基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的卡爾曼濾波目標(biāo)跟蹤算法

石一鳴，張安清，張 琦

(1.91550部隊(duì)，遼寧 大連 116023;2.海軍大連艦艇學(xué)院信息與通信工程系，遼寧大連 116018;3.海軍大連艦艇學(xué)院博士研究生隊(duì)，遼寧大連 116018)

基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的卡爾曼濾波目標(biāo)跟蹤算法

石一鳴1，張安清2，張 琦3

(1.91550部隊(duì)，遼寧 大連 116023;2.海軍大連艦艇學(xué)院信息與通信工程系，遼寧大連 116018;3.海軍大連艦艇學(xué)院博士研究生隊(duì)，遼寧大連 116018)

針對(duì)雜波干擾環(huán)境中的非高斯特性，發(fā)現(xiàn)海雜波噪聲、閃爍噪聲等具有顯著尖峰的非高斯噪聲，可以采用α穩(wěn)定分布建立更符合實(shí)際的噪聲模型。根據(jù)統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理最新理論和技術(shù)，利用p階分?jǐn)?shù)相關(guān)和分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差替代傳統(tǒng)相關(guān)和協(xié)方差來改進(jìn)Kalman濾波器，優(yōu)化獲得基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的Kalman濾波目標(biāo)跟蹤新算法(FLOS－KF)。仿真驗(yàn)證了FLOS－KF濾波跟蹤新算法可以更好地適應(yīng)非高斯復(fù)雜環(huán)境，得到穩(wěn)健的跟蹤效果。

目標(biāo)跟蹤;艦艇火控系統(tǒng);Kalman濾波;α穩(wěn)定分布;分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量

0 引言

大多數(shù)目標(biāo)跟蹤算法均要求觀測噪聲和系統(tǒng)噪聲為獨(dú)立或相關(guān)的高斯噪聲，而在實(shí)際應(yīng)用中所觀測到的信號(hào)并不是高斯分布的，例如雷達(dá)閃爍噪聲、海雜波噪聲、海洋水聲環(huán)境噪聲等。這些噪聲均具有顯著尖峰特性。在這種非高斯噪聲環(huán)境下，若仍然采用高斯假定，將會(huì)導(dǎo)致在高斯的假定下設(shè)計(jì)的系統(tǒng)性能退化、甚至無法工作。針對(duì)此類問題，文獻(xiàn)［1］采用t分布或者高斯分布與其他分布(如拉普拉斯分布)的合成對(duì)閃爍噪聲建模，但仍然使用卡爾曼濾波器，該算法的跟蹤性能也很難保證;文獻(xiàn)［2］對(duì)閃爍噪聲采用不同方差的高斯噪聲加權(quán)來建模，提出了基于UKF的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤方法，并應(yīng)用其跟蹤具有高斯噪聲和閃爍噪聲的機(jī)動(dòng)目標(biāo)。而Georgiou等［3］用α穩(wěn)定分布對(duì)脈沖(尖峰)狀噪聲建模，由于α穩(wěn)定分布能非常好地與實(shí)際數(shù)據(jù)相吻合，因此在具有脈沖特性的信號(hào)或噪聲建模方面受到了廣泛的關(guān)注。本文將雷達(dá)閃爍噪聲和海雜波噪聲采用α穩(wěn)定分布建模，結(jié)合機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤問題應(yīng)用分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)一步研究，以獲得新的機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤濾波算法，滿足目標(biāo)跟蹤魯棒性需求。

1 α穩(wěn)定分布過程與特性

正是由于α穩(wěn)定分布能非常好地與實(shí)際情況相吻合，是一種能保持自然噪聲過程的產(chǎn)生機(jī)制和傳播條件的極限分布，它為具有尖峰或偶然脈沖類信號(hào)和噪聲提供了非常有用的理論工具，是一種更加廣義化的高斯分布(或者說高斯分布是α穩(wěn)定分布的一個(gè)特例)。其主要區(qū)別是α穩(wěn)定分布的分布密度比高斯分布密度有更厚的拖尾，α穩(wěn)定分布的這種特征正是用于對(duì)具有沖激特征的信號(hào)和噪聲建模的主要原因之一，是一種非常靈活的建模工具［4］。它有1個(gè)特征指數(shù)參數(shù)α(0＜α≤2)控制拖尾的厚度，α值越小表明沖激越大，而α接近2則更具高斯特性;當(dāng)α=2，即為高斯分布，如圖1所示高斯信號(hào)和分?jǐn)?shù)低階α穩(wěn)定分布信號(hào)(α=1.5)示例，可見后者的沖激性明顯。

