含干摩擦兩單自由度碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)分析

楊 昊，王樹國

(蘭州交通大學(xué)數(shù)理與軟件工程學(xué)院，蘭州 730070)

在工程技術(shù)的許多領(lǐng)域，機(jī)械系統(tǒng)內(nèi)部或邊界上的間隙常使系統(tǒng)產(chǎn)生碰撞振動，最常見的是零部件之間或零部件與邊界之間的往復(fù)摩擦碰撞。由摩擦力和碰撞引起的振動是強(qiáng)非線性、非連續(xù)、非光滑性的，所以含干摩擦振動是比較復(fù)雜的系統(tǒng)，吸引了眾多學(xué)者從事這方面的研究［1－3］。Holmes［1］對彈跳球模型、Shaw［2］對雙面碰撞振動系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值模擬，并發(fā)現(xiàn)了Smale馬蹄。Ivanov等［3－4］對碰撞周期倍化過程中的“擦邊”運(yùn)動及奇異性進(jìn)行探討。Masri［5］首次提出單自由度沖擊消振器任意碰撞次數(shù)穩(wěn)態(tài)周期運(yùn)動的精確解，研究了對沖擊周期運(yùn)動與非對稱沖擊周期運(yùn)動的相互轉(zhuǎn)化。Ding用中心流形－范式的方法研究多自由度碰撞振動系統(tǒng)強(qiáng)共振的hopf分岔與次諧分岔問題。

在碰撞振動和摩擦振動的研究中，很少涉及同時存在干摩擦和碰撞時的系統(tǒng)動力學(xué)問題。對于包含干摩擦的碰撞振動系統(tǒng)來說，往往寫不出分段響應(yīng)的解析式，其理論研究較為復(fù)雜。Cone等［9］采用數(shù)值方法研究包含干摩擦的單自由度雙面沖擊振子，結(jié)果發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在周期倍化序列、擦邊分岔以及黏滑碰撞運(yùn)動。Virgin等［10］描述了包含庫倫摩擦阻尼的雙邊諧激勵碰撞振子的全局動力學(xué)，由吸引域的研究給出系統(tǒng)的完全解集，并說明擦邊分岔是系統(tǒng)行為突變的來源。本文主要用了數(shù)值方法結(jié)合理論分析研究了干摩擦激勵下兩單自由度碰撞振動系統(tǒng)在皮帶輪速度變化下的分岔現(xiàn)象，并討論了摩擦因數(shù)和激勵振幅比對系統(tǒng)粘滑振動的影響。

1 力學(xué)模型及運(yùn)動方程

1.1 力學(xué)模型

圖1為含干摩擦兩單自由度碰撞振動系統(tǒng)模型。質(zhì)量為M1和M2的質(zhì)塊的位移分別用X1和X2表示，質(zhì)塊M1和M2分別由剛度為K1、K2的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1、C2的線性阻尼器連接。質(zhì)塊M1和M2放置在以速度V運(yùn)動的皮帶輪上，質(zhì)塊與皮帶輪間的動摩擦因數(shù)為U。作用在質(zhì)塊M1和M2上的激勵振幅為P1和P2，頻率為Ω的簡諧激勵為 Pisin(ΩT+τ)，i=1，2。

圖1 干摩擦碰撞振動模型

1.2 運(yùn)動微分方程

當(dāng)2個質(zhì)體的位移間隙為 B，X1(t)－X2(t)=B時質(zhì)量為M1和M2的質(zhì)塊將會發(fā)生碰撞，碰撞由動量守恒定律描述，并且假設(shè)碰撞持續(xù)的時間忽略不計。假設(shè)模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼，系統(tǒng)的碰撞恢復(fù)系數(shù)由R確定。在任意2次碰撞之間，2個單自由度振子的無量綱運(yùn)動微分方程:

