圓形斷面臨界水深簡(jiǎn)化近似計(jì)算方法

劉 剛,滕 凱

(1.齊齊哈爾市防汛指揮部辦公室,黑龍江 齊齊哈爾 161006;2.齊齊哈爾市水務(wù)局,黑龍江 齊齊哈爾 161006)

由于圓形斷面具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、水力學(xué)及力學(xué)條件好等優(yōu)點(diǎn),因此該斷面是城市供排水及水利水電工程中較常采用的斷面形式。而在圓形斷面的工程設(shè)計(jì)中,臨界水深則是水力計(jì)算中的一個(gè)關(guān)鍵水力要素。由于圓形斷面臨界水深計(jì)算需完成隱含的高次三角函數(shù)求解,無法直接求解,傳統(tǒng)的圖表及試算法[1-4]不但過程復(fù)雜而且精度不高,為了尋求一種較好的獲解方法,近年來國內(nèi)外學(xué)者開展了大量的研究工作,并提出了相應(yīng)的計(jì)算方法。文獻(xiàn)[5]、[6]根據(jù)牛頓迭代法給出了迭代計(jì)算式;文獻(xiàn)[7]～[13]采用優(yōu)化擬合及回歸分析法提出了近似計(jì)算式。由于迭代法不夠簡(jiǎn)捷,近似計(jì)算式或是公式復(fù)雜不便應(yīng)用,或是公式雖簡(jiǎn)單但計(jì)算誤差較大。為進(jìn)一步簡(jiǎn)化圓形斷面臨界水深的計(jì)算過程,提高求解成果精度,本文采用優(yōu)化擬合的方法,以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù),獲得了一種表達(dá)式較為簡(jiǎn)捷、計(jì)算精度較高的近似公式。

1 圓形斷面臨界水深基本方程

圓形過水?dāng)嗝?見圖1)臨界流的基本方程為:

圖1 圓管斷面

圓形過水?dāng)嗝娴乃σ?

式中:Q為斷面過水流量(m3/s);α為流速分布不均勻系數(shù)(通常取1.0);g為重力加速度(m/s2),通常取9.81 m/s2;Ak為臨界流時(shí)的過水?dāng)嗝婷娣e(m2);Bk為臨界流時(shí)的水面寬度(m);hk為臨界水深(m);θk為臨界流時(shí)的圓心角(rad)。

2 圓形斷面臨界水深擬合公式

2.1 擬合公式的建立

將式(2)～(4)代入式(1)經(jīng)整理即可獲得圓形斷面計(jì)算臨界水深的基本公式為:

式中:k為無量綱參數(shù);x為無量綱臨界水深。將式(6)代人式(5),經(jīng)進(jìn)一步整理可得:

式(7)為含有高次反三角函數(shù)的超越方程,無法直接獲解。為避免利用式(7)的超越方程求解問題,現(xiàn)設(shè)假定:x=f(k)函數(shù)在工程實(shí)用范圍內(nèi)[11](即0.05≤x≤0.85)可以替代式(7),考慮式(7)中x與k的對(duì)應(yīng)關(guān)系,展繪x～sink關(guān)系曲線,經(jīng)數(shù)值相關(guān)回歸分析,并以標(biāo)準(zhǔn)剩余差最小為目標(biāo)函數(shù),即

經(jīng)逐次逼近擬合即可獲得如下替代函數(shù),即

式中:β為中間變量(rad);d為圓形斷面直徑(m)。

2.2 擬合公式的精度分析

2.2.1 本文公式誤差計(jì)算

為比較式(8)與式(7)的擬合精度,考慮在工程實(shí)用范圍內(nèi)(即0.05≤x≤0.85),取不同的θi值即可由式(5)及式(6)分別計(jì)算出與之相對(duì)應(yīng)的ki及xi,再將ki代入式(9)求得 βi,進(jìn)而由式(8)求得 x′i,并由下式完成式(8)替代式(7)的擬合相對(duì)誤差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算:

式中:εi、S分別為擬合相對(duì)誤差及標(biāo)準(zhǔn)差;n為擬合計(jì)算的點(diǎn)數(shù)。

計(jì)算結(jié)果見表1所示。

表1 式(8)替代式(7)誤差計(jì)算結(jié)果

2.2.2 與其他典型公式的精度比較

為比較本文公式的優(yōu)越性,在現(xiàn)有圓形斷面臨界水深計(jì)算方法中,從公式形式、通用性及計(jì)算精度三個(gè)方面進(jìn)行綜合篩選,所選公式見表2所示。

表2 圓形斷面臨界水深公式形式、最大相對(duì)誤差及標(biāo)準(zhǔn)剩余差比較

由表2可見,就公式表達(dá)形式及計(jì)算精度而言,文獻(xiàn)[8]精度最好,但公式復(fù)雜,且為分段函數(shù),不便實(shí)際應(yīng)用;文獻(xiàn)[10]、[12]公式雖然不分段,但表達(dá)式仍顯繁復(fù);文獻(xiàn)[7]、[11]及本文相對(duì)較簡(jiǎn)單,但文獻(xiàn)[7]和[11]最大擬合誤差相對(duì)較大,分別為4.48%和0.85%,而本文僅為0.55%,分別較文獻(xiàn)[7]和[11]減小 88%和35%;文獻(xiàn)[7]和[11]的標(biāo)準(zhǔn)差分別為4.654×10-3和3.382×10-3,本文僅為2.196×10-3,分別為文獻(xiàn)[7]和[11]的47%和65%,本文公式在表達(dá)形式及計(jì)算精度上具有明顯的優(yōu)越性。

3 應(yīng)用舉例

選文獻(xiàn)[11]算例:某工程引水隧洞的設(shè)計(jì)直徑分別為15 m和3 m,對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)過水流量分別為500 m3/s和8 m3/s,試計(jì)算洞內(nèi)的臨界水深值。

再將β=0.22947(rad)代人式(8)即可求得 hk值,即:

hk=1.87dsin(β+0.00247)=6.445 m(精確解為6.428 m,相對(duì)誤差為0.26%)

采用同樣算法可求得當(dāng)r=1.5 m,Q=8 m3/s時(shí),hk=1.218 m,精確解為1.213 m,相對(duì)誤差為0.41%。

4 小 結(jié)

本文針對(duì)目前圓形斷面臨界水深計(jì)算方法存在的問題,通過采用優(yōu)化擬合的方法,經(jīng)逐次逼近計(jì)算,獲得了公式表達(dá)形式相對(duì)簡(jiǎn)單且具有較高擬合精度的替代函數(shù),計(jì)算方法簡(jiǎn)捷,在工程實(shí)用范圍內(nèi),計(jì)算誤差不超過0.56%,可在實(shí)際工程的設(shè)計(jì)中推廣應(yīng)用。

[1]成都科學(xué)技術(shù)大學(xué)水力學(xué)教研室編.水力學(xué)[M].北京:人民教育出版社,1980.

[2]武漢水利電力學(xué)院水力學(xué)教研室編.水力計(jì)算手冊(cè)[M].北京:水利水電出版社,1983.

[3]汪胡楨.水工隧洞的設(shè)計(jì)理論和計(jì)算[M].北京:水利水電出版社,1990.

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