精確考慮單質(zhì)點體系動力二階效應(yīng)的反應(yīng)譜法*

王志軍 韓風霞 黃宗明

(重慶大學土木工程學院∥山地城鎮(zhèn)建設(shè)與新技術(shù)教育部重點實驗室，重慶400045)

豎向重力荷載在已變形的結(jié)構(gòu)中會產(chǎn)生對應(yīng)于柱自身撓曲的P-δ效應(yīng)和對應(yīng)于柱端側(cè)移的P-Δ效應(yīng)兩類二階效應(yīng).從最早的經(jīng)典穩(wěn)定理論的單一“增大系數(shù)－計算長度”方法，到分別準確考慮P-δ效應(yīng)和P-Δ效應(yīng)所引起的附加變形和附加內(nèi)力特點的各種簡化方法(如“層增大系數(shù)法”和“全樓增大系數(shù)法”)，研究者已對靜力二階效應(yīng)進行了大量的研究［1-6］.但對豎向荷載在地震作用下產(chǎn)生的側(cè)移引起的二階效應(yīng)(即動力二階效應(yīng))則研究較少，大都僅限于單質(zhì)點體系的P-Δ效應(yīng)［7-9］，對于同時考慮P-Δ和P-δ效應(yīng)(即精確考慮二階效應(yīng))的研究鮮見報道，也沒有形成完整和方便的考慮動力二階效應(yīng)的簡化方法.

現(xiàn)行各國規(guī)范中有關(guān)考慮二階效應(yīng)的規(guī)定，絕大部分是考慮靜力二階效應(yīng)的方法.GB50011—2010《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》根據(jù)影響靜力二階效應(yīng)(主要是P-Δ效應(yīng))的穩(wěn)定系數(shù)，給出了需考慮重力二階效應(yīng)的條件.我國即將頒布的《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》［10］雖全面修訂了考慮二階效應(yīng)的方法，采用了全新體系，但這套體系也主要是針對靜力二階效應(yīng)的，特別是規(guī)范中考慮P-Δ效應(yīng)的“層增大系數(shù)法”和“全樓增大系數(shù)法”均是考慮靜力二階效應(yīng)的方法.JGJ3—2002《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》中考慮P-Δ效應(yīng)的方法和新修訂的《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》相同.

靜力二階效應(yīng)主要和穩(wěn)定系數(shù)相關(guān)，穩(wěn)定系數(shù)越大，靜力二階效應(yīng)越大.在地震作用下，二階效應(yīng)會增大結(jié)構(gòu)的側(cè)移，也就是會使結(jié)構(gòu)的側(cè)向剛度減小，引起結(jié)構(gòu)的周期改變，從而影響結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng).也就是說動力二階效應(yīng)，除和穩(wěn)定系數(shù)相關(guān)外，還和結(jié)構(gòu)的動力特性相關(guān).以靜力的方法來考慮動力二階效應(yīng)不能反映出結(jié)構(gòu)的動力特性和地震波的頻譜特性對動力二階效應(yīng)的影響.

彈性反應(yīng)譜理論仍是現(xiàn)階段抗震設(shè)計的最基本理論，無論是底部剪力法還是振型分解反應(yīng)譜法都要用到單自由度體系的加速度反應(yīng)譜.因此，研究如何利用彈性反應(yīng)譜來考慮單質(zhì)點體系動力二階效應(yīng)的簡化方法，具有重要的理論意義和實用價值.

1 精確考慮靜力二階效應(yīng)的剛度折減系數(shù)

單自由度桿體系模型如圖1所示.

圖1 模型示意圖Fig.1 Model schemes

當只考慮P-Δ效應(yīng)時，桿上距桿底部x高度處的截面彎矩M為

式中:P為作用在桿頂?shù)乃搅?N為作用在桿頂?shù)呢Q向力;Δ為桿頂側(cè)向位移;l為桿的長度.

彎矩M和曲率有如下關(guān)系:

式中，y為桿上距桿底部x高度處的側(cè)向位移.

將式(1)代入式(2)并積分得到

其中:EI為截面抗彎剛度;將邊界條件x=l，y=Δ代入式(3)，且令柱剛度，穩(wěn)定系數(shù)，得:

上式中:

α1是只考慮靜力P-Δ效應(yīng)的位移增大系數(shù)，與規(guī)范中的“層增大系數(shù)”相一致.式(4)可改寫為

故α1也可視為考慮P-Δ效應(yīng)的側(cè)移剛度折減系數(shù).

當同時考慮P-Δ效應(yīng)和P-δ效應(yīng)時，需考慮柱自身撓曲所產(chǎn)生的附加彎矩，此時桿上距桿底部x高度處由豎向力產(chǎn)生的截面附加彎矩為N(Δ－y)，同理有:

解方程(7)得:

令

α2即為精確考慮靜力二階效應(yīng)的位移增大系數(shù)或者視為側(cè)移剛度折減系數(shù).

