平面繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人靜態(tài)剛度

王克義，孟浩，張立勛，郭培培

(1.哈爾濱工程大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人作為一種柔性冗余驅(qū)動并聯(lián)機(jī)構(gòu)，相對傳統(tǒng)剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，具有慣性小、運(yùn)動空間大和運(yùn)動速度快等優(yōu)點(diǎn)，但繩索只能承受拉力是該類機(jī)構(gòu)的特點(diǎn)，由于繩索本身具有一定的彈性［1-2］，所以動平臺的靜態(tài)剛度相對剛性并聯(lián)機(jī)構(gòu)有所降低，影響系統(tǒng)的定位精度［3］.分析影響繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人動平臺靜態(tài)剛度因素以及尋找提高靜態(tài)剛度的有效措施具有重要的理論意義和現(xiàn)實(shí)意義.利用非線性方程表征繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人的繩索剛度，分析繩索拉力對剛度的影響情況并進(jìn)行了仿真，研究了繩索彈性對動態(tài)響應(yīng)的影響［4］.通過分析單根繩索的等效彈簧模型，推導(dǎo)了冗余驅(qū)動繩牽引并聯(lián)機(jī)器人的剛度表達(dá)，進(jìn)行了剛度控制分析［5］;也有通過建立系統(tǒng)的靜力學(xué)平衡方程，根據(jù)剛度定義概念，得出動平臺靜態(tài)剛度主要由繩索剛度決定和繩索幾何布置，繩索的預(yù)緊力對靜態(tài)剛度影響可以忽略不計［6-7］.基于所建立的系統(tǒng)運(yùn)動學(xué)方程和力平衡方程，通過微分變換方法，得出繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人動平臺靜態(tài)剛度的影響由繩索剛度和繩索拉力決定，且兩者之間影響處于獨(dú)立關(guān)系［8］.根據(jù)增大繩索拉力可以增強(qiáng)系統(tǒng)剛度，建立了基于剛度的運(yùn)動控制模型，并進(jìn)行了仿真分析［9-11］.上述仿真研究均通過所建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行的數(shù)值仿真，本文以平面1R2T完全約束定位機(jī)構(gòu)的繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人為對象，分析影響動平臺靜態(tài)剛度的因素，并用ANSYS軟件建立機(jī)器人系統(tǒng)的有限元模型，仿真施加外力后的動平臺變形.該研究對繩索牽引系統(tǒng)的定位精度和運(yùn)動控制研究具有指導(dǎo)性意義.

1 機(jī)器人機(jī)構(gòu)

平面繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人系統(tǒng)如圖1所示，繩索的一端(Pi，i=1，2，3，4)通過鉸鏈與動平臺相連，另一端繞過框架上分布的過輪(Bi)與電動機(jī)驅(qū)動的絞盤相連，電動機(jī)帶動絞盤實(shí)現(xiàn)繩索的控制，以此動態(tài)地調(diào)節(jié)動平臺的位姿，約束機(jī)構(gòu)用于限制動平臺的運(yùn)動輸出形式，位置檢測用于對動平臺的直接測量，其與電動機(jī)編碼器測得的數(shù)值相對比，可以知道繩索剛度對位姿控制精度的影響，串聯(lián)在繩索回路中的力傳感器用于繩索拉力的監(jiān)控.

圖1 平面繩索牽引機(jī)器人Fig.1 Plane wire-driven parallel robot

建立世界坐標(biāo)系oxy和局部坐標(biāo)系pxpyp，局部坐標(biāo)系固聯(lián)在動平臺中心，如圖2所示，其中 Bi(i=1，2，3，4)為繩索與過輪的連接點(diǎn)，Pi為繩索與動平臺的連接點(diǎn)，該點(diǎn)與局部坐標(biāo)系中心的矢量為ri=PPi，繩 索 矢 量 為 Li=PiBi，繩 索 長 度 為li=‖Li‖，繩索單位矢量為 ui=Li/li，ti為第 i根繩所受的拉力.

圖2 平面繩索牽引機(jī)器人模型Fig.2 Model of plane wire-driven parallel robot

2 靜態(tài)剛度分析

已知動平臺控制所處位姿，由逆運(yùn)動學(xué)可求解繩索長度.令動平臺中心位姿為X= [Px，Py，θ]T，可以求得Pi的位置:

從而計算出繩索的長度:

當(dāng)已知3根繩索長度時，考慮動平臺所處工作空間是由Bi構(gòu)成的凸集所確定，便可確定動平臺所處位姿.由于繩索不能承受壓力，為保證系統(tǒng)力的可控性［12］，需4根繩索牽引，這使得機(jī)器人在運(yùn)動學(xué)上體現(xiàn)出不相容性，故4根牽引繩索之間需滿足位置協(xié)調(diào)方程，同時在位置協(xié)調(diào)方程的影響下也避免了機(jī)器人正運(yùn)動學(xué)的多解.

