn)都在研究各種設(shè)計(jì)的各種偏差的下界. 眾所周知,在Lee偏差的表達(dá)式中,二三水平因子取不同水平時(shí)的表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單,因此此類研究也較多,如文獻(xiàn)[6-8],而對(duì)三水平以上的因子設(shè)計(jì)的研究,尤其是既有偶數(shù)水平因子又有奇數(shù)水平因子的研究較少.本文試圖以二五混水平U型設(shè)計(jì)為例,研究Lee偏差的較高水平下的混水平設(shè)計(jì)的下界問(wèn)題.

    1 基本概念及符號(hào)介紹

    設(shè)U(n;q1q2…qm)表示具有n次試驗(yàn),m個(gè)因子的U型設(shè)計(jì),第i個(gè)因子具有qi個(gè)水平,且qi個(gè)不同水平在每列出現(xiàn)的次數(shù)相同,i=1,2,…,m.令U(n;q1q2…qm)為全體該類設(shè)計(jì)構(gòu)成的集合.任意一個(gè)設(shè)計(jì)d∈U(n;q1q2…qm)用矩陣X=(xik)n×m表示,對(duì)于第i列中的元素,取自集合{0,1,…,qi-1}.若某些qi相同,記該設(shè)計(jì)類為其中有關(guān)系式m1+m2+…+mt=m;若全部qi都相同,即q1=q2=…=qm=q時(shí),該設(shè)計(jì)為對(duì)稱U型設(shè)計(jì),并記該設(shè)計(jì)類為U(n;qm).

    2 主要結(jié)果

    首先定義以下符號(hào),#{A}表示集合A中元素的個(gè)數(shù),

    根據(jù)U型設(shè)計(jì)的定義,結(jié)合文獻(xiàn)[4]中的Lemma1,容易得到如下結(jié)論.

    將(2)式進(jìn)行變形,改寫(xiě)成僅含有參數(shù)φij,τij,αij的形式,有以下結(jié)論.

    證畢.

    文獻(xiàn)[5]利用FANG[9]一文中的方法對(duì)任意混水平U型設(shè)計(jì)給出了Lee偏差的下界(見(jiàn)文中Theorem 4),將這一下界應(yīng)用到設(shè)計(jì)中,有如下引理2.

    引理2 對(duì)任意設(shè)計(jì)有[LD(d)]2≥LB1(d),其中:

    證明根據(jù)定理1和泰勒展式,有:

    利用受控理論中的Schur凸函數(shù)不等式,有:

    證畢.

    引理2和定理2中的下界雖然采用不同的方法得到,但引理2和定理2中使用的核心不等式均為受控理論中的Schur凸函數(shù)不等式,因此二者區(qū)別很小.這兩個(gè)下界均只與n,m1,m2有關(guān),取n=10·i,i=1,2,…,10,m1=1,2,…,50,m2=1,2,…,50,共有25000種情況,發(fā)現(xiàn)在23734種情況下,LB1(d)=LB2(d),即95%的概率下,二者是相同的.

    HU[11]將CHATTERJEE中的Lemma 2做了進(jìn)一步推廣,給出了一個(gè)新的引理(詳見(jiàn)文獻(xiàn)[11]中Lemma 4),并結(jié)合設(shè)計(jì)本身不同行的相遇數(shù),給出了二、三、四混水平U型設(shè)計(jì)的Lee偏差下界.本文使用這一新方法,對(duì)二五混水平U型設(shè)計(jì)的Lee偏差下界進(jìn)行推導(dǎo). 首先將HU文中的Lemma 4推廣為如下引理3.

    引理3 設(shè){x1,x2,…,xn},{y1,y2,…,yn}和{z1,z2,…,zn}是三組非負(fù)實(shí)數(shù),且滿足定義si=axi+byi+czi,i=1,2,…,n,d=ac1+bc2+cc3,其中a>0,b>0,c>0.令s(1),s(2),...,s(l)表示s1,s2,…,sn中所有不同元素的升序排列,k是滿足s(k)≤d/n<s(k+1)的最大整數(shù),則對(duì)于任意正整數(shù)t,有:

    其中p,q為非負(fù)實(shí)數(shù),且滿足p+q=n,ps(k)+qs(k+1)=d.

    結(jié)合引理3和定理1,得到如下定理3.

    證畢.

    定理3給出的下界LB3(d)不僅與n,m1,m2有關(guān),且與當(dāng)前設(shè)計(jì)的相遇數(shù)有關(guān),推測(cè)應(yīng)比引理2中的LB1(d)和定理2中的LB2(d)更精確,后文的數(shù)值案例可以驗(yàn)證這一觀點(diǎn)是正確的.

    推論1 對(duì)任意設(shè)計(jì)d∈U(n;qm),

    (1)當(dāng)q=2時(shí),有:

    3 數(shù)值案例

    將設(shè)計(jì)d的效率記為Eff(d),Eff(d)可表示為L(zhǎng)B(d)/[LD(d)]2,再通過(guò)Eff(d)的值對(duì)設(shè)計(jì)d的優(yōu)劣進(jìn)行評(píng)判.

    例1 考慮以下4個(gè)設(shè)計(jì):d1∈U(10;2555),d2∈U(10;21055),d3∈U(10;25510),d4∈U(10;21255),其中,n=10,m1分別為5,10,5,12;m2分別為5,5,10,5.設(shè)計(jì)矩陣見(jiàn)表1,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表2.

    表1 設(shè)計(jì)d1-d4Tab.1 Design d1 to d4

    表2 d1-d4的Lee偏差平方,下界及效率值Tab.2 Values of squared Lee discrepancy, lower bounds and efficiency for d1 to d4

    由表2可知,設(shè)計(jì)d1,d2,d3,d4的效率Eff(d)都近似等于1,故它們都是近似均勻設(shè)計(jì).注意到,對(duì)這4個(gè)設(shè)計(jì)而言,都有LB1(d)=LB2(d)<LB3(d),可見(jiàn)定理3給出的下界優(yōu)于引理2和定理2給出的下界.顯然,綜合下界LB(d)是最優(yōu)的.

    例2 當(dāng)m1或m2等于0時(shí),即d∈U(n;2m)或d∈U(n;5m),考慮設(shè)計(jì)d5∈U(4;26),d6∈U(5;55),設(shè)計(jì)矩陣見(jiàn)表3,計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表4.

    表3 設(shè)計(jì)d5-d6Tab.3 Design d5 to d6

    表4 d5-d6的Lee偏差平方、下界及效率值Tab.4 Values of squared Lee discrepancy, lower bounds and efficiency for d5 to d6

    由表4可知,按照本文定理4中給出的最新下界,Eff(d5)=Eff(d6)=1,故d5和d6分別為L(zhǎng)ee偏差下的二水平和五水平均勻設(shè)計(jì).注意到,LB1(d5)=LB2(d5)=LB3(d5),LB1(d6)=LB2(d6)<LB3(d6),可見(jiàn),本文給出的下界是緊的,且定理3給出的下界優(yōu)于引理2和定理2給出的下界.顯然,綜合下界LB(d)是最優(yōu)的.

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