有限差分逼近法的瞬態(tài)高溫外推實(shí)驗(yàn)研究★

賈曉雯，郝曉劍，周漢昌

（中北大學(xué) 電子測(cè)試技術(shù)國(guó)防科技重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西 太原 030051）

0 引言

分離變量法屬于外推法理論，所謂外推法，就是已知被測(cè)物一個(gè)面的溫度，運(yùn)用傳熱學(xué)原理推導(dǎo)出被測(cè)物另一個(gè)面的溫度。因?yàn)樵诟邷亍⒏邏?、高速和高沖擊的惡劣環(huán)境中，測(cè)試溫度并不容易，如槍炮膛內(nèi)火藥氣體的溫度，火箭燃?xì)馍淞鞯臏囟鹊鹊?，這些溫度無(wú)法進(jìn)行直接測(cè)試，所以溫度外推就顯得尤為重要。外推法的研究和應(yīng)用早在20世紀(jì)40年代就開始了，當(dāng)時(shí)聯(lián)邦德國(guó)國(guó)防軍試驗(yàn)基地在測(cè)試武器身管溫度分布時(shí)，就是用圖解法外推出膛壁溫度[1]。此后，外推技術(shù)又有了進(jìn)一步的發(fā)展，采取了分析法和分離變量法外推。美國(guó)的Hurray Imber 和 Jamal Kuan等人發(fā)表多篇論文，闡述了分析外推法及影響其精度的一些因素[2]。分離變量法對(duì)黑體腔膜層厚度要求較高，當(dāng)膜層厚度太小時(shí)，用分離變量法外推出的結(jié)果是錯(cuò)誤的。而有限差分法不存在這種情況，而且外推結(jié)果較為合理。

1 藍(lán)寶石光纖黑體腔溫度傳感器測(cè)試系統(tǒng)組成及工作原理

藍(lán)寶石光纖黑體腔溫度傳感器測(cè)試系統(tǒng)主要由黑體腔、藍(lán)寶石光纖、錐形光纖、ST連接器、耦合模塊、傳輸光纖、窄帶低噪聲光電探測(cè)器和數(shù)據(jù)處理模塊等組成，裝置示意圖如圖1所示。

在實(shí)際測(cè)溫時(shí)，將黑體腔置于被測(cè)物測(cè)溫點(diǎn)上，黑體腔發(fā)出波長(zhǎng)為λ的熱輻射信號(hào)，熱輻射信號(hào)通過(guò)錐形光纖傳導(dǎo)至耦合模塊，ST連接器起到連接藍(lán)寶石光纖與錐形光纖的作用，使得信號(hào)能夠順利傳輸，耦合模塊可以使熱輻射信號(hào)減少衰減，使信號(hào)最大限度地遠(yuǎn)距離傳輸。熱輻射信號(hào)經(jīng)傳輸光纖進(jìn)入窄帶低噪聲光電探測(cè)器，將光信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，再通過(guò)數(shù)據(jù)處理模塊繪制出溫度—時(shí)間曲線。這里所得出的溫度—時(shí)間曲線是黑體腔內(nèi)表面的溫度，黑體腔外表面的溫度將由有限差分逼近法外推得出。

圖1 藍(lán)寶石光纖黑體腔溫度傳感器測(cè)試系統(tǒng)組成

2 有限差分逼近法外推原理

黑體腔模型如圖2所示，在藍(lán)寶石端部鍍制一層高溫陶瓷材料構(gòu)成黑體腔。高溫材料能夠承受2000℃以上的高溫。

圖2 黑體腔物理模型

建立坐標(biāo)如圖2所示，因?yàn)楹隗w腔膜層很薄，所以把黑體腔導(dǎo)熱看成是半無(wú)限大平板導(dǎo)熱，即只考慮 坐標(biāo)方向的導(dǎo)熱。根據(jù)傳熱學(xué)原理，黑體腔傳熱數(shù)學(xué)模型[3]建立如下：

其中，u為待測(cè)溫度 (℃ )，t為時(shí)間（s），α 為陶瓷材料的熱擴(kuò)散率(m2/s)，u0為初始溫度(℃)，Lo為黑體腔長(zhǎng)度 (m)，f為黑體腔膜層厚度（m）（在下文中也用 χp來(lái)表示f），up(t) 為 χp處等溫面上的實(shí)測(cè)溫度隨時(shí)間t的變化。

