基于加權(quán)最小二乘的寬帶波束形成算法

白春惠,趙紅訓(xùn)

(1.中國(guó)人民解放軍91404部隊(duì),河北秦皇島066001;2.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十四研究所,河北石家莊050081)

0 引言

經(jīng)典的寬帶波束形成器通過對(duì)陣列中各陣元輸出信號(hào)進(jìn)行時(shí)延、加權(quán)、求和來實(shí)現(xiàn)。寬帶信號(hào)通過一個(gè)指定基陣時(shí),會(huì)有高頻能量的損失[1]。當(dāng)寬帶信號(hào)通過此波束形成器時(shí),不同頻率所形成的波束圖形狀不同。只有當(dāng)目標(biāo)正處于波束指向方向上時(shí),具有相同的響應(yīng),波束輸出的信號(hào)不會(huì)失真。但當(dāng)目標(biāo)在主波束寬度內(nèi)的其他方向入射時(shí),不同頻率信號(hào)的波束輸出就會(huì)出現(xiàn)失真,目標(biāo)信號(hào)的帶寬越大,失真就越嚴(yán)重。這種失真現(xiàn)象不但對(duì)信號(hào)處理中能量接收、信號(hào)波形分析和信號(hào)識(shí)別等有影響[2],而且對(duì)偵察機(jī)、通訊機(jī)和目標(biāo)識(shí)別設(shè)備的性能發(fā)揮也有很大的影響,就需要設(shè)計(jì)恒定束寬波束形成器。時(shí)域恒定束寬寬帶波束形成器設(shè)計(jì)的任務(wù)就是尋找一組不同頻率下的加權(quán)系數(shù),使得基陣的響應(yīng)函數(shù)或波束圖在一定的頻率范圍內(nèi)基本保持不變。

1 模型建立

假設(shè)空間存在M個(gè)陣元在空間內(nèi)按一定規(guī)則排列放置,選擇空間某一點(diǎn)為參考點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn),各陣元位置用三維坐標(biāo)表示為:

假設(shè)入射到陣列的平面波點(diǎn)源信號(hào)入射角度θ=(?,φ),?和φ分別表示水平方位角和垂直俯仰角,則定義信號(hào)傳播方向的單位向量為:

則原點(diǎn)和陣元m接收到的信號(hào)之間的時(shí)間延遲為:

信號(hào)s(t)經(jīng)過傳播時(shí)間延遲,在第m號(hào)陣元位置觀察的信號(hào)波形為:

信號(hào)通過陣列后輸出是各陣元上的輸出及其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)權(quán)系數(shù)W乘積的累加。定義陣列在θ方向的響應(yīng)為:

基陣波束圖定義為基陣響應(yīng)函數(shù)的模值:

基陣的響應(yīng)函數(shù)定義為基陣對(duì)于頻率為fk、方向?yàn)棣?、單位幅值的平面波的響?yīng)為:

基陣的波束圖定義為基陣響應(yīng)函數(shù)的模值:

由式(6)可見,由于基陣的陣列流形是頻率和方位的函數(shù),如果要使波束圖在一定的頻率范圍內(nèi)保持不變或基本不變[4],就需要權(quán)系數(shù)能隨頻率的改變而變化,且滿足:

為了衡量恒定束寬波束形成性能,定義了波束寬度變化量和相對(duì)波束誤差2個(gè)性能指標(biāo),用來表達(dá)主瓣內(nèi)恒定響應(yīng)效果。波束寬度變化量表示對(duì)于確定陣型和工作頻率,最低頻率波束寬度與最高頻率波束主瓣之間差值的1/2為波束寬度變化量。相對(duì)波束誤差為在觀察方位內(nèi)絕對(duì)波束誤差平方的積分與期望方向圖幅度的平方,即功率方向圖的比值,表示為:

2 加權(quán)最小二乘恒定束寬波束形成

研究恒定束寬寬帶波束形成一般的處理方法是首先將工作頻帶劃分為K個(gè)子帶,按要求在參考頻率f0設(shè)計(jì)窄帶波束形成器,然后再對(duì)工作頻帶內(nèi)的頻點(diǎn)聚焦來實(shí)現(xiàn)恒定束寬波束形成器。根據(jù)需要在參考頻率進(jìn)行波束形成,假設(shè)其對(duì)應(yīng)波束響應(yīng)向量pd,待設(shè)計(jì)頻率波束響應(yīng)p。綜上就是要設(shè)計(jì)工作頻率范圍內(nèi)其他頻率的加權(quán)系數(shù),使其滿足 δ=上式變形為:

最優(yōu)權(quán)系數(shù)表達(dá)式為:

在恒定束寬波束形成設(shè)計(jì)中,主瓣范圍內(nèi)陣列響應(yīng)的變化大小情況非常重要,上節(jié)中的最小二乘法要求在全部觀察方位內(nèi)響應(yīng)恒定,顯然增加了冗余的等式約束,造成合成波束與期望波束在主瓣區(qū)域擬合誤差增大。本節(jié)在最小二乘法[3]的基礎(chǔ)上,在誤差范數(shù)上添加一個(gè)非負(fù)的誤差加權(quán)因子λ(θ),用于調(diào)節(jié)不同方位的擬合緊密程度。于是代價(jià)函數(shù)變形為:

對(duì)上式取q=2,則

M×1維全1列向量,則約束問題變?yōu)?