假設(shè)碰撞為剛性碰撞，碰撞過程在瞬息完成，根據(jù)動量守恒定律及恢復(fù)系數(shù)R描述碰撞前后碰撞體的速度跳躍，且能耗在撞擊細(xì)節(jié)中不考慮。當(dāng)x1(t)－x2(t)=δ時，質(zhì)塊M1和M2發(fā)生碰撞。

對于摩擦力，假設(shè)質(zhì)塊與皮帶輪的摩擦力符合庫侖摩擦模型。式(3)中:fμ與 fμm/(1－m)表示質(zhì)塊 M1和 M2所受的滑動摩擦力;fμs與fμsm/(1－m)表示質(zhì)塊M1和M2在皮帶輪上受的最大靜摩擦力。

1.3 粘著、滑動及碰撞

在圖1所示系統(tǒng)中，干摩擦和間隙的存在會導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不連續(xù)，但出不連續(xù)點(diǎn)外系統(tǒng)是連續(xù)的，由此可見系統(tǒng)的動力學(xué)模型可以分為一段段的線性系統(tǒng)，并在一完整的運(yùn)動過程中會產(chǎn)生粘著、滑動及碰撞。系統(tǒng)在一個完整運(yùn)動過程過程中，有以下幾種情況并給出各種情況出現(xiàn)的邊界條件，可令質(zhì)塊M1除摩擦力外所受的合外力為質(zhì)塊M2除摩擦力外所受的合外力為

情況1 x1=v，x2≠v。此時，M1粘著 M2滑動且，直到開始滑動。

情況2 x1≠v，x2=v。此時，M1滑動 M2粘著且，直到－m)，M2開始滑動。

情況3 x1=v，x2=v。此時，M1粘著 M2粘著且)，直到開始滑動或開始滑動。

情況4 x1≠v，x2≠v。此時，M1滑動 M2滑動且，2 個質(zhì)塊都處于滑動狀態(tài)。直到開始粘著或(1－m)，M2開始粘著。

情況5 x1(t)－x2(t)=δ。此時，兩質(zhì)塊發(fā)生碰撞。

質(zhì)塊M1和M2的運(yùn)動狀態(tài)反復(fù)在上述5種狀態(tài)間轉(zhuǎn)換。

2 系統(tǒng)的周期運(yùn)動及其穩(wěn)定性

通過運(yùn)動方程的映射圖對碰撞系統(tǒng)進(jìn)行適宜的分析，每一次迭代都表示質(zhì)塊M1和M2發(fā)生一次碰撞，在適當(dāng)參數(shù)條件下，2質(zhì)塊碰撞振子可以呈現(xiàn)周期碰撞運(yùn)動。令θ=ωt，取Poincaré截面:，建立2碰撞振子 q=1/1運(yùn)動的Poincaré映射:，式中:X∈R4;v 是實參，v∈R1或 R2;X=X*+ΔX;X'=X*+ΔX';Δx和 Δx'是Poincaré截面 σ 上 q=1/1不動點(diǎn) ΔX=的擾動量。在適當(dāng)?shù)膮?shù)下，振子的運(yùn)動呈現(xiàn)周期性，并且圖1所示系統(tǒng)具有對稱性，在一定參數(shù)下系統(tǒng)會出現(xiàn)對稱的碰撞運(yùn)動。假設(shè)在n個激勵周期內(nèi)，經(jīng)歷了p次右碰撞和k次粘滑后，系統(tǒng)運(yùn)動重復(fù)，稱為n－p－k運(yùn)動，其無量綱時間t為0。那么下次質(zhì)塊碰撞前瞬時，無量綱時間 t恰好為 2nπ/ω(n=1，2，…)，即連續(xù)兩次碰撞的時間間隔皆為2nπ/ω。對于給的Poincaré映射，由于流的解析解很難給出，對于這些映射的研究一般借助數(shù)值的方法來完成。將各個映射的復(fù)合映射的鏈?zhǔn)椒▌t復(fù)合，可以得到映射P的Jacobi矩陣DP，根據(jù)矩陣DP的特征值λ可以判斷出圖1所示碰撞振動系統(tǒng)周期運(yùn)動的穩(wěn)定性和局部分岔。

