兩輪不平衡小車變結(jié)構(gòu)控制抖振與魯棒性研究

何雅靜，屈勝利，孟祥忠，秦 星

(西安電子科技大學(xué)，陜西 西安 710071)

兩輪不平衡小車是一個(gè)集環(huán)境感知、動(dòng)態(tài)決策與規(guī)劃、行為控制與執(zhí)行等多種功能于一體的綜合系統(tǒng)。它的動(dòng)力學(xué)方程是一個(gè)多變量、耦合、時(shí)變的非線性高階方程，加上運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中的非完整約束，使它成為一個(gè)具體的、實(shí)現(xiàn)起來(lái)相對(duì)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)。近年來(lái)，兩輪不平衡小車作為一個(gè)理論與實(shí)踐相結(jié)合的系統(tǒng)，受到高度重視，它是檢驗(yàn)各種控制方法處理能力的典型裝置[1]。針對(duì)以往[2]通過(guò)反饋線性化得到小車系統(tǒng)的線性模型，然后在指數(shù)趨近律基礎(chǔ)上進(jìn)行變結(jié)構(gòu)控制的方法，消抖效果并非很好，而且在削弱系統(tǒng)抖振的同時(shí)也削弱了系統(tǒng)的抗干擾能力。為此，本文首先基于飽和特性的準(zhǔn)滑模指數(shù)趨近律設(shè)計(jì)出了常規(guī)切換面滑?？刂破骱蛣?dòng)態(tài)切換面滑?？刂破?。該控制器較以前的方法更有效地削弱了系統(tǒng)的抖振；然后通過(guò)給飽和特性的準(zhǔn)滑模指數(shù)趨近律中加入擾動(dòng)跟蹤項(xiàng)，設(shè)計(jì)出了帶擾動(dòng)跟蹤項(xiàng)的動(dòng)態(tài)切換面準(zhǔn)滑?？刂破鳌Ｔ摽刂破鞑粌H很好地削弱了系統(tǒng)抖振，增大了系統(tǒng)的可控范圍,更重要的是很好地保證了系統(tǒng)的魯棒性。

1 小車系統(tǒng)建模及其反饋線性化

設(shè)電機(jī)的力矩系數(shù)為 km，反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)為 ke，電機(jī)電阻為 R，轉(zhuǎn)子慣量為 J，接入減速箱的減速比為 kj;小車車體質(zhì)量為Mp，車輪及軸的質(zhì)量為Mw，車體質(zhì)心到車體轉(zhuǎn)動(dòng)中心距離為l，車輪半徑為r，車體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ip，車輪及軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Iw，重力加速度為g，車輪水平位移為x1，水平速度為 x2，車體偏離垂直方向的角度為 x3，偏離垂直方向角加速度為x4，整個(gè)系統(tǒng)的輸入即電機(jī)的輸入電壓為u。

取狀態(tài)變量X[x1x2x3x4]T，將電機(jī)的輸入電壓u作為控制信號(hào)。為了便于研究，把系統(tǒng)看作線性化的單輸入單輸出系統(tǒng)。由于角度對(duì)系統(tǒng)的影響最大，所以將角度x3作為輸出，它可由傾角傳感器測(cè)得[1]。根據(jù)力學(xué)建模得到系統(tǒng)的非線性方程為[3]：

由“相對(duì)階定理”得知：該小車模型只能局部線性化。采用“李理論”方法，根據(jù)非線性控制理論[4]，取反饋控制律 u：

其中v(x)是u的擴(kuò)展輸入。為了設(shè)計(jì)方便，取Φ(X)=x1，令，v=v0+x3由式(3)、式(4)得非線性狀態(tài)反饋控制器：

將式(5)代入式(1)，可得：

2 不平衡小車的變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)[5-7]

為驗(yàn)證小車系統(tǒng)可控，通過(guò)式(8)設(shè)計(jì) LQR(線性二次型最優(yōu))控制器，得到狀態(tài)反饋陣：

準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)是指系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡被限制在理想滑動(dòng)模態(tài)的某一領(lǐng)域（滑動(dòng)模態(tài)切換面的邊界層）內(nèi)的模態(tài)。在邊界層內(nèi)，準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)不要求在切換面上進(jìn)行控制結(jié)構(gòu)的切換，這就已經(jīng)從根本上削弱了抖振。取飽和特性的準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)指數(shù)趨近律為：

