基于正交多項(xiàng)式的數(shù)據(jù)擬合方法

常錦才，趙龍，楊倩麗

(河北聯(lián)合大學(xué)理學(xué)院，河北唐山 063009)

1 問題的提出

擬合作為函數(shù)逼近的一種方法，有著極其廣泛的應(yīng)用。然而在科學(xué)研究和工程實(shí)踐中經(jīng)常遇到如下問題，經(jīng)過試驗(yàn)或觀測(cè)得到物理量x與y的一組離散數(shù)據(jù)對(duì)(xi，yi)(i=1，2，…，m)，其中xi互異，我們希望用簡(jiǎn)單的函數(shù)y=f(x)反映物理量y與x之間的依賴關(guān)系，即函數(shù)逼近問題。本文主要討論正交多項(xiàng)式對(duì)一元函數(shù)的擬合問題。一般多項(xiàng)式擬合時(shí)，法方程組往往是病態(tài)的，計(jì)算不穩(wěn)定，選用正交多項(xiàng)式作為擬合工具可以得到與一般多項(xiàng)式擬合相同的結(jié)果，而且有效的避免病態(tài)問題。文獻(xiàn)［4］給出了用最小二乘法求形如y=ax2+c的經(jīng)驗(yàn)公式的方法，本文選取缺項(xiàng)的正交基函數(shù)也得出相同的結(jié)果。對(duì)原始數(shù)據(jù)缺失的擬合問題，本文采用曲線拼接的思想和方法，得到滿足一定光滑度的分段擬合曲線，數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)結(jié)果表明方法是可行的。

2 正交多項(xiàng)式

定義2.1 設(shè)φn(x)是［a，b］上首項(xiàng)系數(shù)an≠0的n次多項(xiàng)式，ρ(x)為［a，b］上的權(quán)函數(shù)，如果多項(xiàng)式序列{φn(x)滿足

則稱多項(xiàng)式序列{φn(x為在［a，b］上帶權(quán)ρ(x)正交，稱φn(x)為［a，b］上的帶權(quán)ρ(x)的n次正交多項(xiàng)式。

定義2.2 如果函數(shù)族 φ0(x)，φ1(x)，…，φn(x)滿足

則稱φ0(x)，φ1(x)，…，φn(x)是關(guān)于點(diǎn)集 {xi}(i=0，1，…，m)帶權(quán)w(xi)(i=0，1，…，m)的正交函數(shù)族。特別地，當(dāng)φ0(x)，φ1(x)，…，φn(x)均為多項(xiàng)式時(shí)，則稱φ0(x)，φ1(x)，…，φn(x)是關(guān)于點(diǎn)集 {xi}(i=0，1，…，m)帶權(quán)w(xi)(i=0，1，…，m)的正交多項(xiàng)式族。

3 最小二乘法

3.1 最小二乘法

定義3.1 若 φ0(x)，φ1(x)，…，φn(x)∈C［a，b］，如果a0φ0(x)+a1φ1(x)+…anφn(x)=0

當(dāng)且僅當(dāng)a0=a1=…an=0 時(shí)成立，則稱 φ0(x)，φ1(x)，…，φn(x)在 ［a，b］上線性無關(guān)，稱{φk(x)}(k=1，2，…，n)為［a，b］上的線性無關(guān)族。

最小二乘的一般提法:對(duì)于給于給定的一組數(shù)據(jù) (xi，yi)(i=1，2，…，m)，要求在函數(shù)類 Θ=span{φ0(x)，φ1(x)，…，φn(x)}中找出一個(gè)函數(shù)y=s*(x)，使其加權(quán)平均和滿足:

其中s*(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+…anφn(x)，(n+1＜m)，這里 φ0(x)，φ1(x)，…，φn(x)∈C［a，b］是線性無關(guān)的函數(shù)族，w(x)是［a，b］上的權(quán)函數(shù)，w(xi)表示xi點(diǎn)處數(shù)據(jù)的重要程度。

得:

這是n+1個(gè)未知數(shù)n+1個(gè)方程的方程組，稱為法方程式。

其中

由上面的分析可知:用span{1，x，…xn}上的多項(xiàng)式擬合，首先需要解一個(gè)n+1的線性方程組。當(dāng)n較大時(shí)，法方程的系數(shù)矩陣會(huì)出現(xiàn)病態(tài)。從系數(shù)矩陣B的形式來看，里面的元素都是內(nèi)積。是否取得某些函數(shù)族，使得B的對(duì)非對(duì)角元素全變?yōu)??如果有這樣的函數(shù)族，那么方程組也容易解，并且病態(tài)也能夠得到改善。

如果擬合函數(shù)在span{φ0，φ1，…，φn}上取，且{φk是正交函數(shù)族，則法方程為:

這樣就不用解線性方程組了，完成以上工作就是如何構(gòu)造正交函數(shù)族。

4 正交多項(xiàng)式曲線擬合

根據(jù)給定的結(jié)點(diǎn)(xi，yi)(i=0，1，…，m)及權(quán)函數(shù)w(xi)＞0，構(gòu)造出帶權(quán)正交多項(xiàng)式族{Pk(x)(n+1＜m)，用遞推公式表示如下:

其中:這樣給出的多項(xiàng)式{Pk(x)是正交的。

4.1 形如y=ax2+bx+c的曲線擬合

y=ax2+bx+c的基函數(shù)為1，x，x2，它們是線性無關(guān)的所以必有最小二乘解。當(dāng)用正交基函數(shù)時(shí)，也可以得到相同的結(jié)果。

例1

表1 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

(1)用正交多項(xiàng)式求解:

設(shè)擬合曲線函數(shù)為:y=c0p0(x)+c1P1(x)+c2P2(x)，由公式(4)得:

所以擬合曲線:

(2)最小二乘法求解:

設(shè)二次擬合多項(xiàng)式為y=ax2+bx+c，將數(shù)據(jù)帶入公式(3)，得到法方程:

由上式可得:

故所求的擬合曲線為:

通過以上的數(shù)值模擬可以看出:用正交多項(xiàng)式和用一般的最小二乘法來擬合數(shù)據(jù)能夠得到相同的結(jié)果。

4.2 形如y=ax2+c的曲線擬合

例2 已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下

表2 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

求形如y=ax2+c的經(jīng)驗(yàn)公式。

1.用正交的方法:依據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造正交基函數(shù)1和x2－1 065.4，設(shè)經(jīng)驗(yàn)公式為:y=a1+a2(x2－1056.4)，利用公式(4)可得:

所以

2.用一般最小二乘法:

將數(shù)據(jù)帶入公式(3)得到法方程:

由方程組可得:

故所求的擬合曲線為y=0.0 500 351x2+0.972 604 46，其擬合曲線圖形見(圖1)。

圖1 函數(shù)擬合曲線圖

當(dāng)缺少一個(gè)基函數(shù)時(shí)，我們能用最小二乘法直接進(jìn)行擬合，但是用正交的方法，利用公式直接依據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)構(gòu)造新的正交基更簡(jiǎn)潔，計(jì)算的結(jié)果也是一樣的。

4.3 數(shù)據(jù)缺項(xiàng)處理

假定采集了9個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，由于某種原因，缺失第5組y和第6組y數(shù)據(jù)，要求用一個(gè)函數(shù)把它表示出來，可以做如下處理:前4個(gè)數(shù)據(jù)和后3個(gè)數(shù)據(jù)用正交的方法擬合出2條曲線，然后在用過渡曲線把它們連接起來，形成一個(gè)分段函數(shù)，這樣就能預(yù)測(cè)缺失點(diǎn)的數(shù)據(jù)值。

例3 已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:

表3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

求其經(jīng)驗(yàn)公式F(x)，并估算F(0)，F(xiàn)(1)。

解前4組數(shù)據(jù)得到曲線記為f1(x)，后3組數(shù)據(jù)得到的曲線記為f2(x)，由于數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)與二次多項(xiàng)式很接近，所以選取基函數(shù)1，x，x2，經(jīng)計(jì)算可得:

因?yàn)閿M合曲線點(diǎn)不在曲線上，取新的點(diǎn)(－0.8，16.905 8)，則由2個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值可得2條過渡曲線，設(shè)過渡曲線:g(x)=ax2+bx+c。

當(dāng)選取點(diǎn) (－0.8，16.905 8)導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值和點(diǎn) (1.5，4.17)，可得g1(x):

當(dāng)選取點(diǎn) (－0.8，16.905 8)和點(diǎn) (1.5，4.17)及它的導(dǎo)數(shù)值，可得g2(x):

擬合曲線F(x)的圖形見(圖2)和(圖3)。

圖2 擬合曲線

圖3 擬合曲線

可以預(yù)測(cè)

從中可以選取一個(gè)合適的數(shù)值，選取的原則是預(yù)測(cè)點(diǎn)與光滑拼接點(diǎn)距離大小，選取距離小的函數(shù)，由此得到:F(0)=8.790 1和F(1)=9.080 2，原始數(shù)據(jù)見表4。

表4 原始實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

比較可以看出:預(yù)測(cè)的數(shù)據(jù)值和測(cè)量的數(shù)據(jù)值非常接近。

5 結(jié)論及展望

通過對(duì)一般多項(xiàng)式擬合數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)理論分析討論，發(fā)現(xiàn)法方程組往往是病態(tài)的，并且計(jì)算不穩(wěn)定，而選用正交多項(xiàng)式作為擬合的工具可以有效的避免病態(tài)問題，而且能夠得到與一般多項(xiàng)式擬合相同的結(jié)果。另外，由于在工程實(shí)踐中獲得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)常常是不完備的，本文主要針對(duì)一元原始數(shù)據(jù)缺失的擬合問題，提出采用曲線拼接的思想和方法，以滿足一定光滑度的分段曲線來進(jìn)行數(shù)據(jù)的擬合，實(shí)現(xiàn)對(duì)缺失數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)結(jié)果表明該方法切實(shí)可行。對(duì)于能否應(yīng)用該思想處理多元數(shù)據(jù)缺失的問題將是今后討論的重點(diǎn)。

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