2 精確考慮動力二階效應(yīng)的反應(yīng)譜法

2.1 通用反應(yīng)譜法

式(4)和(9)說明二階效應(yīng)的影響可視為結(jié)構(gòu)剛度折減，從而使桿件側(cè)移增大.對于動力問題，如果結(jié)構(gòu)的質(zhì)量不變，剛度發(fā)生改變必然導致結(jié)構(gòu)周期變化.

為了研究二階效應(yīng)對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響，首先建立水平地震作用下考慮了二階效應(yīng)的結(jié)構(gòu)動力學方程.設(shè)桿上距桿底部x高度處的截面?zhèn)认蛭灰茷閡，地面運動加速度為¨ug，圖1所示的單自由度桿模型上所受的慣性力為m(¨u+¨ug)，阻尼力為c˙u，而考慮了二階效應(yīng)的恢復力則為，故單質(zhì)點體系的運動方程為

其中:m為桿件集中質(zhì)量;c為桿件的阻尼;αi為側(cè)移剛度折減系數(shù)，i=1，2分別表示只考慮P-Δ效應(yīng)和精確考慮靜力二階效應(yīng).

從上式可以看出，在水平地震作用下，考慮二階效應(yīng)后的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，可以等效為一剛度折減為K/αi的單自由度體系的一階響應(yīng).

假定桿的一階周期為T0，則考慮二階效應(yīng)后的結(jié)構(gòu)周期為分別表示對應(yīng) T0和Ti的位移反應(yīng)譜幅值，考慮二階效應(yīng)后的位移增大系數(shù)為

根據(jù)彈性加速度反應(yīng)譜Sa和位移反應(yīng)譜Sd之間的近似關(guān)系，可以得到利用單條地震波加速度反應(yīng)譜計算的位移增大系數(shù)為

故

式中:i=1，2，分別表示只考慮P-Δ效應(yīng)和精確考慮靜力二階效應(yīng)下對應(yīng)的值;Sa0、Sai分別表示對應(yīng)T0和Ti的加速度反應(yīng)譜幅值.

從式(14)可以看出，在彈性范圍內(nèi)，動力二階效應(yīng)的影響取決于桿件的穩(wěn)定系數(shù)和一階、二階周期對應(yīng)的加速度反應(yīng)譜值的比值.也就是說，除穩(wěn)定系數(shù)外，動力二階效應(yīng)還與結(jié)構(gòu)自振周期和地震波的頻譜特性相關(guān).如果已知單條地震波的加速度反應(yīng)譜和結(jié)構(gòu)的一階周期，就可以根據(jù)考慮二階效應(yīng)的剛度折減系數(shù)計算出動力二階效應(yīng)影響系數(shù).

2.2 規(guī)范設(shè)計反應(yīng)譜法

為了簡化計算，可根據(jù)GB50011—2010《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》采用的設(shè)計反應(yīng)譜計算動力二階效應(yīng)的位移增大系數(shù).下面根據(jù)周期T0和Ti的大小來說明動力二階效應(yīng)影響系數(shù)的計算方法.

當T0和Ti位于規(guī)范反應(yīng)譜的平臺段時，Sa0=Sai，故動力二階效應(yīng)的增大系數(shù)和靜力二階效應(yīng)相等.其它情況下動力二階效應(yīng)的增大系數(shù)用下式計算.

當 0≤T0≤0.1s時，

當Tg＜T0＜5Tg時，

當 5Tg≤T0≤6s時，

式中:Tg為特征周期;γ為衰減指數(shù);η1為直線下降段的下降斜率調(diào)整系數(shù);η2為阻尼調(diào)整系數(shù);各參數(shù)均按《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》進行取值.

從式(15)－(17)可以看出，結(jié)構(gòu)自振周期T0≤0.1s時，動力二階效應(yīng)要大于靜力二階效應(yīng);當T0＞Tg后，按規(guī)范設(shè)計反應(yīng)譜計算的動力二階效應(yīng)增大系數(shù)要小于靜力二階效應(yīng).以Tg＜T0＜5Tg下降段為例來進行分析，按GB50011—2010《建筑抗震設(shè)計規(guī)范》取γ=0.9，頂點側(cè)移的靜力和動力增大系數(shù)αi和αe的差別如圖2所示.

圖2 動力和靜力二階效應(yīng)比較Fig.2 Comparision between static and dynamic second-order effects

從圖2可以看出，只考慮P-Δ效應(yīng)和同時考慮P-Δ和P-δ效應(yīng)兩種情況下，動力二階效應(yīng)的影響均小于靜力二階效應(yīng)，隨著穩(wěn)定系數(shù)的增大，靜力二階效應(yīng)的影響增加幅度較大，而動力二階效應(yīng)的影響增加幅度較小，兩者的差別更加明顯.

Tg＜T0＜5Tg時，P-δ效應(yīng)在靜力和動力二階效應(yīng)中所占的比例如圖3所示.

圖3 P-δ效應(yīng)比例Fig.3 Proportion of P-δ effect

從圖3可以看出，P-δ效應(yīng)產(chǎn)生的影響，在靜力分析中比較顯著，所占的比例最大可達9.5%左右，而在動力分析中占的比例相對來說要小一些，最大在5%左右.同時由圖3可見，精確考慮二階效應(yīng)時，在穩(wěn)定系數(shù)為0.4左右時，P-δ效應(yīng)在靜力和動力二階效應(yīng)中所占比例最大，當穩(wěn)定系數(shù)過大時，無論是靜力分析還是動力分析，P-δ效應(yīng)所占比例逐步下降.