其中，M0為系統(tǒng)趨近切換面的速度，當(dāng) M0很小時(shí)，調(diào)節(jié)過(guò)程太慢；當(dāng)M0較大時(shí)，到達(dá)切換面時(shí)系統(tǒng)速度較大，必然引起抖振。線性項(xiàng)保證系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡按指數(shù)趨向切換面，從而保證過(guò)渡過(guò)程有較好的品質(zhì)，減小抖振。

2.1 基于常規(guī)切換面的準(zhǔn)滑模控制器的設(shè)計(jì)

根據(jù)變結(jié)構(gòu)理論，常規(guī)切換面的選取只依賴于系統(tǒng)的狀態(tài)，而與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)。對(duì)于本小車系統(tǒng),設(shè)其切換面為：

聯(lián)立式(5)、式(10)可得到基于常規(guī)切換面的準(zhǔn)滑?？刂破鳎?/p>

由式(5)可以看到：不連續(xù)項(xiàng) M0sat(HX/Δ)直接含在控制u中，當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到滑模區(qū)時(shí)，會(huì)在不同的控制之間來(lái)回切換，引起抖振。

2.2 基于動(dòng)態(tài)切換面的準(zhǔn)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)

根據(jù)變結(jié)構(gòu)理論：動(dòng)態(tài)滑模切換面使切換函數(shù)與系統(tǒng)控制輸入的一階或高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，這樣可將不連續(xù)項(xiàng)轉(zhuǎn)移到控制的一階或高階導(dǎo)數(shù)中去，得到在時(shí)間上本質(zhì)連續(xù)的動(dòng)態(tài)滑?？刂坡桑瑥亩档投墩?。

針對(duì)小車系統(tǒng)，設(shè)計(jì)其動(dòng)態(tài)切換面為：

準(zhǔn)滑模指數(shù)趨近律仍為：

對(duì)式(15)求導(dǎo)，將式(9)代入，并聯(lián)立式(16)，同 2.1節(jié)的計(jì)算方法，可得：

對(duì)式(17)積分代入式(5)，即得到基于動(dòng)態(tài)切換面的準(zhǔn)滑?？刂破鳎?/p>

顯然，動(dòng)態(tài)切換面是在常規(guī)切換面中加入與控制輸入有關(guān)的Tv0項(xiàng)，使得不連續(xù)切換項(xiàng)M0sat(HX/Δ)轉(zhuǎn)移到控制的一階導(dǎo)數(shù)v˙0中。因?yàn)榭刂苪中不存在不連續(xù)切換項(xiàng)，所以有效地降低了抖振。

2.3 帶擾動(dòng)跟蹤的動(dòng)態(tài)滑?？刂破鞯脑O(shè)計(jì)

由于以往的方法在消抖的同時(shí)也削弱了系統(tǒng)的抗干擾能力，而擾動(dòng)的存在會(huì)惡化系統(tǒng)的性能。在滑模控制中，擾動(dòng)會(huì)使本來(lái)位于滑動(dòng)面的運(yùn)動(dòng)偏離滑動(dòng)面。從幾何學(xué)角度可以將該擾動(dòng)分解為兩個(gè)方向：沿滑動(dòng)面的切線方向和垂直于該切線的法線方向。從物理學(xué)角度,分解在沿滑動(dòng)面切線方向的擾動(dòng)將給系統(tǒng)一個(gè)繼續(xù)沿滑動(dòng)面運(yùn)動(dòng)的加速度，它對(duì)系統(tǒng)的影響不大；而分解在垂直于滑動(dòng)面方向的擾動(dòng)會(huì)給系統(tǒng)一個(gè)垂直滑動(dòng)面方向的加速度，也就是擾動(dòng)引起系統(tǒng)在滑動(dòng)面垂直方向上產(chǎn)生遠(yuǎn)離滑動(dòng)面的加速度，使系統(tǒng)脫離滑動(dòng)面。為了避免擾動(dòng)造成系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)偏離滑動(dòng)面過(guò)大，本文在飽和特性的指數(shù)趨近律中加入擾動(dòng)動(dòng)力跟蹤項(xiàng)來(lái)減小系統(tǒng)遠(yuǎn)離滑動(dòng)面運(yùn)動(dòng)的加速度，以增強(qiáng)系統(tǒng)的抗干擾能力。

