脆性材料動(dòng)態(tài)強(qiáng)度應(yīng)變率效應(yīng)*

嚴(yán) 成，歐卓成，段卓平，黃風(fēng)雷

(北京理工大學(xué)爆炸科學(xué)與技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

脆性材料在動(dòng)態(tài)加載下比在準(zhǔn)靜態(tài)加載下具有更高的承載能力，或者說(shuō)，材料的動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度高于靜態(tài)破壞強(qiáng)度。這種現(xiàn)象常被稱為材料動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度的應(yīng)變率效應(yīng)。該問(wèn)題的研究深受關(guān)注。

一方面，作為材料靜態(tài)強(qiáng)度理論的自然拓展，人們假設(shè)材料動(dòng)態(tài)強(qiáng)度是與應(yīng)變率相關(guān)的材料特征參數(shù)，并結(jié)合各種各樣的瞬時(shí)破壞理論如最大應(yīng)力準(zhǔn)則、最大應(yīng)變準(zhǔn)則和最大應(yīng)變能準(zhǔn)則等，試圖建立各類材料的動(dòng)態(tài)強(qiáng)度與應(yīng)變率之間的函數(shù)關(guān)系，并且提出了許多經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)的應(yīng)變率相關(guān)的動(dòng)態(tài)破壞準(zhǔn)則［1-6］。然而實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)離散度大，妨礙了人們對(duì)于規(guī)律的總結(jié)，難以滿足科學(xué)研究甚至工程應(yīng)用的需要［7］。此外，在探索材料動(dòng)態(tài)破壞的應(yīng)變率效應(yīng)的物理機(jī)理方面也遇到很大困難。

另一方面，從物理機(jī)制角度看，材料動(dòng)態(tài)破壞是材料內(nèi)部原子鍵、分子鍵破裂，微缺陷生成及發(fā)展乃至宏微觀孔洞聚合，裂紋擴(kuò)展等因素導(dǎo)致的一個(gè)復(fù)雜的損傷演化過(guò)程;而完成這一過(guò)程必然需要一定的時(shí)間，另外時(shí)間也是表示應(yīng)變率的重要因素?；诖耍瑢W(xué)者們開始關(guān)注并提出了眾多與時(shí)間相關(guān)的動(dòng)態(tài)破壞準(zhǔn)則。如 B.Steverding 等［8］提出了臨界時(shí)間準(zhǔn)則，V.S.Nikiphorovski等［9］提出了沖量準(zhǔn)則，用來(lái)表征材料動(dòng)態(tài)破壞的時(shí)間特征;J.F.Kalthoff等［10］、D.A.Shockey 等［11］、K.Ravi-Chandar等［12］等相繼提出了材料特征時(shí)間的概念，認(rèn)為材料動(dòng)態(tài)破壞存在一個(gè)與材料性質(zhì)相關(guān)的特征時(shí)間參數(shù);N.Morozov等［13］證明了矩形脈沖作用下動(dòng)態(tài)應(yīng)力強(qiáng)度因子KI(t)的發(fā)散性質(zhì)，說(shuō)明瞬時(shí)動(dòng)態(tài)斷裂準(zhǔn)則存在嚴(yán)重缺陷，并提出了有限結(jié)構(gòu)-時(shí)間破壞準(zhǔn)則，認(rèn)為材料的動(dòng)態(tài)破壞將由破壞生成時(shí)間τ和臨界破壞尺寸d這2個(gè)材料參數(shù)決定。有限結(jié)構(gòu)-時(shí)間破壞準(zhǔn)則反映材料動(dòng)態(tài)破壞過(guò)程的時(shí)間和空間兩方面的特征。尤其是臨界破壞尺寸的引入，更是當(dāng)前臨界距離理論［14］和有限斷裂力學(xué)［15］理論的核心。此外，戚承志等［16］指出:時(shí)間因素的引入加深了人們對(duì)于材料變形及破壞現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)，使時(shí)間因素顯現(xiàn)出來(lái)，成為決定性因素之一;錢七虎等［17］認(rèn)為:材料的變形與破壞有時(shí)間特性，即材料變形及破壞依賴于時(shí)間因素。

最近，D.M.Cotsovos等［7］提出動(dòng)載荷下材料的動(dòng)態(tài)響應(yīng)行為主要是由材料的慣性和加載波特性所決定的，并使用有限元分析結(jié)合材料靜態(tài)參數(shù)得到了與材料動(dòng)態(tài)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合較好的數(shù)值結(jié)果。

