基于小波分析的信號去噪方法

劉志松

（浙江海洋學(xué)院數(shù)理與信息學(xué)院，浙江舟山 316004）

1910年Haar構(gòu)造了緊支撐Haar函數(shù)系，但是直到80年代人們才真正開始研究小波，1986年，Mallat和Meyer提出了多分辨分析理論（Multi-resolution Analysis，簡記MRA），為小波的構(gòu)造提供了一般的途徑。多分辨分析的思想是小波分析的核心，是理論和應(yīng)用的結(jié)晶。從此，小波分析真正形成為一門學(xué)科，由于其數(shù)學(xué)的完美性和應(yīng)用的廣泛性，使其在科學(xué)應(yīng)用上得到了迅速發(fā)展，它是調(diào)和分析發(fā)展史上里程碑式的進(jìn)展。

長期以來，傳統(tǒng)的Fourier變換在信號分析、處理中起了十分重要的作用，也是信號去噪的主要手段。但是給信號去噪的同時(shí)，存在著保護(hù)信號和抑制噪聲之間的矛盾。而且在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)信號都是非平穩(wěn)的，這給Fourier變換對非平穩(wěn)信號去噪帶來了困難。近年來，小波理論得到了迅速的發(fā)展，由于其良好的時(shí)頻特性在信號去噪領(lǐng)域受到了許多學(xué)者的重視。

1 傳統(tǒng)信號去噪方法和去噪性能指標(biāo)介紹

在實(shí)際工程問題中，我們得到的原始信號總會(huì)混雜著一定的噪聲，而噪聲的存在嚴(yán)重地干擾了信號的本質(zhì)特征。因此，在對原始信號進(jìn)行預(yù)處理時(shí)，對噪聲加以消除或減小，以便最大程度的提取原始信號中的有用信息，是非常必要的。

在實(shí)際問題中，信號去噪性能好壞有許多的標(biāo)準(zhǔn)，下面我們介紹三種常用標(biāo)準(zhǔn)：

1)信噪比。信噪比是指信號的功率與噪聲功率的比值，常被用來作為去噪效果評價(jià)的指標(biāo)，信噪比的單位是分貝，去噪后的信噪比越大說明消噪效果越好.

2)信噪比增益。文獻(xiàn)[1]將信噪比增益作為去噪效果的指標(biāo)，它的定義是去噪后的信噪比與去噪前的信噪比的比值，去噪比增益越大，說明消噪效果越好。

3)均方根誤差。均方根誤差是指原始信號與去噪后的估計(jì)信號的均方根。

在信號處理和分析中，通常把信號分為平穩(wěn)信號和非平穩(wěn)信號。信號的噪聲一般集中在高頻，而有用信號的頻譜又是主要集中在一個(gè)有限的低頻空間里。處理實(shí)際問題時(shí)，人們總是希望把噪聲減小到可以忽略不計(jì)的程度，而使其能完全重構(gòu)出信號的本來面貌。所以信號去噪有很多的方法，最常用的是Fourier變換方法和基于小波變換的信號去噪方法。

2 基于Fourier變換的信號去噪法

Fourier變換是數(shù)學(xué)分析中的重要分支，經(jīng)過近些年的發(fā)展，使得它的應(yīng)用領(lǐng)域得到大大的擴(kuò)大，現(xiàn)已成為眾多科學(xué)領(lǐng)域里重要的應(yīng)用工具之一。

2.1 Fourier變換

在信號分析中，對信號的基本刻化往往采取兩種最基本的形式，即時(shí)域形式和頻域形式。Fourier變換是將信號的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時(shí)域和頻域觀察。設(shè)原始信號為f(t)，其Fourier

從物理意義上講，F(xiàn)ourier變換的實(shí)質(zhì)是把f(t)這個(gè)波形分解成許多不同頻率的正弦波的疊加和，因此Fourier變換在時(shí)間域上沒有任何分辨率。這樣在利用Fourier變換做信號分析時(shí)就面臨著一對矛盾:時(shí)域和頻域的局部化矛盾。在實(shí)際信號處理中，尤其是在對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時(shí)刻附近的頻率特征都很重要，這促使我們尋求中能將時(shí)域和頻域結(jié)合起來描述和觀察信號的方法。

2.2 窗口Fourier變換

為了克服標(biāo)準(zhǔn)Fourier變換在時(shí)頻局部化的不足，Dennis Gabor于1946年引入了窗口Fourier變換。窗口Fourier變換雖具有一定的局部分析能力，但它的窗口是確定的，不能改變的，它只具有單分辨率的分析，對平穩(wěn)信號有一定的分析能力，但對于非平穩(wěn)信號它無法根據(jù)信號的變化情況來調(diào)整時(shí)頻分辨率。