根據(jù)上面的分析，擾動(dòng)會(huì)引起系統(tǒng)在垂直滑動(dòng)面方向的加速度，故根據(jù)位置加速度計(jì)測(cè)得的位置加速度x˙1在垂直滑動(dòng)面方向的分量 λx¨1(0≤λ≤1)來(lái)克服擾動(dòng)在垂直滑模運(yùn)動(dòng)方向上的加速度。在基于飽和特性的準(zhǔn)滑模指數(shù)趨近率基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)帶擾動(dòng)跟蹤項(xiàng)的趨近律為：

對(duì)式(22)積分，代入式(5)，得到帶擾動(dòng)跟蹤項(xiàng)的動(dòng)態(tài)切換面滑?？刂破鳎?/p>

3 仿真比較[8]

由maxon電機(jī)手冊(cè)得到：額定電壓為30 V,力矩系數(shù)km=0.0389 Nm/A,電機(jī)電阻R=1.23 Ω,轉(zhuǎn)子慣量J=0.000 065 5 kgm2，反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)ke=1/246=0.004 065 V/rpm,接入減速箱的減速比 kj=33,測(cè)量得小車車體質(zhì)量為Mp=10.36 kg，車體質(zhì)心到車體轉(zhuǎn)動(dòng)中心距離l=0.2 m,車輪及軸質(zhì)量Mw=0.4 kg，車輪半徑r=0.06 m，車輪及軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Iw=0.000 36 kg·m2，車體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 Ip=0.037 59 kg·m2，取重力加速度g=9.81 N/kg。

3.1 可控范圍的比較

取 M0=20，k=10，T=0.5，G=0.3,在小車位置、速度、角速度全都為0的情況下,通過(guò)不斷變換角度初始值，觀察控制電壓為額定值時(shí)的角度值即為小車在此控制器下的最大可控傾角。仿真得到如表1所示的三種控制器的最大可控傾角。

表1 三種控制器的最大可控角

由表1可以看出，系統(tǒng)在帶擾動(dòng)跟蹤項(xiàng)的動(dòng)態(tài)切換面滑?？刂破髯饔孟碌目煽亟亲畲?，動(dòng)態(tài)切換面準(zhǔn)滑?？刂破鞔沃?，而常規(guī)切換面準(zhǔn)滑模控制器作用下系統(tǒng)的可控角最小。下面對(duì)三種控制器控制效果的比較都在其傾角可控范圍內(nèi)。

3.2 系統(tǒng)抖振的比較

根據(jù)變結(jié)構(gòu)理論：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)在滑模區(qū)時(shí)，其特性和參數(shù)只取決于切換函數(shù)而與其他無(wú)關(guān)，即滑模具有完全魯棒性。但伴隨滑模的運(yùn)動(dòng),系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)抖振，這種高頻振動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響系統(tǒng)的性能。下面就上文所設(shè)計(jì)的三種不同控制器作用系統(tǒng)時(shí)所產(chǎn)生的抖振進(jìn)行觀察比較。

仍取初始狀態(tài)X=[0 0 0.45 0]T，其他參數(shù)不變，在三種不同控制器控制作用小車角度在10 s內(nèi)的響應(yīng)曲線如圖1示。

圖1 小車角度響應(yīng)的比較

由圖1可看出，在三種不同控制器的作用下，系統(tǒng)的位置、速度、角速度以及控制u響應(yīng)曲線都有圖1所示的特性，即動(dòng)態(tài)切換面滑?？刂破鞅瘸Ｒ?guī)切換面滑?？刂破髟谙斗矫嬗忻黠@的優(yōu)勢(shì)，而帶擾動(dòng)跟蹤的動(dòng)態(tài)切換面滑?？刂破鞅炔粠_動(dòng)跟蹤的動(dòng)態(tài)切換面滑?？刂破髟谙斗矫嬗忻黠@的優(yōu)勢(shì)。

3.3 系統(tǒng)抗干擾性比較

設(shè)小車位于平衡狀態(tài)X=[0 0 0 0]T處，給系統(tǒng)的控制輸入端u處加入幅值為5的隨機(jī)干擾信號(hào)，在上述三種不同控制器作用下小車速度在3 s內(nèi)的響應(yīng)曲線如圖2示。