圖1 高斯信號(hào)和α穩(wěn)定分布信號(hào)的比較Fig.1 The comparison of Gaussian signal and α stable distribution

2 分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量及最小分散系數(shù)準(zhǔn)則

根據(jù)統(tǒng)計(jì)信號(hào)分析的理論，大多數(shù)信號(hào)處理的統(tǒng)計(jì)理論和方法都是建立在協(xié)方差基礎(chǔ)上的。如有用信號(hào)的預(yù)測、觀測信號(hào)的濾波與平滑。然而，若α穩(wěn)定分布的特征指數(shù)為0＜α＜2，則只有階數(shù)小于α階的矩是有限的，其方差(或2個(gè)隨機(jī)過程的協(xié)方差)及高階統(tǒng)計(jì)量都是不存在的。于是，人們研究低于二階的分?jǐn)?shù)階統(tǒng)計(jì)量，稱為分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量(FLOS)，其范圍為(0，2)。

對(duì)于2個(gè)α穩(wěn)定分布隨機(jī)信號(hào)或過程，有2類分?jǐn)?shù)階協(xié)方差［5］表示如下:

3 卡爾曼濾波目標(biāo)跟蹤新算法

在高斯假設(shè)條件下的統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理問題是從給定觀測值中找到未知變量y的最佳估計(jì)y^。最常使用的最佳估計(jì)準(zhǔn)則是最小均方準(zhǔn)則(MMSE)。在這個(gè)準(zhǔn)則下，最佳估計(jì)使得估計(jì)誤差的均方差最?。?］。而對(duì)于α穩(wěn)定分布過程，MMSE準(zhǔn)則就不再適用了，因?yàn)楣烙?jì)誤差不再具有有限方差。但是可以把MMSE準(zhǔn)則推廣到α穩(wěn)定分布過程中。當(dāng)y^是y的最佳估計(jì)時(shí)，若令e=y－y^，從α穩(wěn)定分布的穩(wěn)定性定理［7］可知，e也是α穩(wěn)定分布的。若e的分散系數(shù)為γe，則有min{eα}等價(jià)于min{γe}。也就是說，當(dāng)估計(jì)誤差的分散系數(shù)到達(dá)最小時(shí)，y^就是y的最佳估計(jì)。這個(gè)準(zhǔn)則被稱為最小分散系數(shù)準(zhǔn)則，簡稱為MD準(zhǔn)則。最小化分散系數(shù)也等價(jià)于最小化分?jǐn)?shù)低階矩。于是，可以得到如下3種等價(jià)關(guān)系

目標(biāo)跟蹤問題也是用有限觀測時(shí)間間隔內(nèi)收集到的觀測值，即Z(1)，Z(2)，…，Z(n－1)來估計(jì)線性離散時(shí)間動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)X。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型［8］如下:

1)狀態(tài)方程

2)觀測方程

其中:X(n)為M維狀態(tài)向量，卡爾曼濾波器的目的是對(duì)其狀態(tài)向量進(jìn)行最佳估計(jì);Φ(n+1，n)為M×M維狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;V1(n)為M維過程噪聲向量;Z(n)為N維觀測向量;H(n)為N×M維觀測矩陣;V2(n)為N維觀測噪聲向量。不同噪聲環(huán)境下，V1(n)與V2(n)特性不一樣，但都假設(shè)它們不相關(guān)。這里，根據(jù)前面提出的理由，具有顯著雜波尖峰環(huán)境下的雷達(dá)目標(biāo)跟蹤觀測或空中目標(biāo)觀測存在閃爍噪聲的情況下，建立V1(n)與V2(n)為α穩(wěn)定分布模型能更好地描述［9－10］。