與靜態(tài)破壞相比，動(dòng)態(tài)破壞因與時(shí)間相關(guān)，使強(qiáng)度性質(zhì)表現(xiàn)出本質(zhì)上不同的特點(diǎn)。一方面需要考慮破壞的時(shí)間過(guò)程;另一方面，由于考慮時(shí)間因素，破壞過(guò)程是瞬態(tài)非平衡過(guò)程，慣性效應(yīng)及狀態(tài)的非均勻性成為需要考慮的因素?；谏鲜隹紤]，本文中在一維應(yīng)力條件下，結(jié)合有限結(jié)構(gòu)-時(shí)間破壞準(zhǔn)則［13］，對(duì)動(dòng)態(tài)拉伸載荷下脆性材料動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度的應(yīng)變率效應(yīng)進(jìn)行理論分析，擬得到材料動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度與應(yīng)變率之間關(guān)系的解析表達(dá)式，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行必要的分析和討論。

1 理論模型及求解

如圖1所示，考慮半無(wú)限長(zhǎng)均勻線彈性桿在動(dòng)態(tài)拉伸載荷下的破壞問(wèn)題。設(shè)桿的左端與坐標(biāo)原點(diǎn)重合。從t=0時(shí)刻開始，桿端受到動(dòng)載荷(ξ)=σ(0，t)的作用。于是，將產(chǎn)生一維應(yīng)力彈性平面波在桿中由左向右傳播。假設(shè)x=xc為該桿的最薄弱截面，稱之為特征破壞截面，當(dāng)外載荷滿足一定的破壞條件時(shí)，桿將在特征破壞截面處發(fā)生破壞。

按照上述模型，其運(yùn)動(dòng)方程為

式中:u=u(x，t)為待求解的位移場(chǎng);ρ是一維應(yīng)力彈性波速;E為彈性模量，ρ為桿材料密度。桿左端邊界條件為

圖1 桿中一維應(yīng)力波Fig.1 One-dimensional stress wave in a bar

假設(shè)初始時(shí)刻桿處于靜止?fàn)顟B(tài)，則有初始條件

式(1)～(3)構(gòu)成本模型的定解問(wèn)題。

方程(1)是標(biāo)準(zhǔn)的一維波動(dòng)方程。在初始條件(2)和邊界條件(3)下，易得到該定解問(wèn)題的通解［18］

圖2 邊界條件Fig.2 Boundary condition

以下，將寫出給定邊界條件下通解(4)的表達(dá)式。假設(shè)邊界動(dòng)態(tài)拉伸載荷為一梯形脈沖(見圖2)

式中:k1、k2為加載曲線的斜率，而ξa、ξb、ξu為邊界加載曲線上各段直線分界所對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)。

將邊界條件(5)代入通解(4)，可得桿中位移場(chǎng)u(x，t)、應(yīng)變場(chǎng)ε(x，t)和應(yīng)力場(chǎng)σ(x，t)如下

按照 N.Morozov 等［13］的理論，結(jié)構(gòu)-時(shí)間準(zhǔn)則可寫成

式中:τ是破壞生成時(shí)間，δ是材料破壞特征長(zhǎng)度，σs為材料靜態(tài)拉伸強(qiáng)度。

如前所述，設(shè)材料在t=tc時(shí)刻于特征破壞面x=xc處發(fā)生破壞。xc/cb為波傳播到破壞點(diǎn)的時(shí)間;由于應(yīng)力波在線彈性材料中傳播時(shí)波形不變，因此，ta、tb、tu分別對(duì)應(yīng)于邊界載荷波形中的ξa、ξb、ξu;記Δ為從ta至完全破壞的時(shí)間。注意，當(dāng)將式(8)代入破壞準(zhǔn)則式(9)時(shí)，對(duì)于不同形式的邊界載荷(即載荷幅度、加載率以及載荷作用時(shí)間與材料破壞生成時(shí)間的關(guān)系)，材料動(dòng)態(tài)破壞準(zhǔn)則的具體數(shù)學(xué)表達(dá)形式是不同的。按照?qǐng)D1所示的邊界載荷形式，斷裂準(zhǔn)則呈如下3種形式。