圖2 干擾作用下的小車角度響應(yīng)比較

由圖2可看出，對(duì)于系統(tǒng)角度，動(dòng)態(tài)切換面滑?？刂破髯饔孟孪到y(tǒng)的抗干擾能力比常規(guī)切換面滑?？刂破髯饔孟孪到y(tǒng)抗干擾能力弱很多，但是通過(guò)增加擾動(dòng)跟蹤項(xiàng),可使動(dòng)態(tài)切換面滑?？刂破鞯目垢蓴_能力又得以顯著地增強(qiáng)。

大量仿真曲線表明：對(duì)于相同的趨近律，與常規(guī)切換面滑?？刂破飨啾龋瑒?dòng)態(tài)切換面滑?？刂破麟m然顯著地削弱了系統(tǒng)的抖振，但同時(shí)也削弱了系統(tǒng)的抗干擾能力。而通過(guò)給趨近律中加入擾動(dòng)跟蹤項(xiàng)設(shè)計(jì)的帶擾動(dòng)跟蹤的動(dòng)態(tài)滑?？刂破髯饔孟到y(tǒng)時(shí)，不僅顯著地削弱了系統(tǒng)的抖振，而且保留了常規(guī)切換面滑模控制器較強(qiáng)的抗干擾能力。由此可見(jiàn)，擾動(dòng)跟蹤項(xiàng)不但很好地補(bǔ)償了變結(jié)構(gòu)控制的抖振缺陷，而且還實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的不變性，增大了系統(tǒng)的可控范圍。

本文針對(duì)反饋線性化得到的小車系統(tǒng)線性模型，設(shè)計(jì)了基于常規(guī)切換面和動(dòng)態(tài)滑模切換面的準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)變結(jié)構(gòu)控制器，并在此基礎(chǔ)上通過(guò)給控制u中加入擾動(dòng)跟蹤項(xiàng)，設(shè)計(jì)出能同時(shí)削弱抖振和保證系統(tǒng)抗干擾能力的控制器，實(shí)現(xiàn)了小車的穩(wěn)定控制。通過(guò)仿真比較可以看出，與常規(guī)切換面控制器作用相比，在基于動(dòng)態(tài)切換面控制器作用下系統(tǒng)的可控范圍較大、抑制系統(tǒng)抖振能力強(qiáng)，但同時(shí)系統(tǒng)的魯棒性變差，即在削弱系統(tǒng)抖振的同時(shí)也削弱了系統(tǒng)的魯棒性。而通過(guò)給控制u中加入擾動(dòng)跟蹤項(xiàng)使系統(tǒng)抗干擾能力顯著增強(qiáng)，即具有擾動(dòng)跟蹤的動(dòng)態(tài)滑?？刂破鞑粌H更好地削弱了系統(tǒng)的抖振，同時(shí)還保證了滑模對(duì)擾動(dòng)的不變性，實(shí)現(xiàn)了滑動(dòng)模態(tài)魯棒性和消除抖振的統(tǒng)一。

[1]Li Yanzhao,Qu Shengli,Zhu Jiahui,et al.Study on the control of a two-wheeled unstable vehicle based on sensitivity Analysis[M].The University of Western Australia School of Mechanical Engineering,IEEE,2009.

[2]OOI R C.Banlancing a two-wheeled autonomous robot[M].IEEE,2003.

[3]朱加輝.兩輪自平衡小車反饋線性化及變結(jié)構(gòu)控制研究[D].西安:西安電子科技大學(xué)，2010.

[4]胡躍明.非線性控制系統(tǒng)理論與應(yīng)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2005.

[5]高為炳.變結(jié)構(gòu)控制理論基礎(chǔ)[M].北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社，1990.

[6]姚瓊薈.變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)[M].重慶：重慶大學(xué)出版社，1997.

[7]趙勇.兩輪不穩(wěn)定機(jī)器人載體運(yùn)動(dòng)學(xué)及動(dòng)力學(xué)變結(jié)構(gòu)控制研究[D].西安：西安電子科技大學(xué)，2007.

[8]黃忠霖.控制系統(tǒng)MATLAB計(jì)算及仿真[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2004.