傳統(tǒng)Kalman濾波算法根據(jù)觀測向量Z(n)對(duì)狀態(tài)向量X(n)進(jìn)行估計(jì)，使估計(jì)誤差均方差最小。需要計(jì)算新息過程的二階矩及噪聲過程的二階相關(guān)矩，而這些量在SαS分布噪聲下是不存在有限值的。因此，對(duì)SαS分布噪聲模型下的目標(biāo)跟蹤濾波提出改進(jìn)方法，即利用最小分散系數(shù)(MD)準(zhǔn)則替代最小均方(LMS)準(zhǔn)則，利用p階分?jǐn)?shù)相關(guān)和分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差替代傳統(tǒng)相關(guān)和協(xié)方差［11－12］。改進(jìn)Kalman濾波算法具體做法是以估計(jì)誤差的p范數(shù)(lp范數(shù)，0＜p＜α)為性能函數(shù)，使其最小優(yōu)化獲得基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的Kalman濾波目標(biāo)跟蹤算法(FLOS－KF)。

根據(jù)觀測值Z(1)，Z(2)，…，Z(n－1)估計(jì)X(n)，記為X^(n，n－1)。此預(yù)測誤差向量

定義預(yù)測誤差的p范數(shù)［6］函數(shù)(標(biāo)量)

ξ(n)就是改進(jìn)Kalman預(yù)測時(shí)的性能函數(shù)。改進(jìn)Kalman預(yù)測估計(jì)在于使預(yù)測誤差函數(shù)的p范數(shù)ξ(n)最小。這種估計(jì)不是傳統(tǒng)的最佳Kalman預(yù)測估計(jì)，而是在非高斯SαS分布噪聲下的次優(yōu)估計(jì)。準(zhǔn)則為:

這是根據(jù)Z(1)，Z(2)，…，Z(n－1)估計(jì)的Z(n)，由于V2(n)與Z(1)，Z(2)，…，Z(n－1)不相關(guān)，式(9)變?yōu)?

對(duì)于n時(shí)刻的觀測值Z(n)所帶來的新息［8］為:

式中:θ(n)為新息向量。

SαS分布脈沖噪聲下的新息過程具有如下性質(zhì):

3)由于觀測噪聲V2(n)是SαS分布脈沖噪聲，所以E{|θ(n)|2}=∞，即新息過程為無限方差的隨機(jī)過程。但根據(jù)信號(hào)分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)處理理論，若0＜p＜α，則E{|θ(n)|p}＜∞，表示新息過程具有有限的p階矩。

新息過程的分?jǐn)?shù)低階相關(guān)陣定義下式，稱為新息分?jǐn)?shù)低階相關(guān)陣

狀態(tài)向量的一步預(yù)測最直接的方法就是用新息過程θ(1)，…，θ(n)的線性組合構(gòu)造，即

其中，W1(k)表示一步預(yù)測對(duì)應(yīng)的權(quán)矩陣。根據(jù)新息過程的正交性推導(dǎo)得

因此

為實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)濾波算法，還需推導(dǎo)K(n+1，n)遞推公式。考察狀態(tài)向量的預(yù)測誤差，

求式(19)狀態(tài)向量一步預(yù)測誤差向量的分?jǐn)?shù)階相關(guān)矩陣，容易證明:

4 仿真結(jié)果與分析

為說明在尖峰非高斯噪聲環(huán)境下目標(biāo)跟蹤濾波存在的問題，檢驗(yàn)本章提出的基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量卡爾曼濾波目標(biāo)跟蹤改進(jìn)算法的效果，首先進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)一，以X軸為例，假定目標(biāo)沿X軸方向勻速運(yùn)動(dòng)，觀測噪聲施加α穩(wěn)定分布噪聲，噪聲特征指數(shù)取α=1.6。分別采用典型Kalman濾波跟蹤和改進(jìn)的基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量FLOS-Kalman濾波跟蹤方法。圖2(a)和(b)分別表示在尖峰非高斯噪聲環(huán)境下典型Kalman濾波和改進(jìn)的FLOS-Kalman濾波跟蹤相同環(huán)境條件下的目標(biāo)情況。圖3(a)和(b)是隨機(jī)產(chǎn)生尖峰非高斯噪聲下的另一2種方法跟蹤目標(biāo)的比較效果。圖4(a)和(b)是高斯噪聲下兩種方法跟蹤情況。表1歸納了典型Kalman濾波跟蹤與改進(jìn)FLOSKalman濾波跟蹤2種方法在高斯噪聲和尖峰噪聲環(huán)境下50次仿真跟蹤誤差均方根值。

