美式看跌期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的有限差分直接法

鐘堅(jiān)敏，柴昱洲，孔繁博，湯國(guó)斌，秦 僖

(重慶理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400054)

期權(quán)(Option)是在期貨的基礎(chǔ)上衍生發(fā)展而來(lái)的金融工具，其實(shí)質(zhì)是在金融領(lǐng)域中將權(quán)利和義務(wù)分開(kāi)進(jìn)行定價(jià)。權(quán)利的受讓人可在規(guī)定時(shí)間內(nèi)對(duì)于是否進(jìn)行交易做出決定，而義務(wù)方必須隨權(quán)利受讓人的決定進(jìn)行交易。在期權(quán)的交易時(shí)，購(gòu)買期權(quán)的一方稱作買方，而出售期權(quán)的一方則叫做賣方;買方即是權(quán)利的受讓人，而賣方則是必須履行買方行使權(quán)利的義務(wù)人。

期權(quán)價(jià)格是期權(quán)合約中唯一隨市場(chǎng)供求變化而改變的變量，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權(quán)交易的核心問(wèn)題。

對(duì)于歐式期權(quán)，John C.Hull等將Black-Scholes定價(jià)模型進(jìn)行了推廣，使之可以直接代入定價(jià)公式。而美式看漲期權(quán)只有到期執(zhí)行才劃算，相當(dāng)于歐式看漲期權(quán)，可直接代入定價(jià)公式定價(jià)。美式看跌期權(quán)可在到期日之前的任何時(shí)刻執(zhí)行，因此不能直接使用定價(jià)公式而只能用數(shù)值方法來(lái)為其定價(jià)，這從數(shù)學(xué)的角度講就變成了一個(gè)在隨機(jī)過(guò)程框架下具有自由邊界的求值問(wèn)題。因此美式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題重心轉(zhuǎn)移到其數(shù)值解方面，但要得到其解析解并非容易。有限差分的直接方法是計(jì)算偏微分方程的有力工具，其核心思想是對(duì)各種導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散化，把偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程。求解金融衍生產(chǎn)品的價(jià)格與求解普通的偏微分方程的區(qū)別主要在于一般的偏微分方程是給定初值求解終值，而金融衍生產(chǎn)品的定價(jià)問(wèn)題是給定終值求解初值，屬于逆向隨機(jī)微分方程求解。

1 美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題基本模型

本文只考慮美式看跌期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，主要討論美式期權(quán)定價(jià)模型的自由邊界問(wèn)題。從數(shù)學(xué)上來(lái)說(shuō)，美式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題是一個(gè)自由邊界問(wèn)題。此處的自由邊界是一條需要確定的交界線，它把區(qū)域 {0≤S＜∞，1≤t≤T}分成2部分:一部分是繼續(xù)持有區(qū)域，另一部分是終止持有區(qū)域。這條自由邊界在金融上稱為最佳實(shí)施邊界。顯然對(duì)每個(gè)美式期權(quán)的持有者來(lái)說(shuō)，需要知道曲線的位置，以便制訂出最佳的實(shí)施方案。

基本假設(shè):

1)不付紅利。金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無(wú)紅利及其他所得。

2)風(fēng)險(xiǎn)中性。市場(chǎng)不存在任何套利可能性的條件下，所有可交易證券的期望收益都是無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，未來(lái)現(xiàn)金流可以用其期望值按無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)，即股票預(yù)期收益率μ等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r。

3)當(dāng)前時(shí)刻為零時(shí)刻。

4)市場(chǎng)無(wú)摩擦，即不存在稅收和交易成本，所有證券完全可分割。

2 期權(quán)定價(jià)的有限差分直接法

假設(shè):S表示股票價(jià)格;f表示期權(quán)價(jià)格;r表示無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率;T表示期權(quán)到期日;Δt表示時(shí)間步長(zhǎng)，σ表示股票的波動(dòng)率，K表示期權(quán)執(zhí)行價(jià)格;Lf(0，T;X)={u(t)表示股價(jià)離散步長(zhǎng);uLf(X)=表示時(shí)間離散步數(shù);S=Kex表示等間隔的價(jià)格段;t=T－表示股票價(jià)格的最高價(jià)格。