根據(jù)平衡條件，建立系統(tǒng)力螺旋平衡方程:

簡化為

式中:J為力映射矩陣.

考慮到力映射矩陣與速度映射矩陣是互為轉(zhuǎn)置，故:

式中:L為繩索長度矩陣，L= [llll]T.1234

根據(jù)剛度定義，并依據(jù)微分變換原理可得繩索牽引機(jī)器人的靜態(tài)剛度為［10］

式中:K= [KxKyKθ]T代表動平臺3自由度的運(yùn)動剛度.考慮到dT=d[ t1t2t3t4]T，又由于繩索拉力的微分dti與繩索剛度ki和繩索長度的微分dli之間的關(guān)系為將式(5)代入式(4)的中，并考慮式(3)，則有

這說明繩索剛度和繩索布置方式影響特定位姿處動平臺的靜態(tài)剛度.而繩索剛度本身還取決于繩索未受拉力時的長度li0，即動平臺處于固定位姿時，繩索變形后的長度li是一定的，則繩索拉力將影響繩索長度li0，從而影響了繩索軸向剛度［12］.由變形條件可列方程:

式中:E為繩索彈性模量，A為繩索橫截面積，Δi為繩索變形量.從式(7)可以看出，增大繩索拉力，繩索表現(xiàn)出的剛度將增大，該增大值與繩索的彈性模量、橫截面積和長度有關(guān)，可見繩索拉力增大在部分中起到間接地增大動平臺靜態(tài)剛度的作用.有關(guān)式(4)中是代表繩索拉力對動平臺靜態(tài)剛度的直接影響，文獻(xiàn)［8］利用虛功原理對該部分進(jìn)行了分析.本文將針對不同繩索拉力條件下動平臺受外力作用前后的運(yùn)動量進(jìn)行有限元分析，尋找繩索拉力對牽引系統(tǒng)動平臺靜態(tài)剛度的影響規(guī)律.通過對式(2)求解可得繩索拉力:

式中:J+=JT(JJT)-1為J的廣義逆，J+F為方程最小范數(shù)解，TNu11=λNu11(J)為繩索拉力零空間解向量，λ為正常數(shù)，Nu11(J)為J的零空間基向量，通過選取不同λ的可以確定不同的繩索拉力.

3 有限元仿真

參考圖 2，設(shè)計過輪中心 Bi(i=1，2，3，4)在世界坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(單位均為m)

動平臺的結(jié)構(gòu)尺寸為0.3×0.2，對應(yīng)的連接點(diǎn)Pi(i=1，2，3，4)在局部坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

通過ANSYS軟件建立平面繩索牽引并聯(lián)機(jī)器人模型，考慮到牽引繩索的受力特性，即僅能承受拉力不能承受壓力，故選擇有限元單元LINK10作為繩索劃分單元，它獨(dú)特的雙線性剛度矩陣特性使其成為一個軸向僅受拉或僅受壓的桿單元(該仿真設(shè)置為受拉選項(xiàng)，僅受拉)，使用僅受拉選項(xiàng)時，如果單元受壓，剛度就消失，以此來模擬繩索的松弛;此外在該單元的實(shí)常數(shù)中可以設(shè)置繩索的初始應(yīng)變，以此實(shí)現(xiàn)仿真中要針對不同的繩索初始拉力條件，所以每根繩索的初始應(yīng)變根據(jù)不同的條件分別進(jìn)行設(shè)置.繩索牽引系統(tǒng)中牽引繩索的連接點(diǎn)處可以實(shí)現(xiàn)繞任意方向轉(zhuǎn)動，即可等效為球鉸，而在平面繩索牽引機(jī)器人中繩索在過輪和動平臺的連接點(diǎn)，可以認(rèn)為是繞垂直軸的鉸鏈.在ANSYS軟件中，選擇有限單元COMBIN7模擬鉸鏈，該單元是一個三維6自由度鉸鏈連接單元，具有轉(zhuǎn)動控制功能.

定義機(jī)器人在某一運(yùn)動方向上的等效靜態(tài)剛度為

式中:ΔF為作用在某一運(yùn)動方向上的外力;ΔX為在該運(yùn)動方向上的位移量.該等效靜態(tài)剛度強(qiáng)調(diào)的是一個運(yùn)動方向上的靜態(tài)剛度，并未考慮ΔF所引起其他運(yùn)動方向上的耦合運(yùn)動量.本文利用等效剛度概念，針對不同機(jī)器人繩索牽引方案，分析繩索拉力對動平臺靜態(tài)剛度影響情況.典型完全約束定位機(jī)構(gòu)的繩索布置方案如圖3所示.