3 小波分析的信號去噪及其仿真實(shí)現(xiàn)

近年來，利用小波變換進(jìn)行信號去噪始終是一個(gè)熱門課題。小波分析作為一種全新的信號處理方法，它將信號中各種不同的頻率成分分解到互不重疊的頻帶上，為信號濾波、信噪分離和特征提取提供了有效途徑，特別在信號去噪方面顯出了獨(dú)特的優(yōu)勢。

3.1 小波分析理論介紹

小波分析是Fourier分析思想方法的發(fā)展和延拓，能同時(shí)在時(shí)域和頻域內(nèi)進(jìn)行局部化信號分析。是一種優(yōu)于Fourier變換和窗口Fourier變換的信號處理方法，現(xiàn)在已經(jīng)迅速發(fā)展成一門新興的學(xué)科。

小波變換[3]是一種信號的時(shí)間-頻率分析方法，它具有多分辨率分析的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號局部特征的能力，小波分析的這種特性被譽(yù)為數(shù)學(xué)的顯微鏡。小波變換將信號分解為一系列由某個(gè)母小波函數(shù)經(jīng)過平移與尺度變化得到的小波函數(shù)的疊加，用不同尺度小波對同一信號進(jìn)行逼近有利于對信號進(jìn)行逐步細(xì)致的分析，這是小波分析的基本思想。它的這種特性，使小波變換具有對信號的自適應(yīng)性，這決定了小波變換對非平穩(wěn)信號進(jìn)行時(shí)頻分析時(shí)所具有的時(shí)頻局部化的能力。

設(shè)ψ(t)∈L（2R）是平方可積即能量有限的信號，當(dāng)其Fourier變換滿足允許條件時(shí)，我們稱它為一個(gè)母小波。將母函數(shù)ψ(t)經(jīng)伸縮和平移后，就可以得到一組小波基函數(shù)。對母小波進(jìn)行縮放和平移操作，進(jìn)而計(jì)算信號在小波分解下的系數(shù)，所得系數(shù)代表著小波和局部信號間的相互關(guān)系。小波分析分為連續(xù)小波變換和離散小波變換，在實(shí)際信號處理中，我們通常使用二進(jìn)制離散小波序列

3.2 含噪信號的小波去噪原理及步驟

原始輸入信號S通過2個(gè)互補(bǔ)的濾波器產(chǎn)生低頻A和高頻D 2個(gè)信號，對大多數(shù)信號來說，低頻部分是最重要的，基本體現(xiàn)了信號的特征，而高頻部分是信號的細(xì)節(jié)部分，與信號噪聲聯(lián)系在一起。小波分解是將信號的低頻部分反復(fù)分解，而對高頻部分不做第二次分解，只對低頻做第二次分解，反復(fù)分解低頻部分，這樣就得到小波分解樹。例如對信號S的分解如圖1所示。

信號以三層分解來進(jìn)行說明:S=A1+D1=A2+D2+D1=A3+D3+D2+D1.如果要進(jìn)一步的分解，則可以把信號分解的低頻部分A3分解成低頻A4和高頻D4，以下再分解依此類推。但是在實(shí)際應(yīng)用中，對信號的分解不是任意的，而是可以選擇合適的分解層數(shù)。從圖1可以看出，對低頻部分進(jìn)行進(jìn)一步的分解，使頻率的分解率變得越來越高?；谛〔ǖ男盘柸ピ雴栴}在數(shù)學(xué)上是一個(gè)函數(shù)逼近的問題，從信號處理的角度來看，小波去噪問題就是一個(gè)信號濾波問題，小波去噪實(shí)際上是特征提取和低通濾波的綜合，所以還成功地保留原有真實(shí)信號的特征信息。

在實(shí)際中，通常有用信號的基本特性都集中在低頻部分，信號細(xì)節(jié)部分和噪聲通常都表現(xiàn)在高頻部分，因此我們要進(jìn)行小波消噪有三個(gè)步驟:

1)選擇一個(gè)小波并決定小波分解層次N，然后對信號S進(jìn)行N層小波分解。找到合適的小波基對于信號的消噪是很重要的。

2)小波分解高頻系數(shù)的閾值量化，其關(guān)鍵指出就是如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值的量化，這關(guān)系到消噪的質(zhì)量。

