基于時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核分布理論的諧波檢測(cè)方法

郝守慶，王著蘭，袁書波

(1.山推工程機(jī)械股份有限公司，山東省 濟(jì)寧市，272000;2.山東勝利職業(yè)學(xué)院，山東省 東營市，257097;3.華北石油工程建設(shè)有限公司，河北省 任丘市，062552)

0 引言

交流電力系統(tǒng)自誕生起，在產(chǎn)生基波電量的同時(shí)就孿生了諧波問題。隨著電力系統(tǒng)中非線性負(fù)荷的大量投用，電力系統(tǒng)中的諧波情況愈發(fā)復(fù)雜，不僅存在頻率是基頻整數(shù)次諧波，而且存在非整數(shù)次間諧波，并對(duì)電網(wǎng)的危害日益嚴(yán)重。解決諧波問題顯得非常迫切，而對(duì)諧波、間諧波進(jìn)行有效分析治理的基礎(chǔ)便是對(duì)其準(zhǔn)確的檢測(cè)［1-2］。

本文采用基于時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核的時(shí)頻分析方法檢測(cè)諧波、間諧波的頻率，該方法能夠用于不同類信號(hào)，可以最大程度地抑制同時(shí)間點(diǎn)各分量所引起的交叉項(xiàng)干擾［3-4］。同時(shí)，結(jié)合快速傅里葉變換方法檢測(cè)諧波、間諧波的幅值［5］，可以檢測(cè)諧波、間諧波起止時(shí)間、頻率和幅值大小。針對(duì)存在較強(qiáng)白噪聲、諧波、間諧波信號(hào)進(jìn)行了仿真研究，仿真結(jié)果表明該方法是有效的。

1 時(shí)頻分布

1.1 自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分布

時(shí)頻分析的思想起始于20世紀(jì)40年代，在眾多的時(shí)頻分析方法中，Wigner-Ville時(shí)頻分布是最基本的分布，具有許多優(yōu)良的特性。Wigner-Ville時(shí)頻分布是信號(hào)時(shí)變自相關(guān)函數(shù)關(guān)于τ的傅里葉變換

如果對(duì)時(shí)變自相關(guān)函數(shù)中的t做變換，則可得到另一種二維時(shí)頻分布函數(shù)［6］

由式(1)(2)可得到

由Wigner-Ville時(shí)頻分布發(fā)展起來的各種分布可統(tǒng)一表示成Cohen類雙線性時(shí)頻分布［7］

式中Φ(θ，τ)為低通的核函數(shù)，通過設(shè)計(jì)不同的核函數(shù)就可以得到不同的分布特性。

自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分析方法是由Wigner-Ville時(shí)頻分布改進(jìn)而得到的，在該分布中短時(shí)模糊函數(shù)A1(t，θ，τ)是被窗函數(shù)截?cái)嗪蟮囊恍《涡盘?hào)的模糊函數(shù)［8-10］

式中:ω(u)為對(duì)稱的窗函數(shù);t為ω(u)的中心位置。令＞T(T是窗長)時(shí)，ω(u)=0，則在任一時(shí)刻t，只有在［t－T，t+T］內(nèi)的信號(hào)才可以計(jì)算其模糊函數(shù)。對(duì)于信號(hào)的任意細(xì)節(jié)部分，短時(shí)模糊函數(shù)都可以準(zhǔn)確地刻畫出來。此時(shí)，可得與之相對(duì)應(yīng)的自適應(yīng)最優(yōu)核Φopt(t，θ，τ)，則時(shí)間段［t－T，t+T］內(nèi)信號(hào)的自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分布為

自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分布中的核函數(shù)能夠隨著時(shí)間的變化而變化，且其核最優(yōu)化過程在時(shí)間滑動(dòng)窗內(nèi)實(shí)現(xiàn)，能夠追蹤信號(hào)的變化，但是對(duì)于非平穩(wěn)多分量信號(hào)，該方法不能很好地抑制同時(shí)間點(diǎn)各分量所引起的交叉項(xiàng)干擾。

1.2 時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分布

時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核的時(shí)頻分析方法可以最大程度地抑制同時(shí)間點(diǎn)各分量引起的交叉項(xiàng)干擾，該方法將信號(hào)的Wigner-Ville時(shí)頻分布看成二維信號(hào)，在此時(shí)頻平面上的每點(diǎn)最優(yōu)化其核函數(shù)，使得核函數(shù)能夠在時(shí)頻平面內(nèi)具有自適應(yīng)的特性。具有時(shí)頻局部化性質(zhì)的模糊函數(shù)為