圖3 機(jī)器人繩索布置方案Fig.3 The scheme of wire-driven parallel robot

對動平臺處于中心位置時進(jìn)行靜態(tài)剛度仿真，即機(jī)器人局部坐標(biāo)系與世界坐標(biāo)系重合.分別設(shè)置穩(wěn)態(tài)時繩索拉力最小值為 tmin=10，50，100，500，1 000，通過式(8)可以求出該姿態(tài)下每根繩索的拉力.研究動平臺兩平動的等效靜態(tài)剛度，令ΔFx=500 N，ΔFy=500 N，分別進(jìn)行仿真.當(dāng)繩索拉力最小值設(shè)置較小時，從仿真云圖中可以看出部分繩索已經(jīng)退出牽引狀態(tài)，此時繩索牽引機(jī)器人屬于不完全約束定位機(jī)構(gòu).圖3(a)方案仿真運(yùn)動量結(jié)果如表1所示，取3位有效數(shù)字.

表1 圖3(a)方案仿真結(jié)果Table 1 The simulation results of Fig.3(a)scheme

表(1)通過線性插值得到等效剛度曲線，如圖4所示.從該圖中可以看出，在繩索最小拉力較小(如tmin＜500 N)時，隨著繩索最小拉力的增大，動平臺的等效靜態(tài)剛度增大，繩索拉力對系統(tǒng)靜態(tài)剛度影響作用表現(xiàn)明顯;而繩索最小拉力增大到一定程度(如tmin＞500 N)時，其幾乎無影響作用.綜上得出:繩索拉力對系統(tǒng)靜態(tài)剛度影響是非線性.同時可以看出x軸和y軸等效剛度的變化規(guī)律并不一致，x軸數(shù)值變化范圍小，最小值為254 N/mm，最大值為360 N/mm;y軸數(shù)值變化范圍大，最小值為138 N/mm，最大值為505 N/mm，這與繩索牽引布置方案所關(guān)，說明該方案的y軸剛度比x軸受繩索拉力影響敏感.

圖4 方案1等效剛度曲線Fig.4 The equivalent stiffness of scheme 1

對圖3(b)方案2進(jìn)行等效剛度仿真，其曲線如圖5所示.其繩索拉力對動平臺靜態(tài)剛度影響規(guī)律與圖3(a)方案一致.x軸等效剛度數(shù)值變化范圍小，最小值為112 N/mm，最大值為221 N/mm;y軸等效剛度數(shù)值變化范圍大，最小值為331 N/mm，最大值為641 N/mm，在該方案中，y軸剛度始終比x軸大，與圖3(a)方案1對比，從側(cè)面反映出繩索牽引結(jié)構(gòu)對動平臺靜態(tài)剛度的影響.

對圖3(c)方案3進(jìn)行等效剛度仿真，其曲線如圖6所示.其繩索拉力對動平臺靜態(tài)剛度影響規(guī)律與圖3(a)、(b)方案1、2一致.x軸和y軸等效剛度數(shù)值變化范圍基本相同，其中 x軸的最小值為248N/mm，最大值為500N/mm;y軸的最小值為329N/mm，最大值為640N/mm，在該方案中，y軸剛度與x軸的差相對圖3(b)方案2有所減小，表現(xiàn)出的各向剛度相對均勻，這是繩索非交叉布置的優(yōu)點(diǎn)，但同時該布置也將降低繞z軸的運(yùn)動范圍.

圖5 方案2等效剛度曲線Fig.5 The equivalent stiffness of scheme 2

圖6 方案3等效剛度曲線Fig.6 The equivalent stiffness of scheme 3

綜上3種平面繩索牽引機(jī)器人靜態(tài)剛度的仿真，結(jié)果說明繩索拉力對系統(tǒng)靜態(tài)剛度影響是非線性;同時也證明了繩索布置方案同樣影響動平臺的靜態(tài)剛度.

4 結(jié)論

1)依據(jù)所建立的平面繩索牽引機(jī)器人模型，通過對靜態(tài)力螺旋平衡方程的微分變換，推導(dǎo)出動平臺靜態(tài)剛度的解析表達(dá)式，得出該剛度與繩索拉力、繩索拉伸剛度、繩索布置方案和動平臺所處位姿有關(guān).

2)根據(jù)繩索牽引特性，選擇了有限單元，利用有限元軟件ANSYS建立了平面繩索牽引機(jī)器人模型，定義了等效靜態(tài)剛度，并進(jìn)行了有限元仿真，得出在繩索最小拉力較小(如tmin＜500 N)時，隨著繩索最小拉力的增大，動平臺的等效靜態(tài)剛度增大，繩索拉力對系統(tǒng)靜態(tài)剛度影響作用表現(xiàn)明顯;而繩索最小拉力增大到一定程度(如tmin＞500 N)時，其幾乎無影響作用.同時證明了繩索布置方案對動平臺靜態(tài)剛度的影響作用.

3)該研究內(nèi)容為繩索牽引系統(tǒng)的定位精度和運(yùn)動控制研究提供指導(dǎo)性意義.

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