3 數(shù)值驗證

3.1 精確考慮靜力二階效應(yīng)的位移增大系數(shù)α2理論公式驗證

文中利用OpenSees［11］程序進行數(shù)值計算，分別計算出不同穩(wěn)定系數(shù)的一階和二階位移，然后得到二階位移與一階位移的比值(即增大系數(shù))，與公式(10)計算的結(jié)果進行比較，如圖4所示.計算結(jié)果表明，精確考慮靜力二階效應(yīng)時，利用程序計算的柱端位移增大系數(shù)與理論推導公式計算的側(cè)移增大系數(shù)(剛度折減系數(shù))α2是吻合的.

圖4 公式和數(shù)值計算結(jié)果比較Fig.4 Comparison between formula calculation results and numerical calculation results

3.2 位移增大系數(shù)αe理論公式驗證

3.2.1 通用反應(yīng)譜法

通用反應(yīng)譜法基于式(11)的運動方程，也就是結(jié)構(gòu)考慮二階效應(yīng)后的響應(yīng)可以等效為剛度折減為K/αi的一階響應(yīng).為了從數(shù)值計算上說明這一結(jié)論，文中利用OpenSees程序針對不同穩(wěn)定系數(shù)的結(jié)構(gòu)進行了精確考慮二階效應(yīng)的二階分析和按剛度折減的一階分析，部分結(jié)果見表1.由表1可見，無論位移還是加速度，兩者的誤差都很小，充分說明剛度等效方法是正確的.

為了考察通用反應(yīng)譜法在推導過程中所做簡化的誤差大小，文中進行了大量的有限元數(shù)值分析.分析對象為穩(wěn)定系數(shù)為0.15、0.20、0.25和0.30四組懸臂柱，輸入的地震波為1條天然波(El-Centro波)和3條人造地震波(Acc1，Acc2，Acc3).做出這4條波的加速度反應(yīng)譜，分別按懸臂桿一階和二階的周期查出對應(yīng)的加速度反應(yīng)譜幅值，根據(jù)公式(14)計算出位移增大系數(shù)αe，即表2中的理論公式計算結(jié)果.數(shù)值計算采用Opensees程序計算，同樣給出懸臂桿二階和一階位移的比值，結(jié)果如表2所示.從表2可以看出，采用單條地震波的通用反應(yīng)譜法計算的動力二階效應(yīng)影響與數(shù)值計算結(jié)果吻合較好.

表1 程序二階分析與折減剛度一階分析計算結(jié)果Table 1 Results between second-order analysis and stiffness reduction method

表2 通用反應(yīng)譜法理論與數(shù)值計算結(jié)果Table 2 Calculation results by general seismic response spectrum method

3.2.2 規(guī)范反應(yīng)譜法

假定Tg=0.35s，取結(jié)構(gòu)的自振周期T0在Tg～5Tg之間，可以用公式(16)來計算規(guī)范反應(yīng)譜的結(jié)果。規(guī)范反應(yīng)譜法計算結(jié)果與3.2.1節(jié)的單條地震波的數(shù)值計算結(jié)果如表3所示.

從理論與數(shù)值結(jié)果比較來看，兩者是有差別的，產(chǎn)生誤差的原因在于規(guī)范反應(yīng)譜是統(tǒng)計意義上的譜值，是多條波“平均”的結(jié)果，反應(yīng)譜曲線是光滑的，而程序計算時采用的是單條地震波，其反應(yīng)譜曲線并不光滑，存在小的峰值點，從而導致其結(jié)果可能小于或大于規(guī)范反應(yīng)譜的計算結(jié)果.將4條波的計算結(jié)果取平均值，就與理論公式結(jié)果比較接近，誤差較小.

表3 規(guī)范反應(yīng)譜法與單條波數(shù)值計算結(jié)果Table 3 Results of standard response spectrum method and single seismic wave numerical calculation

4 結(jié)論

(1)從“剛度折減”的角度，研究了同時考慮P-Δ和P-δ效應(yīng)對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響，研究表明:在水平地震作用下，二階效應(yīng)對結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的影響，可以視為結(jié)構(gòu)側(cè)移剛度的折減;二階效應(yīng)使得結(jié)構(gòu)側(cè)移剛度減小，自振周期增大;除穩(wěn)定系數(shù)外，動力二階效應(yīng)還與結(jié)構(gòu)自振周期和地震波的頻譜特性相關(guān).

(2)推導了精確考慮二階效應(yīng)的結(jié)構(gòu)側(cè)移剛度折減系數(shù);根據(jù)單條地震波的反應(yīng)譜或規(guī)范設(shè)計反應(yīng)譜，推導了簡單方便計算動力二階效應(yīng)的位移增大系數(shù)公式.

(3)通過理論公式和程序數(shù)值分析結(jié)果對比，驗證了動力二階效應(yīng)反應(yīng)譜法的可行性和準確性.

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