Sobolev方程各向異性非協(xié)調(diào)混合元的超逼近分析

白春陽(yáng),石東偉

（河南科技學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

Sobolev方程在流體穿過(guò)裂縫巖石的滲透理論、土壤中濕氣的遷移、不同介質(zhì)的熱傳導(dǎo)等許多物理問(wèn)題中有廣泛的應(yīng)用[1-6].其中文獻(xiàn)[1]建立了特征混合元方法,并分別討論了收斂性和誤差估計(jì).文獻(xiàn)[2]僅對(duì)一維Sobolev方程提出了位移有限元法.文獻(xiàn)[4]提出了相應(yīng)的最小二乘混合元方法,該方法雖然不要求有限元空間滿足LBB穩(wěn)定性條件,但計(jì)算量大.文獻(xiàn)[5]提出H1-Galerkin混合有限元方法,雖不要求有限元空間滿足LBB條件,但對(duì)通量函數(shù)的光滑性要求更嚴(yán)格.文獻(xiàn)[6]研究了幾組簡(jiǎn)單的低階協(xié)調(diào)元,給出了半離散格式和全離散格式的誤差估計(jì).但是以上研究都是針對(duì)協(xié)調(diào)元進(jìn)行的,而且要求剖分滿足正則條件,即,其中是單元K的最大直徑單元K的最大內(nèi)切圓直徑.然而當(dāng)問(wèn)題定義在窄邊區(qū)域時(shí),如果采用傳統(tǒng)的正則剖分計(jì)算量將會(huì)非常大,這時(shí)如果采用各向異性網(wǎng)格剖分可以用較少的自由度而得到同樣的估計(jì)結(jié)果.在這種情況下,傳統(tǒng)的引理在插值誤差分析中已不再適用,而且對(duì)于非協(xié)調(diào)元來(lái)說(shuō)傳統(tǒng)邊界估計(jì)技巧也不再適用,因?yàn)榇藭r(shí)對(duì)單元K的長(zhǎng)邊F誤差值估計(jì)將出現(xiàn)一個(gè)因子,它可能趨于無(wú)窮,無(wú)法達(dá)到收斂結(jié)果.本文給出了與以上文獻(xiàn)不同的Sobloev方程的非協(xié)調(diào)混合有限元格式,在各向異性網(wǎng)格下進(jìn)行了收斂性分析,并利用單元自身的一些特殊性質(zhì)得到了超逼近結(jié)果,同時(shí)利用插值后處理技巧導(dǎo)出了超收斂結(jié)果.

1 單元構(gòu)造

使得

由文獻(xiàn)[7]不難驗(yàn)證上述插值具有各向異性.

2 誤差估計(jì)

相應(yīng)的有限元空間為：

定義插值算子

并且逼近問(wèn)題（4）的解唯一.

對(duì)非協(xié)調(diào)元來(lái)說(shuō)由式（3）和式（4）可得誤差方程

3 超逼近分析

所以有

整理得

記

由Vh的構(gòu)造知

則上式可化為

所以有

兩邊積分得

由Gronwall引理得

所以有

移項(xiàng)得

由Cauchy和ε不等式類似（8）有

把式（7）代入式（8）得

由式（7）和式（9）得

故

所以

綜合上述,估計(jì)定理結(jié)論成立.

4 結(jié)論

本文給出了一個(gè)非協(xié)調(diào)混合有限元格式,在各向異性網(wǎng)格下進(jìn)行了收斂性分析,對(duì)Sobolev方程進(jìn)行了Galerkin逼近,并且利用單元的特殊性質(zhì)在不需要Ritz投影情況下得到了超逼近性,最后利用插值后處理技巧給出一類新的混合元格式的收斂性分析和超逼近結(jié)果.對(duì)求解在流體穿過(guò)裂縫巖石的滲透理論,土壤中濕氣的遷移,不同介質(zhì)的熱傳導(dǎo)等許多物理問(wèn)題中有廣泛應(yīng)用的Sobolev方程提供了一定思路.

[1]趙培,陳煥貞.Sobolev方程的特征混合有限元法[J].應(yīng)用數(shù)學(xué),2003,16（4）：50-59.

[2]Nakao M T.Error estimates of a Galerkin method for some nonlinear Sobolev equations in one space dimension[J].Numerische Mathematik,1985,47（1）：139-157.

[3]Jiang Z W,Chen H Z.Error estimates for mixed finite element methods for Sobolev equation[J].Northest.Math.,2001,17（3）：301-314.

[4]Gu H M,YangDP.Least-squaresmixed finiteelementmethodsforSobolevequation[J].IndiaJ.Appl.Math.,2003,31（5）：505-517.

[5]郭玲,陳煥珍.Sobolev方程的H1-Galerkin混合有限元方法[J].系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué),2006（3）：301-314.

[6]鄭克龍.Sobolev方程的混合有限元方法[D].成都：四川大學(xué),2005：1-39.

[7]Chen S C,Hai D Y,Zhao Y C.Interpolation and Quasi-Wilson element for narrow Quadrila-teral meshes[J].IMA.J.Numer.Anal.,2004,24：77-95.