這里要用到基于導(dǎo)數(shù)的有限差分公式的逼近替代任意χ=χo，t=to處的偏微分方程。任取?u/ ?t的時(shí)間前向差分:

其中，x0＜1＜x0+ ?x。

因而在任意χ=χo，t=to處的熱傳導(dǎo)方程精確地化為:

當(dāng)Δt 、 Δx足夠小時(shí)，截?cái)嗾`差E趨于0，所以:

將沿x軸方向的黑體腔膜層厚度分為厚度相同的 m層，每一層的厚度為Δx，一次測(cè)試溫度所用時(shí)間分為n等分，每一等分為Δt。記uk表示第i

i層在第k時(shí)刻的溫度。令s= ?t/ ( ?x)2，則式（7）可表示為:

式（8）中s的取值很重要，若s取值不當(dāng)，會(huì)引起外推結(jié)果的振蕩現(xiàn)象。經(jīng)理論分析，s= 1 / 2 最為合理。

有限差分逼近法外推原理如圖3所示。*表示黑體腔的初始溫度，將黑體腔膜層分為3層，xp層為黑體腔內(nèi)表面，節(jié)點(diǎn)A、B、C 所在的一層為黑體腔外表面，由式（8）可知，由節(jié)點(diǎn)ui k、uik和uik+1可推導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)uk的溫度，如圖3所示。測(cè)溫時(shí)，i+1溫度從節(jié)點(diǎn)A開始上升。外推時(shí)，先假設(shè)節(jié)點(diǎn)A的溫度為uA，所以由節(jié)點(diǎn)A、1和2可推導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)4的溫度，由節(jié)點(diǎn)1、2和3可推導(dǎo)出節(jié)點(diǎn)5的溫度。依此類推，可推導(dǎo)出與節(jié)點(diǎn)A相應(yīng)的xp層上的溫度u4，將u4與該點(diǎn)處的實(shí)測(cè)溫度值u4相比較，設(shè)2者44xp允許的最大誤差為e，如果則重新假設(shè)節(jié)點(diǎn)A的溫度uA，重新推導(dǎo)出與節(jié)點(diǎn)A相應(yīng)的xp層上的溫度u44，直到這時(shí)節(jié)點(diǎn)A的溫度uA即為黑體腔外表面該點(diǎn)處的真實(shí)值。由這種方法可推得節(jié)點(diǎn)B和C等黑體腔外表面各節(jié)點(diǎn)的溫度。

圖3 有限差分逼近法溫度網(wǎng)格圖

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證示意圖如圖4所示，瞬態(tài)高溫的產(chǎn)生和模擬可以通過(guò)美國(guó)相干公司的Diamond OEM K-500CO2激光器加熱藍(lán)寶石光纖黑體腔探頭實(shí)現(xiàn)。黑體腔外表面的真實(shí)溫度用經(jīng)校準(zhǔn)過(guò)的IRCON公司的Modline5-5R紅外測(cè)溫儀探測(cè)，Modline5-5R的測(cè)溫范圍為600℃～1400℃，響應(yīng)時(shí)間可以達(dá)到0.01s，為單雙色可切換式測(cè)溫方式，發(fā)射率可以調(diào)節(jié)為與黑體腔材料的發(fā)射率相匹配，最小可探測(cè)到的被測(cè)物直徑為0.0003m，而藍(lán)寶石光纖的直徑為0.0007m，滿足測(cè)溫要求。這樣就可以得到兩方面的溫度變化情況，即黑體腔外表面的溫度T0和由傳感器測(cè)溫系統(tǒng)測(cè)得的黑體腔內(nèi)表面的溫度T1。T1可以作為傳熱方程的邊界條件來(lái)進(jìn)行外推。如果外推溫度T0′（ 曲線2）與紅外測(cè)溫儀探測(cè)到的溫度T0（曲線3）在誤差范圍內(nèi)是一致的，說(shuō)明外推模型是正確的。

圖4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方案

由于實(shí)驗(yàn)條件限制，采用溫度值在1200℃左右進(jìn)行驗(yàn)證。用Diamond OEM K-500CO2激光器給黑體腔探頭施加瞬態(tài)高溫，黑體腔內(nèi)表面發(fā)出的熱輻射信號(hào)轉(zhuǎn)換成電信號(hào)，由數(shù)字存儲(chǔ)示波器記錄所輸出的電信號(hào)。電壓波形如圖5所示。

圖5 傳感器輸出的電壓時(shí)間波形

將電信號(hào)轉(zhuǎn)換成溫度，由公式（9）計(jì)算[4]:

K為光電探測(cè)器靈敏度系數(shù)，K的具體值需要靜態(tài)標(biāo)定，實(shí)驗(yàn)標(biāo)定結(jié)果為 =18.5357V/W。其中:

其中，a為黑體腔出口進(jìn)入光纖的面積（m2），λ為輻射光波長(zhǎng)(m)，T為絕對(duì)溫度(K)，c1=3.74183×10-16(W·m2)為第一輻射常數(shù)，c2=1.43879×102(m·K)為第二輻射常數(shù)，λ0為干涉濾光片中心波長(zhǎng)(m)，Δλ為帶寬(m)。

根據(jù)圖5和公式（9）可計(jì)算出黑體腔內(nèi)表面溫度值up，如表1所示。

表1 三類繪制方法比較

根據(jù)表1，用MATLAB擬合黑體腔內(nèi)表面溫度值，擬合結(jié)果如圖6所示。黑體腔內(nèi)表面溫度最高值出現(xiàn)在53.5ms處，大小為964℃。

圖6 黑體腔內(nèi)表面溫度—時(shí)間曲線

黑體腔長(zhǎng)度L0=8mm,黑體腔膜層厚度Xp =50μm,黑體腔材料熱擴(kuò)散率 α=3.144 10-6m2/s。

在本次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中將黑體腔膜層厚度分為5層，每一層的厚度 Δx=10μm，由已知數(shù)據(jù)表1、式(8)可求得黑體腔外表面的溫度值如表2所示。

根據(jù)表2，用MATLAB擬合黑體腔外表面溫度值，擬合結(jié)果如圖6所示。黑體腔外表面溫度最高值出現(xiàn)在49.7ms處，大小為1034.8℃。

表2 黑體腔內(nèi)/外表面溫度值

圖7 有限差分逼近法外推曲線

在此實(shí)驗(yàn)條件下，用Modline5-5R紅外測(cè)溫儀測(cè)得的黑體腔外表面溫度最高值為1174℃。與測(cè)溫系統(tǒng)得到的最高溫度值（964℃）相差210℃，與外推結(jié)果得到的最高溫度值（1034.8℃）相差139.2℃，可見(jiàn)，用有限差分逼近法外推后得到的溫度更加接近被測(cè)物的真實(shí)溫度，結(jié)果更為合理。

4 誤差分析

建模過(guò)程中引入了誤差。一方面，在建模過(guò)程中假設(shè)黑體腔導(dǎo)熱過(guò)程是一個(gè)半無(wú)限大平板導(dǎo)熱，但現(xiàn)實(shí)中并不存在這樣的半無(wú)限大平板；另一方面，建膜過(guò)程中采用了集中參數(shù)法的思想，即認(rèn)為黑體腔膜層中任一層面的溫度在同一時(shí)刻都是相等的，但實(shí)際導(dǎo)熱過(guò)程并非如此。

在求解過(guò)程中引入了誤差。在本次外推中只把黑體腔膜層分為5層，如果再進(jìn)行細(xì)分（例如，分為10層、20層等），外推結(jié)果會(huì)更加準(zhǔn)確，但是計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)增加，這種權(quán)衡在數(shù)值計(jì)算中通常都要出現(xiàn)。

[1]M.Gottlieb,G..B.Brandit.Fiber-optic temperature sensor based on internally generated thermal radiation[J].Appl.opt.,1981,20(19):485-187.

[2]F.Kreith,M.S.Bohn Principles of Heat Transfer[J].4th Ed,Harper & Row,1986, 136-137.

[3]王瑞.瞬態(tài)超高溫測(cè)試的外推方法研究[D].太原:中北大學(xué),2009:30-34.

[4]郝曉劍,孫偉,周漢昌等.藍(lán)寶石光纖黑體腔高溫計(jì)（EI收錄）[J].應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報(bào),2004,12（2）:218-223.

[5]王志海.黑體腔光纖高溫測(cè)量?jī)x及其應(yīng)用[D].北京：清華大學(xué)，1989.

[6]Zhou Bing-kun.Fiber blackbody temperature sensor.China Patent:CN2046210U,1989.

[7]YE Linhua, SHEN Yonghang.Development of a Sapphire Fiber Thermometer[J].Journal of infrared and millimeterwaves, 1997, 16(6): 437-442.

[8]王俊杰.檢測(cè)技術(shù)與儀表[M].武漢：武漢理工大學(xué)出版社，2002：39-40.