基于Hopf分岔理論的風(fēng)電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性研究

李季 周雪松 馬幼捷

(天津理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，天津 300384)

0 引言

近年來，風(fēng)力發(fā)電在世界范圍內(nèi)發(fā)展迅猛，風(fēng)電并網(wǎng)乃是風(fēng)電發(fā)展的必然選擇。然而隨著風(fēng)電容量在電網(wǎng)中的比例迅速增加，風(fēng)電對(duì)電網(wǎng)的影響日益突出［1-2］。大規(guī)模的風(fēng)電接入可能會(huì)影響電能質(zhì)量、線路傳輸功率越限、短路容量增加及電力系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生變化等問題。國(guó)內(nèi)外風(fēng)電場(chǎng)運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)表明，大規(guī)模風(fēng)電入網(wǎng)產(chǎn)生的聯(lián)網(wǎng)問題主要是電壓穩(wěn)定問題，電壓失穩(wěn)是含風(fēng)電的電力系統(tǒng)(下文簡(jiǎn)稱風(fēng)電系統(tǒng))失穩(wěn)的主要形式［2］，這給大規(guī)模風(fēng)電利用帶來了巨大的挑戰(zhàn)。

正是由于分岔理論在常規(guī)電力系統(tǒng)電壓穩(wěn)［1］定性研究中的豐碩成果［3-5］，結(jié)合風(fēng)電系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)特征，分岔理論被引入來研究風(fēng)電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性［6-7］。而目前風(fēng)電系統(tǒng)分岔研究大都是基于鞍結(jié)分岔研究［8-9］，很少涉及風(fēng)電系統(tǒng)的Hopf分岔的研究。Hopf分岔是電力系統(tǒng)極限運(yùn)行點(diǎn)的標(biāo)志之一，對(duì)常規(guī)電力系統(tǒng)研究表明:發(fā)生Hopf分岔的系統(tǒng)都運(yùn)行在接近“鼻形曲線鼻尖”部分，此處運(yùn)行點(diǎn)的吸引區(qū)域非常小，系統(tǒng)抗擾性差。因此應(yīng)用Hopf分岔理論研究風(fēng)電系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性也就很有意義。

本文應(yīng)用Hopf分岔理論，研究了異步發(fā)電機(jī)等值的風(fēng)電場(chǎng)的有功功率和無功功率對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響;并對(duì)靜止無功補(bǔ)償器(static var compensation，SVC)對(duì)Hopf分岔的控制作用進(jìn)行了分析，以期得到一些對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)行有參考價(jià)值的結(jié)論。

1 HOPF 分岔理論簡(jiǎn)介［10］

非線性動(dòng)力系統(tǒng)的參數(shù)變化不能使系統(tǒng)從一種流連續(xù)地過渡為另一種流的現(xiàn)象稱為分岔，分岔理論主要包括靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩個(gè)方面。靜態(tài)分岔指的是平衡點(diǎn)的數(shù)目和穩(wěn)定性隨參數(shù)變化而發(fā)生的變化，如鞍結(jié)分岔。動(dòng)態(tài)分岔則是對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的否定，對(duì)于結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，一個(gè)小擾動(dòng)就可能破壞軌線的拓?fù)涞葍r(jià)，Hopf分岔是最基本也最具有代表性的動(dòng)態(tài)分岔。

對(duì)于非線性動(dòng)力系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程一般為

式中μ∈R是分岔參數(shù)，如果在平衡點(diǎn)(x0，μ0)處的系統(tǒng)的Jacobian矩陣有一對(duì)純虛非零特征值，這對(duì)虛根橫截的穿越虛軸時(shí)，在臨界點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)周期解，即為Hopf分岔，Hopf分岔也可以理解為形成極限環(huán)或周期解的分岔。