可得加權(quán)最小二乘最優(yōu)解為:

3 特定響應(yīng)FIR濾波器設(shè)計(jì)

對(duì)于時(shí)域?qū)拵Рㄊ纬善?當(dāng)設(shè)計(jì)出加權(quán)系數(shù)矩陣后,其實(shí)現(xiàn)是通過每個(gè)陣元傳感器后的FIR濾波器完成。加權(quán)系數(shù)矩陣只是給出了一些離散頻率點(diǎn)上的幅相加權(quán),利用FIR濾波器可以擬合整個(gè)頻段上的恒定束寬加權(quán)所對(duì)應(yīng)的幅相響應(yīng)[5]。

將Hm(f)和 φm作為FIR濾波器設(shè)計(jì)中期望的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。在輸入端輸入頻率為f1,f2,…,fM的正弦信號(hào)xi=sin(2πfin),i=1,…,K,根據(jù)設(shè)計(jì)指標(biāo)構(gòu)造偽濾波器輸出。希望設(shè)計(jì)的濾波器在某些確定的頻率上比另一些頻率上滿足得更加嚴(yán)格些,對(duì)輸入正弦信號(hào)乘以一個(gè)代價(jià)因子ci,該值越大,期望設(shè)計(jì)的濾波器在該頻率滿足得越好,于是偽濾波器的輸出可表示為:

式中,Hm(fi)為頻率為fi時(shí)所要求的濾波器的幅度增益;φm(i)為該頻率的輸出相對(duì)于輸入信號(hào)的相移。濾波器輸入為:

令X=[x(n),x(n-1),…,x(n-L+1)]T,L為濾波器階數(shù),濾波器權(quán)系數(shù)為hm,則輸出y=XThm。根據(jù)Wiener-Hopf方程,可以得到該濾波器的系數(shù)為:每個(gè)陣元傳感器通道經(jīng)過式(13)得到對(duì)應(yīng)的FIR濾波器系數(shù)。

4 仿真分析

根據(jù)以上介紹的恒定束寬FIR波束形成器設(shè)計(jì)方法,下面設(shè)計(jì)仿真試驗(yàn)來驗(yàn)證基于加權(quán)最小二乘恒定束寬波束形成及FIR濾波器對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)得到的波束圖是恒定束寬效果。

4.1 最小二乘恒定束寬波束形成

仿真試驗(yàn)陣型為15陣元等距線陣,射頻頻率范圍[980MHz,1 180 MHz],參考頻率為f0=980 MHz,陣元間距d=λ0/2,λ0為頻率f0對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)。利用直接加權(quán)的方法得到參考頻率點(diǎn)陣列響應(yīng),步進(jìn)10 MHz選取為仿真頻率點(diǎn),利用式(10)和式(12)得到所有頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)權(quán)值。波束圖如圖1和圖2所示。

圖1 最小二乘法波束圖

圖2 加權(quán)最小二乘法波束圖

從波束圖可以看到,2種方法都得到了恒定束寬波束,但是僅通過波束圖不易分析2種方法的效果。利用恒定束寬波束形成指標(biāo)比較2種方法可以看到,加權(quán)最小二乘法主瓣的恒定束寬效果得到了提高。由于主瓣添加了一個(gè)非負(fù)的誤差加權(quán)因子λ(θ),主瓣波束畸變明顯減小,同時(shí)帶來的影響是旁瓣的變化增加。恒定束寬波束形成性能比較如表1所示。

表1 恒定束寬波束形成性能比較

4.2 FIR濾波器實(shí)現(xiàn)恒定束寬波束形成

仿真試驗(yàn)陣列及頻率等參數(shù)同上,設(shè)計(jì)中頻頻率范圍為[180MHz,380 MHz],采樣頻率1 800 MHz,頻率間隔20 MHz。采用特定頻率響應(yīng)濾波器設(shè)計(jì)各陣元傳感器后的濾波器,利用式(13)得到各組濾波器系數(shù),濾波器階數(shù)L=42。為檢驗(yàn)此時(shí)所設(shè)計(jì)濾波器的恒定束寬效果,畫出波束圖如圖3所示。

圖3 恒定束寬FIR波束形成器

由圖3可以看到,濾波器取得了恒定束寬的效果。波束寬度變化量由 0.05°變?yōu)?.30°,旁瓣也略有變化,這是由于設(shè)計(jì)濾波器幅相響應(yīng)與期望濾波器幅相響應(yīng)誤差引起的。

5 結(jié)束語(yǔ)

基于加權(quán)最小二乘法恒定束寬波束形成可以實(shí)現(xiàn)在信號(hào)帶寬內(nèi),基陣波束圖主瓣寬度保持恒定。仿真表明其恒定束寬效果好,穩(wěn)健性強(qiáng),可以適用于任意陣型。所設(shè)計(jì)濾波器對(duì)應(yīng)的波束圖接近原恒定束寬波束圖,得到了主瓣內(nèi)響應(yīng)恒定的效果,可應(yīng)用于具體工程設(shè)計(jì)。

[1]鄢社峰,馬遠(yuǎn)良.傳感器陣列波束優(yōu)化設(shè)計(jì)及應(yīng)用[M].北京科學(xué)出版社,2008.

[2]唐建生.時(shí)域?qū)拵Рㄊ纬煞椒皩?shí)驗(yàn)研究[D].陜西:西北工業(yè)大學(xué)(碩士論文),2004:43-44.

[3]瞿孟虹,吳 瑛.基于最小二乘自適應(yīng)迭代的寬帶波束形成算法[J].數(shù)據(jù)采集與處理,2009,26(1):95-99.

[4]朱維杰.寬帶波束形成器的自適應(yīng)綜合[J].聲學(xué)學(xué)報(bào),2003,28(3):283-287.

[5]WARD D B,KENNEDY R A,WILLIAMSON R C.FIR Filter Designfor Frequency Invariant Beamformers[J].IEEE Signal Processing Lett,1996,3(3):69-71.