3 數(shù)值分析

著重研究干摩擦和振動對系統(tǒng)動力學(xué)的影響，任意選定一組參數(shù):m=0.75，ζ1=0.01，ζ2=0.01，fμ=0.2，ω0=1.2，δ=0.01，v=0.2，fμs=1.1fμ，取不同的f0和摩擦因數(shù)fμ為變化參數(shù)，當(dāng)ω由1.5到7變化得到的全局分岔圖。由圖2(a)中可以看出摩擦力fμ和激振振幅f0對系統(tǒng)運(yùn)動影響在不同頻率段的敏感程度不同。激振振幅f0在從2到7增大時候系統(tǒng)的復(fù)雜程度降低。運(yùn)動由多段的單周期到倍周期到混沌交錯出現(xiàn)的過程，逐漸演化成2段，而且質(zhì)塊穿越Poincaré截面的速度在ω從1.5到3的階段變化相當(dāng)敏感。隨著f0的增大，在ω從1.5～3的階段質(zhì)塊穿越Poincaré截面的速度在不斷變大。圖2(b)表現(xiàn)了不同的摩擦力對Poincaré截面投影圖的影響。隨著摩擦力的增大，在激勵頻率比較大的階段，系統(tǒng)從存在混沌帶和一些周期窗口演化成倍周期混沌最后到周期運(yùn)動。在激勵頻率比較小的時候只是影響的穿越截面的速度大小。混沌帶和一些周期運(yùn)動窗口與下一次之間是通過穩(wěn)定的周期一運(yùn)動過渡。并大整個頻率段多處穩(wěn)定周期運(yùn)動進(jìn)入混沌時存在周期倍化分岔。

圖3為選定 f0=7，fμ=0.5 隨 ω(3 ～3.55)的遞增出現(xiàn)周期倍化分岔(除圖中標(biāo)明的參數(shù)外其他均為基本參數(shù)，以下同)，展示系統(tǒng)在粘滑狀態(tài)下由周期1－1－1運(yùn)動(如圖3(b)所示)變?yōu)橹芷?－2－1運(yùn)動(如圖3(c)所示)，再由周期4－4－1運(yùn)動(如圖3(e)所示)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(如圖3(f)所示)，經(jīng)過比較窄的混沌帶后，系統(tǒng)化為周期運(yùn)動。圖3(g)～(i)分別為M1響應(yīng)的速度時間歷程圖。無論是從相圖還是時間響應(yīng)圖中都可以看出質(zhì)塊粘滯于皮帶輪上的情況，并且展現(xiàn)了隨著摩擦因數(shù)的變化系統(tǒng)的運(yùn)動狀態(tài)也發(fā)生變化的情況。

圖2 分岔圖ω－

圖3 周期倍化過程

4 結(jié)束語

建立了一個2單自由度含間隙和干摩擦耦合碰的撞振動系統(tǒng)動力學(xué)模型，給出了判定系統(tǒng)粘滑碰撞準(zhǔn)則和判定系統(tǒng)周期運(yùn)動穩(wěn)定性的理論方法，對系統(tǒng)在不同摩擦力的影響所呈現(xiàn)的動力學(xué)行為進(jìn)行了非線性動力學(xué)分析以及由于摩擦導(dǎo)致的粘－滑振動行為。討論P(yáng)oincaré截面上的不動點(diǎn)類型的轉(zhuǎn)化及其向混沌的演化過程。數(shù)值模擬的結(jié)果表明增大摩擦力對系統(tǒng)動力學(xué)性能影響比較大。在頻率比較大的時候影響了系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，在頻率比較小的時候影響了質(zhì)塊穿越的速度。激振振幅的變化對系統(tǒng)的運(yùn)動的拓?fù)湫螒B(tài)產(chǎn)和穿越Poincaré截面的速度產(chǎn)生了比較敏感的影響。對其分岔與混沌行為的研究為機(jī)械系統(tǒng)的動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計提供了理論的依據(jù)。

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