Hopf分岔理論研究的是自治系統(tǒng)平衡點(diǎn)解分岔產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)周期解的問題，基本思想是基于經(jīng)典穩(wěn)定性理論，從方程的攝動(dòng)方程零解穩(wěn)定性來判別平衡點(diǎn)解的穩(wěn)定性。Hopf證明了系統(tǒng)在(x0，μ0)處將從平衡點(diǎn)解分岔出一個(gè)非常量的周期解，即對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的極限環(huán)，系統(tǒng)發(fā)生振蕩或振蕩失穩(wěn)，在電力系統(tǒng)中就發(fā)現(xiàn)了這種現(xiàn)象。因此追蹤系統(tǒng)平衡解流形、確定分岔點(diǎn)位置，對(duì)于了解電力系統(tǒng)穩(wěn)定性及其變化規(guī)律有重要的意義。

2 平衡解流形的追蹤［11］

對(duì)于動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)

式中x為狀態(tài)變量，λ為控制參數(shù)。

若系統(tǒng)式(2)在平衡點(diǎn)(x，λ)處滿足霍普夫分岔，則在該系統(tǒng)的雅可比矩陣A≡?f/?x在該點(diǎn)處分別對(duì)應(yīng)一對(duì)共軛純虛根，記為jω。對(duì)霍普夫分岔，有

上述方程為復(fù)數(shù)形式，即向量q和q0。該方程的未知數(shù)為(x，λ，q，ω)，可以分析方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)的個(gè)數(shù)是相等的。

式(2)的平衡點(diǎn)滿足方程f(x，λ)=0，可以認(rèn)為，該方程在n+1維空間y≡(x，λ)∈Rn×R1定義了一個(gè)1維的廣義曲線(或稱流形)M，稱之為平衡解流形或平衡解曲線，而延拓法可用來追蹤該流形，它是用一系列滿足平衡點(diǎn)要求的離散點(diǎn)(y1，y2，…)來逼近曲線M的。在追蹤該流形的過程中，通過檢測(cè)局部分岔?xiàng)l件來判斷是否在該流形上存在分岔點(diǎn)。一般延拓法只能追蹤計(jì)算得到一維流形，因而也只能計(jì)算得到單個(gè)參數(shù)的分岔值。

為了追蹤風(fēng)電系統(tǒng)二維參數(shù)分岔邊界?，F(xiàn)假設(shè)已算得式(2)的單個(gè)參數(shù)分岔點(diǎn)，由此可探索將延拓法應(yīng)用于求解直接法所處理的數(shù)學(xué)方程。其意義等價(jià)于利用延拓法來追蹤局部分岔所滿足的流形，而非上述意義下平衡解流形，此時(shí)可計(jì)算得到式(2)中二維參數(shù)的局部分岔邊界。本文利用這種思想來求取風(fēng)電系統(tǒng)的二維分岔邊界。

3 風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔算例分析

3.1 風(fēng)電系統(tǒng)模型

本文采用的風(fēng)電系統(tǒng)模型，如圖1所示。該模型由一個(gè)等值風(fēng)電場(chǎng)和兩個(gè)發(fā)電機(jī)組成，其中發(fā)電機(jī)G1母線被處理成松弛母線，等值發(fā)電機(jī)G2采用二階模型，風(fēng)電場(chǎng)G3采用動(dòng)態(tài)Walve負(fù)荷模擬。

3.1.1等值發(fā)電機(jī)模型

圖1 風(fēng)電系統(tǒng)模型

其中M、Dm、Tm和Em分別為發(fā)電機(jī)的慣量、阻尼系數(shù)、輸入轉(zhuǎn)矩和發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓;δm、ω、θ、u分別為發(fā)電機(jī)功角、發(fā)電機(jī)角頻率、節(jié)點(diǎn)電壓相角、節(jié)點(diǎn)電壓;ym和 am為網(wǎng)絡(luò)參數(shù)。