式中t和 ω給出了二維窗函數(shù)的中心位置，將Wigner-Ville分布與窗函數(shù) A(u－t，v－ω)相乘，可以將積分區(qū)域限制在t和ω的鄰域內(nèi)。與加窗傅里葉變換相同，窗函數(shù)的選取要保證其既要具有時(shí)頻局部化性質(zhì)，也要具有模糊域局部化性質(zhì)。由于二維高斯窗可以能夠達(dá)到不確定性原理的下界，這里可以采用二維高斯窗來保證式(8)的同時(shí)在時(shí)頻域和模糊域具有較好的分辨率。在定義局部模糊函數(shù)以后，時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核函數(shù)Фopt的設(shè)計(jì)可以轉(zhuǎn)換為如下的最優(yōu)化問題

式中:Ap(r，φ，t，ω)、Φp(r，φ，t，ω)分別為局部模糊函數(shù)和核函數(shù)的極坐標(biāo)表達(dá)形式，其約束條件為

2 時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分布算法

(1)將直角坐標(biāo)下的局部模糊函數(shù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)下的模糊函數(shù)。

(2)求極坐標(biāo)網(wǎng)格點(diǎn)上的徑向高斯核函數(shù)，將所有的展布參數(shù)寫成向量形式，那么最優(yōu)核函數(shù)的問題就轉(zhuǎn)化為尋找最優(yōu)展布向量。

(3)利用梯度上升法迭代獲得最優(yōu)化的展布向量，記i步迭代的展布向量為σi(φ)。歸一化展布向量σi(φ)以保證徑向高斯核函數(shù)的體積等于α。上述迭代過程需要迭代多次來保證σi(φ)的誤差足夠小，選取合適的收斂步長σi(φ)以保證迭代快速收斂。此迭代過程迭代若干次以后，可以得到最優(yōu)化的展布向量σopt。

(4)求得矩形網(wǎng)格上的時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)徑向高斯核 Фopt。

3 仿真分析

本文應(yīng)用時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分布理論檢測(cè)諧波和間諧波的幅頻特性。設(shè)定電壓幅值為1，信號(hào)長度為2048個(gè)點(diǎn)，采樣率為每周波200個(gè)點(diǎn)，其中在600點(diǎn)處加入幅值為1.5的4.5次間諧波，1200點(diǎn)處再加入幅值為2的7次諧波。時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分布的分析窗為300×300，核函數(shù)體積α=1.5。同時(shí)，用S變換［12-15］對(duì)該信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析用以對(duì)比，采樣頻率為1 kHz，采樣時(shí)窗長2.048 s。檢測(cè)信號(hào)的幅頻特性如圖1所示。

圖1 含白噪聲、諧波和間諧波的檢測(cè)結(jié)果Fig.1 Test results with white noise，harmonics and interharmonics

圖1(a)為含隨機(jī)白噪聲、諧波和間諧波電壓信號(hào)時(shí)域波形圖。圖1(b)為信號(hào)應(yīng)用時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分布得到的時(shí)頻分布圖，從該圖可以清晰地觀測(cè)出諧波和間諧波發(fā)生的時(shí)間及頻率大小。圖1(c)為信號(hào)應(yīng)用S變換得到的時(shí)頻分布圖，通過對(duì)比圖1(b)、(c)可以看出，時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分布有著更高的時(shí)頻分辨率，能夠更清楚地刻畫諧波和間諧波的時(shí)頻特性，并且有較強(qiáng)的抗噪能力。圖1(d)清晰地檢測(cè)出了諧波與間諧波的各頻率的幅值。仿真結(jié)果表明，本文采用的方法既可以準(zhǔn)確地檢測(cè)出諧波與間諧波發(fā)生的時(shí)間與頻率，又能檢測(cè)出各頻率下諧波和間諧波的幅值大小，且具有較強(qiáng)的抗噪能力。

4 結(jié)論

時(shí)頻自適應(yīng)最優(yōu)核時(shí)頻分布是對(duì)時(shí)頻平面上的每一點(diǎn)最優(yōu)化其核函數(shù)，從而使得核函數(shù)能夠在時(shí)頻平面內(nèi)具有自適應(yīng)的特征，以此提高時(shí)頻分辨率。仿真結(jié)果表明:該方法有著較高的時(shí)頻分辨率和抗噪能力，能夠較清晰地檢測(cè)出諧波和間諧波的起止時(shí)間和頻率大小;結(jié)合快速傅里葉變換檢測(cè)信號(hào)的幅頻特性，可清晰地觀測(cè)出諧波和間諧波各頻率下的幅值，從而準(zhǔn)確地檢測(cè)出諧波和間諧波發(fā)生的起止時(shí)間、頻率和幅值大小。

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