2.1 隱式有限差分法［2］

2.1.1 隱式有限差分法思路

隱式有限差分法是以有限的離散區(qū)域來(lái)替代連續(xù)的時(shí)間和資產(chǎn)價(jià)格，可將滿足如下偏微分方程的衍生證券

2.1.2 隱式有限差分法算法［2］

首先，把從零時(shí)刻(初始時(shí)刻設(shè)為零時(shí)刻)到到期日T時(shí)刻之間的時(shí)間分為N個(gè)等間隔的小時(shí)間段，設(shè)，就有N+1個(gè)時(shí)間段。

其次，把資產(chǎn)價(jià)格的變化從0到最大值Smax也分成M個(gè)等間隔的小價(jià)格段，定義，就得到 M+1 個(gè)資產(chǎn)價(jià)格(0，ΔS，2ΔS，…，Smax)。

算法具體步驟:

2)分析差分方程

將式(2)～(4)代入偏微分方程(1)可得差分方程:

由于使用中心差分［3］，所以整個(gè)方程的誤差為 o(Δt，ΔS2)。

3)求解期權(quán)價(jià)值

首先確定股票價(jià)格在邊界t=T、邊界股票價(jià)格為0、邊界股票價(jià)格趨于無(wú)窮時(shí)的期權(quán)價(jià)值為

利用差分方程(5)和以上3個(gè)邊界條件可得出(N－1)Δt時(shí)刻的M－1個(gè)聯(lián)立方程:

以及:j=0 時(shí) fN－1，0=K;j=M 時(shí) fN－1，M=0。

根據(jù)以上各式可求出每個(gè)fN－1，j的期權(quán)價(jià)值，將其與X－jΔS比較得到每個(gè)格點(diǎn)的期權(quán)價(jià)值。所以當(dāng)jΔS等于資產(chǎn)價(jià)格時(shí)，該格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的f就是要求的期權(quán)價(jià)值。

2.2 有限差分的直接法

有限差分的直接法是將差分方程(9)轉(zhuǎn)化為矩陣方程來(lái)進(jìn)行求解。這里引入Kronecker積［4］的應(yīng)用。

定義1［4］設(shè)A∈Cm×m，并記A的m個(gè)行向量為，于是

定義vec算符為

定理1［4］設(shè) A∈Cm×m，B∈Cn×n，X∈Cm×n，則有

容易證明結(jié)論:

推論 1［4］設(shè) A∈Cm×m，B∈Cn×n，X∈Cm×n，則

于是定義矩陣

令

記:

可以得到矩陣方程

解上述矩陣方程，具體步驟:

①利用定理1及推論1，將方程(10)化為與之等價(jià)的一般線性方程組

如令 M=A?In+Im?BT，y=vecF，b=vecC，則式(11)可寫(xiě)成

② 求解方程(12)，所得解y即為每個(gè)fi，j期權(quán)價(jià)值。

3 實(shí)例分析

假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)為不付紅利股票，其當(dāng)前市場(chǎng)價(jià)為50元，波動(dòng)率為每年40%，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)連續(xù)復(fù)利年利率為10%，該股票5個(gè)月期的美式看跌期權(quán)協(xié)議價(jià)格為50元，求該期權(quán)的價(jià)值。

用隱性有限差分法解決該案例中的期權(quán)價(jià)值。其中

于是可以利用Matlab求出期權(quán)價(jià)格與期權(quán)到期時(shí)間的關(guān)系，見(jiàn)表 1?？傻闷跈?quán)價(jià)值為4.072元。

表1 期權(quán)價(jià)格與期權(quán)到期時(shí)間的關(guān)系

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要用隱式差分法對(duì)美式看跌期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行模擬。通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)離散化，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為差分方程，結(jié)合美式看跌期權(quán)的邊界條件，將差分方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程，再利用Kronecker積的應(yīng)用對(duì)矩陣方程進(jìn)行求解。由于減少了迭代過(guò)程中的誤差累積，它相對(duì)于迭代法計(jì)算過(guò)程更加穩(wěn)定，計(jì)算結(jié)果更加精確。

總而言之，應(yīng)用Kronecker積，對(duì)美式看跌期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行模擬，其矩陣方程的解直接對(duì)應(yīng)不同時(shí)刻 t，不同資產(chǎn)價(jià)格 S 下對(duì)應(yīng)的 fi，j(i=0，1，…，N －1;j=1，2，…，M －1)的期權(quán)價(jià)值，結(jié)果較為直觀。

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