3.1.2風(fēng)電場(chǎng)模型

異步發(fā)電機(jī)是目前風(fēng)力發(fā)電中應(yīng)用較廣泛的機(jī)型，由于異步發(fā)電機(jī)運(yùn)行時(shí)輸出的有功功率的大小取決于風(fēng)速和風(fēng)向，和系統(tǒng)負(fù)荷變化無關(guān);同時(shí)異步發(fā)電機(jī)組運(yùn)行時(shí)要從電網(wǎng)吸收無功功率，勢(shì)必會(huì)引起電網(wǎng)電壓的降低，尤其會(huì)引起風(fēng)電場(chǎng)與電網(wǎng)聯(lián)絡(luò)線的電壓損耗增加。

為了研究風(fēng)電場(chǎng)的異步發(fā)電機(jī)組發(fā)出的有功功率和吸收的無功功率對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響，所以可以把風(fēng)電場(chǎng)等值為電力系統(tǒng)的特殊動(dòng)態(tài)“負(fù)荷”，動(dòng)態(tài)負(fù)荷模型［12］如下

其中P為風(fēng)電場(chǎng)發(fā)出的有功功率;Q為風(fēng)電場(chǎng)吸收的無功功率，P1+jQ1為感應(yīng)電動(dòng)機(jī)并聯(lián)的靜態(tài)恒功率負(fù)荷，對(duì)于風(fēng)電場(chǎng)P1就對(duì)應(yīng)風(fēng)速轉(zhuǎn)化的有功功率，其余參數(shù)含義見文獻(xiàn)［13］。

3.1.3風(fēng)電系統(tǒng)模型

將系統(tǒng)各元件模型和網(wǎng)絡(luò)方程聯(lián)立就可以得到描述系統(tǒng)的綜合模型，一般形式為，其中 f定義了發(fā)電機(jī)和負(fù)荷的動(dòng)態(tài)行為。系統(tǒng)的狀態(tài)變量x=［δm、ω、θ、u］，變量的含義，式中參數(shù)的含義及推導(dǎo)可參閱文獻(xiàn)［13］。

3.2 仿真分析

電力系統(tǒng)Hopf分岔是一種很重要的動(dòng)態(tài)分岔，是其余動(dòng)態(tài)分岔的基礎(chǔ)。電力系統(tǒng)中的Hopf分岔與參數(shù)有密切的關(guān)系，不同的參數(shù)對(duì)Hopf分岔的影響不同。本文針對(duì)有功功率和無功功率對(duì)Hopf分岔的影響進(jìn)行研究。

3.2.1有功功率和無功功率對(duì)Hopf分岔的影響

在電壓穩(wěn)定分析中，當(dāng)系統(tǒng)的無功功率Q1發(fā)生變化，使系統(tǒng)電壓處于穩(wěn)定或不穩(wěn)定平衡點(diǎn)狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)電壓穩(wěn)定或不穩(wěn)定;圖2給出了風(fēng)電場(chǎng)端電壓u隨無功功率Q1變化而發(fā)生分岔的情況，系統(tǒng)平衡解流形的下半個(gè)分支是不滿足運(yùn)行要求的的，所以把分析的重點(diǎn)就放在平衡解流形的上半支上。

從圖2可以看出，從初始狀態(tài)Q1=0，u=1 開始，隨著風(fēng)電場(chǎng)吸收的無功功率Q1的增加，風(fēng)電場(chǎng)電壓u持續(xù)下降，在系統(tǒng)達(dá)到運(yùn)行極限點(diǎn) LP(limit point)之前，即風(fēng)電系統(tǒng) Q1達(dá)到1.499884時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，即圖2中的H1，此時(shí)系統(tǒng)電壓(u=0.908584)滿足運(yùn)行要求時(shí)，由Hopf分岔理論可知，當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時(shí)，對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)開始出現(xiàn)振蕩，所以風(fēng)電場(chǎng)消耗的無功功率會(huì)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)電壓穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。