圖3 經(jīng)過(guò)x c的入射波形Fig.3 Temporal curves at x=x c

(1)若xc/cb≤tc-τ＜tc≤ta，如圖3(a)所示，有

(2)若ta＜tc-τ＜tc≤tb，如圖3(b)所示，有

(3)若xc/cb＜tc－τ≤ta≤tc≤tb，如圖3(c)所示，則有

式中:σc是使材料發(fā)生破壞的邊界應(yīng)力幅值，也就是所謂的動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度;0≤Δ≤τ。

2 結(jié)果分析

由式(11)可以看出，對(duì)于不同的邊界載荷形式，材料表現(xiàn)出不同的動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度。換言之，動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度不僅與加載率和材料靜態(tài)性質(zhì)(破壞強(qiáng)度、動(dòng)態(tài)破壞生成時(shí)間和動(dòng)態(tài)破壞特征長(zhǎng)度)相關(guān)，還依賴于外載荷波形與材料特征參數(shù)的關(guān)系。這意味著，與靜態(tài)破壞強(qiáng)度是材料的內(nèi)稟性質(zhì)完全不同，材料的動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度不是材料的內(nèi)稟特征性質(zhì)。也就是說(shuō)，同一種材料在不同的外載荷條件下會(huì)表現(xiàn)出不同的動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度，動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度的應(yīng)變率效應(yīng)表現(xiàn)出明顯的結(jié)構(gòu)響應(yīng)特征。事實(shí)上，動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度不是材料的內(nèi)稟性質(zhì)這一概念已開始得到一些學(xué)者的關(guān)注。最近，D.M.Cotsovos等［7］對(duì)脆性材料動(dòng)態(tài)破壞過(guò)程進(jìn)行了有限元數(shù)值分析，指出導(dǎo)致動(dòng)態(tài)材料強(qiáng)度的主要因素是材料的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和入射脈沖結(jié)構(gòu)特征以及他們之間的關(guān)系，而不斷提高的材料強(qiáng)度并不能視作是材料的內(nèi)稟性質(zhì);并且，由于所謂的動(dòng)態(tài)破壞強(qiáng)度已不再具有材料內(nèi)稟特征參數(shù)的特征，而以“動(dòng)態(tài)臨界承載能力”來(lái)形容更加貼切，從而可以減少不必要的概念混淆。顯然，上述思想與本文的理論結(jié)果是吻合的。

由式(11)還可看出，材料的動(dòng)態(tài)臨界承載能力可由外載荷和材料靜態(tài)參數(shù)以及破壞生成時(shí)間和特征長(zhǎng)度完全確定，這是材料動(dòng)態(tài)破壞應(yīng)變率效應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)特征導(dǎo)致的必然結(jié)果。實(shí)際上，D.M.Cotsovos等［7］也曾在有限元數(shù)值模擬中得到類似的結(jié)果，指出:脆性材料的動(dòng)態(tài)臨界承載能力可由外載荷形式、材料靜態(tài)破壞強(qiáng)度以及其他材料靜態(tài)特征參數(shù)如質(zhì)量密度和彈性常數(shù)等完全確定。按照這一結(jié)果，在脆性材料動(dòng)態(tài)破壞研究中已無(wú)須再尋找動(dòng)態(tài)破壞參數(shù)，這無(wú)論對(duì)材料動(dòng)態(tài)破壞的理論研究還是實(shí)際工程應(yīng)用都具有重大意義。

另一方面，若σ0＜σc，則材料在入射脈沖的整個(gè)上升前沿都無(wú)法滿足破壞準(zhǔn)則，使得材料破壞只可能產(chǎn)生于入射脈沖的平臺(tái)區(qū)，由此可確定材料動(dòng)態(tài)破壞的下限。令σ0=σs且τ＜T，此時(shí)破壞準(zhǔn)則為式(11b)，故有σc，min=σs，即材料動(dòng)態(tài)臨界承載能力的下限為其靜態(tài)破壞強(qiáng)度。此外，類似地容易推知，當(dāng)入射脈沖幅值滿足σs＜σ0＜σc時(shí)，有σs=σc，min＜σc＜σc，max。上式表明，隨著邊界載荷的不同特征，材料動(dòng)態(tài)臨界承載能力可以取到靜態(tài)強(qiáng)度與最大動(dòng)態(tài)臨界承載能力之間的一切值，這正是導(dǎo)致動(dòng)態(tài)臨界承載能力實(shí)驗(yàn)結(jié)果離散度較大的內(nèi)在因素。

3結(jié)論

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