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    插值節(jié)點(diǎn)不完全具有導(dǎo)數(shù)信息的 Hermite插值算法

    2011-06-19 06:18:48□高
    關(guān)鍵詞:零點(diǎn)插值導(dǎo)數(shù)

    □高 紅

    (國家廣電總局725臺(tái),山西 榆次 030600)

    不少實(shí)際的插值問題不但要求在各插值節(jié)點(diǎn)上插值多項(xiàng)多式函數(shù)與原函數(shù)的函數(shù)值相等,而且還要求對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等,甚至要求更高階的導(dǎo)數(shù)相等。在所有節(jié)點(diǎn)上具有同階導(dǎo)數(shù)信息,且要求插值函數(shù)與被插函數(shù)對(duì)應(yīng)的同階導(dǎo)數(shù)相等的Hermite插值問題研究已經(jīng)有了良好的算法設(shè)計(jì),也有學(xué)者研究不是所有的節(jié)點(diǎn)上都要求插值函數(shù)與被插函數(shù)導(dǎo)數(shù)值相等的問題,文獻(xiàn)僅給出了導(dǎo)數(shù)相等的節(jié)點(diǎn)是有序節(jié)點(diǎn)集中相鄰節(jié)點(diǎn)的情況。本文提出的插值節(jié)點(diǎn)不完全有導(dǎo)數(shù)信息的Hermite插值算法(簡稱IDIH),研究了插值節(jié)點(diǎn)集中部分節(jié)點(diǎn)上插值多項(xiàng)式與被插函數(shù)導(dǎo)數(shù)相等的情況。

    一、插值節(jié)點(diǎn)不完全有導(dǎo)數(shù)信息的Hermite插值算法

    1.問題描述

    f(x)∈C1[a,b],設(shè)x0

    xj∈Ω1時(shí),H(xj)=yjj=1,2,3…n;xij∈Ω2時(shí),H′(xij)=mjj=0,1,2…r (1)

    可以證明滿足條件(1)的次數(shù)≤n+r+1多項(xiàng)式H(x)是唯一的。證明:因(1)中包含n+r+2個(gè)條件,所以能夠確定次數(shù)≤n+r+1的代數(shù)多項(xiàng)式H(x),用反證法,假設(shè)P(x)與H(x)一樣均滿足條件,且次數(shù)≤n+r+1,于是:φ(x)=H(x)-P(x)也是次數(shù)≤n+r+1的多項(xiàng)式,但φ(x)關(guān)于集合Ω2中點(diǎn)是二重零點(diǎn),關(guān)于集合Ω1-Ω2中點(diǎn)是一重零點(diǎn),共n+r+2個(gè)零點(diǎn),故φ(x)≡0,唯一性得證。

    2.H(x)的構(gòu)造

    其中:

    βk(xj)=0 j=0,1,2,…n;k=0,1,2…r (4)

    其中以xij標(biāo)出的節(jié)點(diǎn)屬于Ω2。

    αk(x)和βk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項(xiàng)式。

    顯然只要αk(x)和βk(x)符合以上條件必然使H(x)滿足插值條件(1),注意到αk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項(xiàng)式和條件(3)和(5):

    利用αk(xk)=1可求出bk,可得:

    (7)

    (8)

    注意到βk(x)為次數(shù)≤n+r+1的多項(xiàng)式和條件(4)和(6):

    (9)

    將(7)(8)(9)代入(2)得相應(yīng)的Hermite插值多項(xiàng)式。

    二、IDIH算法描述

    ㈠輸入Ω1各節(jié)點(diǎn)及相應(yīng)的相用函數(shù)值yj和Ω2各節(jié)點(diǎn)及相應(yīng)導(dǎo)數(shù)值mj,x;H=0

    ㈡對(duì)k=0,1,2,…n

    若xk∈Ω2用(8)計(jì)算αk(x)

    否則用(7)計(jì)算αk(x)

    H=H+αk(x)×yk

    ㈢對(duì)k=0,1,2,…r

    用(9)計(jì)算βk(x)

    H=H+βk(x)×mk

    三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

    表1 初始數(shù)據(jù)信息

    表2 IDIH計(jì)算示例

    四、結(jié)束語

    實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),IDIH方法在內(nèi)插值時(shí)精度可達(dá)到較高要求,可以證明當(dāng)f(x)∈Cn+r+2[a,b],x∈[a,b],其截?cái)嗾`差為:其中ξ∈[a,b]

    參考文獻(xiàn):

    [1]徐士良.C常用算法程序集[M].北京:清華大學(xué)出版社,1996.

    [2]關(guān) 治,陳景良.?dāng)?shù)值計(jì)算方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,1990.

    [3]孫英慧,孫英娟,楊柳.基于Hermite算法的曲線擬合[J] .長春師范學(xué)院學(xué)報(bào),2009,(4).

    [4]賈文淵,張 景.大學(xué)教學(xué)中多媒體技術(shù)的合理利用[J].山西廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào),2009,(2) .

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