風(fēng)電場(chǎng)運(yùn)行時(shí)，有功功率和無功功率都在變化，所以對(duì)風(fēng)電場(chǎng)進(jìn)行兩參數(shù)的Hopf分岔研究更有意義，圖3給出了當(dāng)P1和Q1同時(shí)變化時(shí)系統(tǒng)的二維電壓Hopf分岔邊界，隨著有功功率P1的增加，系統(tǒng)的電壓u升高，隨著無功功率Q1的增加，系統(tǒng)電壓u降低，相應(yīng)的，隨著風(fēng)電場(chǎng)無功功率的增加，造成了風(fēng)電場(chǎng)在發(fā)出較少的有功功率時(shí)，就可能發(fā)生Hopf分岔，即為了避免系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔，當(dāng)無功功率消耗較大時(shí)，必須限制風(fēng)電場(chǎng)的有功功率的輸出，所以Hopf分岔的消失是以犧牲風(fēng)電場(chǎng)的有功出力為代價(jià)的。

3.2.2靜止無功補(bǔ)償器SVC對(duì)Hopf分岔的影響

圖2 Q1對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔的影響

圖3 P1和Q1對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔邊界的影響

Hopf分岔的出現(xiàn)有可能導(dǎo)致電力系統(tǒng)的電壓崩潰，因此控制系統(tǒng)中的分岔是避免電壓崩潰的一種途徑。通過前面分析P1、Q1，y0對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性影響分析，可知系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔和風(fēng)電場(chǎng)吸收的無功功率有密切關(guān)系，而靜止無功補(bǔ)償器SVC作為動(dòng)態(tài)無功補(bǔ)償裝置，是實(shí)現(xiàn)分岔控制的有利工具。

圖4 加裝SVC的風(fēng)電系統(tǒng)模型

本文采用在上述風(fēng)電系統(tǒng)的風(fēng)電場(chǎng)端安裝SVC，如圖 4所示，數(shù)學(xué)模型如式 5所示。

式中，uref為參考電壓，u為補(bǔ)償點(diǎn)電壓，Kr和 Tf為控制器放大倍數(shù)和時(shí)間常數(shù)，bSVC為等值電納，發(fā)出無功功率Q=bSVCu2。

本文以Q1對(duì)風(fēng)電系統(tǒng) Hopf分岔點(diǎn)的影響為例，說明風(fēng)電場(chǎng)在加裝SVC之后，Q1的變化對(duì)系統(tǒng)分岔點(diǎn)和電壓穩(wěn)定性的影響。圖5給出了Kr=1.5和Tf=0.02時(shí)的風(fēng)電系統(tǒng)分岔參數(shù)Q1對(duì)加裝SVC后的風(fēng)電系統(tǒng)Hopf分岔點(diǎn)的影響，通過與圖2比較可知，加裝SVC后的風(fēng)電系統(tǒng)，當(dāng) Q1增加時(shí)，系統(tǒng)的電壓提高了，同時(shí)系統(tǒng)發(fā)生Hopf分岔時(shí)的的無功功率(Q1=11.531989)大大提高了，且Hopf分岔點(diǎn)H1點(diǎn)非常接近于系統(tǒng)的極限運(yùn)行點(diǎn)LP，如圖6所示，仿真表明SVC為風(fēng)電場(chǎng)提供的無功功率，延遲了Hopf分岔的發(fā)生，增加了風(fēng)電系統(tǒng)的穩(wěn)定域。

4 結(jié)束語

風(fēng)電系統(tǒng)隨著無功功率消耗的增加，會(huì)降低風(fēng)電場(chǎng)的電壓水平，同時(shí)相應(yīng)要限制風(fēng)電場(chǎng)的有功出力，以避免Hopf分岔對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)電壓穩(wěn)定性的影響。SVC作為動(dòng)態(tài)無功補(bǔ)償設(shè)備，可以延遲系統(tǒng)的Hopf分岔點(diǎn)，增加負(fù)荷極限，提高了風(fēng)電系統(tǒng)系統(tǒng)的電壓穩(wěn)定性。

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