圖4 高斯噪聲環(huán)境下跟蹤濾波效果比較Fig.4 The comparison of tracking filter effect in Gaussian noise environments

表1 2種目標(biāo)跟蹤算法50次仿真位置誤差均方根值Tab.1 The position RMSE of two targe tracking simulations by 50 times

圖2和圖3是不同強(qiáng)度尖峰噪聲環(huán)境下的Kalman與FLOS-Kalman跟蹤的2次實(shí)驗(yàn)。圖4是高斯噪聲環(huán)境下的Kalman與FLOS-Kalman跟蹤。由圖2～圖4以及表1可以看出，在非高斯情況下，與Kalman濾波相比，改進(jìn)的FLOS-Kalman濾波算法表現(xiàn)出更高的精度和更強(qiáng)的抗噪聲性能;在高斯情況下2種算法跟蹤性能相當(dāng)，從而表明改進(jìn)FLOS-Kalman跟蹤方法，無論在尖峰噪聲(非高斯性)，還是在高斯噪聲條件下，均具有較好的抗噪聲性能，都能穩(wěn)定跟蹤，其魯棒性比較好。

5 結(jié)語

本文主要對(duì)非高斯脈沖噪聲特性環(huán)境下機(jī)動(dòng)目標(biāo)跟蹤算法進(jìn)行了研究。對(duì)α穩(wěn)定分布過程性質(zhì)、分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量和最小分散系數(shù)準(zhǔn)則的概念進(jìn)行了分析，重點(diǎn)研究了采用α穩(wěn)定分布規(guī)律對(duì)海雜波噪聲、閃爍噪聲等非高斯噪聲建模，利用p階分?jǐn)?shù)相關(guān)和分?jǐn)?shù)低階協(xié)方差替代傳統(tǒng)相關(guān)和協(xié)方差來改進(jìn)Kalman濾波器，設(shè)計(jì)以估計(jì)誤差的p范數(shù)為性能函數(shù)，推導(dǎo)出基于分?jǐn)?shù)低階統(tǒng)計(jì)量的Kalman濾波目標(biāo)跟蹤算法(FLOS－KF)。我們相信，這一研究工作的進(jìn)一步工程化有利于艦載指控系統(tǒng)目標(biāo)探測與跟蹤，該方法的研究具有重要的理論和軍事應(yīng)用價(jià)值。

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Optimized fractional lower order covariance Kalman filter algorithm

SHI Yi-ming1，ZHANG An-qing2，ZHANG Qi3
(1.91550 Unit，Dalian 116023，China;2.Department of Information and Communication Engineering，Dalian Naval Academy，Dalian 116018，China;3.PHD Team，Dalian Naval Academy，Dalian 116018，China)

Aimed at non-Gaussian characteristics in clutter jamming environment，this paper studies significant peak non-Gaussian noise for sea clutter noise and glint noise described by alpha stable distribution，establishing noise model accord with reality.According to the lastest theory and technology of statistics signal processing，make use of p order fractional associated and fractional lower order covariance to modify Kalman filter，optimized fractional lower order covariance Kalman filter new algorithm，which is introduced to the target tracking for complicated non-Gaussian situation and achieve the solid tracking effect.

target tracking;ship fire control system;Kalman filter;α stable distribution;fractional lower order statistics

TN949.6+3

A

1672－7649(2011)12－0028－05

10.3404/j.issn.1672－7649.2011.12.006

2011－03－14;

2011－10－11

石一鳴(1985－)，女，碩士研究生，助理工程師，研究領(lǐng)域?yàn)槔走_(dá)總體、測量與控制等。