3)由小波系數(shù)進(jìn)行信號重構(gòu)。信號消噪的算法流程圖如圖2所示。

3.3 小波分析的信號去噪的仿真實(shí)現(xiàn)

利用小波分析進(jìn)行信號消噪具有重要意義，它是一種時(shí)頻聯(lián)合分析方法，它在時(shí)域和頻域都具有良好的局部化特性，在信號去噪中小波變換得到了廣泛的應(yīng)用。小波包分析是比小波分析更為精細(xì)的多尺度分析，小波包分析的出現(xiàn)也給信號去噪方法帶來了新的活力，利用小波包分析給信號去噪成為信號處理領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)。

3.3.1 一維平穩(wěn)信號的去噪仿真

小波對平穩(wěn)信號去噪處理的方法一般有三種[2,4-11]，分別為：

默認(rèn)閾值消噪處理：即先在MATLAB產(chǎn)生信號的默認(rèn)閾值，然后確定參數(shù)進(jìn)行消噪處理；強(qiáng)制消噪處理：它是把小波分解中的高頻部分全部濾除掉，然后再對信號進(jìn)行重構(gòu)處理；給定軟(或硬)閾值消噪處理：閾值的取值是去噪的關(guān)鍵部分，該方式可以通過一些經(jīng)驗(yàn)閾值計(jì)算公式獲得閾值，這樣的值比默認(rèn)的閾值更具有可信度，多次嘗試以獲得最佳消噪效果。通過含噪一維平穩(wěn)信號在MATLAB中的仿真說明去噪效果 (程序略)，如圖3所示。

圖1 小波分解樹Fig.1 Wavelet decomposition tree

圖2 信號消噪算法流程圖Fig.2 Flow chart o f signal de-noising

從圖3可以看出，通過Fourier變換對平穩(wěn)信號消噪有一定效果，但不夠理想；若采用強(qiáng)制消噪的方法，處理后的信號比較光滑，但同時(shí)也去掉了含噪信號中某些有用的信息；而默認(rèn)閾值處理和給定閾值消噪處理則在實(shí)際應(yīng)用中更實(shí)用能達(dá)到較為理想的效果。

3.3.2 一維非平穩(wěn)信號的去噪

在實(shí)際工程中，我們所遇到的大部分是非平穩(wěn)信號，所要分析的信號可能包含許多尖峰或突變部分，且噪聲不是平穩(wěn)的白噪聲，對這種信號進(jìn)行分析處理，首先要做預(yù)處理，將噪聲去除，提取有用信號。小波分析能有效區(qū)別信號中的突變部分和噪聲，從而實(shí)現(xiàn)非平穩(wěn)信號的消噪。下面對一個(gè)含有噪聲的矩形波信號進(jìn)行消噪，通過MATLAB進(jìn)行仿真試驗(yàn)（程序略），得到如表1和圖4所示結(jié)果。

圖3 平穩(wěn)信號的去噪仿真圖Fig.3 De-noising simulation figures of stable signal

表1 對比消噪效果Tab.1 Effect of de-noising comparison

從圖4可以看出小波閾值去噪方法是最易實(shí)現(xiàn)、計(jì)算量最小的一種方法，但閾值的選取比較困難，另外閾值降噪對信噪比較低的信號去噪效果不是很好，本文的方案仍然需要進(jìn)一步的研究和改進(jìn)。用小波進(jìn)行信號消噪可以很好的保持信號的尖峰和突變部分，對非平穩(wěn)信號的噪聲消除具有無可比擬的優(yōu)點(diǎn)，尤其是在確定最佳閾值后能取得很好的消噪效果.

3.3.3 基于復(fù)小波的圖像去噪

在圖像去噪方面，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)復(fù)小波具有良好的去噪效果。Matlab試驗(yàn)結(jié)果如圖5所示。

圖4 非平穩(wěn)信號的去噪仿真圖Fig.4 De-noising simulation figures of stationary signal

圖5 海洋學(xué)院文心湖照片去噪Fig.5 Figure de-noising of Wenxin Lake in Zhejing Ocean University

從理論分析及仿真實(shí)驗(yàn)中，都證實(shí)了當(dāng)信號中含有部分較高頻信息的去噪以及減少有用高頻信號丟失方面，小波分析的效果較好。我們還可以進(jìn)一步考慮選取更優(yōu)的小波基或者構(gòu)造新的小波基進(jìn)行信號去噪，以及如何選取閾值和如何進(jìn)行閾值量化。

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