基于EI及MAC 算法的連續(xù)剛構(gòu)橋傳感器優(yōu)化布置

何 華，張力文，周建庭，楊建喜，周 磊

（1.廣西吉泰投資有限公司，廣西南寧 530001;2.重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶 400074）

基于EI及MAC 算法的連續(xù)剛構(gòu)橋傳感器優(yōu)化布置

何 華1，張力文2，周建庭2，楊建喜2，周 磊2

（1.廣西吉泰投資有限公司，廣西南寧 530001;2.重慶交通大學(xué)土木建筑學(xué)院，重慶 400074）

介紹了有效獨(dú)立法（EI）和模態(tài)保證準(zhǔn)則（MAC）的工作性能與適用范圍，并結(jié)合各自優(yōu)點(diǎn)，得到了一種新型的混合算法。將此方法運(yùn)用到以龍河大橋?yàn)檠芯繉?duì)象的連續(xù)剛構(gòu)橋傳感器布置上。結(jié)果表明:基于EI及MAC混合算法得到的測(cè)點(diǎn)截面位置有別于人為憑借經(jīng)驗(yàn)將傳感器布置在根部、邊跨及中跨1/4倍數(shù)截面等位置;通過(guò)MAC值驗(yàn)算，連續(xù)剛構(gòu)橋傳感器布置在此方法下能得到滿意的優(yōu)化結(jié)果。

有效獨(dú)立法;MAC法;連續(xù)剛構(gòu)橋;傳感器優(yōu)化布置

近年來(lái)，我國(guó)對(duì)橋梁的傳感器優(yōu)化布置領(lǐng)域的研究已趨成熟，有大量的算法涌現(xiàn)在各類(lèi)橋梁的傳感器優(yōu)化布置過(guò)程當(dāng)中，為解決實(shí)際的優(yōu)化問(wèn)題提供了理論依據(jù)。筆者研究的連續(xù)剛構(gòu)橋的傳感器優(yōu)化布置，選擇一種針對(duì)性強(qiáng)且有效的數(shù)學(xué)算法至關(guān)重要。

目前研究熱點(diǎn)是一種模仿生物自然進(jìn)化過(guò)程的隨機(jī)優(yōu)化算法——遺傳算法?；谶z傳算法的基本原理衍生出了一種基于EI及 MAC的混合算法［1-2］。EI這種方法經(jīng)常用于解決優(yōu)化問(wèn)題，是通過(guò)從原始數(shù)據(jù)群（測(cè)點(diǎn)群）里剔除測(cè)點(diǎn)的過(guò)程。其實(shí)質(zhì)是依次刪除對(duì)復(fù)合模態(tài)E矩陣的秩貢獻(xiàn)最小的自由度，從而來(lái)優(yōu)化Fisher信息矩陣［3］，整個(gè)思路結(jié)合了E矩陣的冪等性，在最少測(cè)點(diǎn)的前提下，使感興趣的模態(tài)向量盡可能保持線性無(wú)關(guān)。基于列主元QR分解技術(shù)［4］的MAC法是向初始測(cè)點(diǎn)群中添加測(cè)點(diǎn)的過(guò)程。這種方法首先是將模態(tài)矩陣進(jìn)行列主元QR分解，這樣就能夠保證得到使模態(tài)向量保持較大空間交角對(duì)應(yīng)的初始測(cè)點(diǎn)，接著向這組測(cè)點(diǎn)群里添加測(cè)點(diǎn)，當(dāng)添加的測(cè)點(diǎn)可以讓MAC矩陣中非對(duì)角元素達(dá)到最小時(shí)，這個(gè)測(cè)點(diǎn)將被收集到初始測(cè)點(diǎn)群中，并擴(kuò)充成為下一個(gè)初始測(cè)點(diǎn)群，重復(fù)此過(guò)程，直至達(dá)到滿意的測(cè)點(diǎn)數(shù)。最終得到的測(cè)點(diǎn)能夠保證所測(cè)得的向量具有最大的空間交角。整個(gè)過(guò)程將模態(tài)保證準(zhǔn)則作為測(cè)點(diǎn)布設(shè)方案的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。結(jié)合了這2種方法的混合算法可以解決橋梁傳感器布置問(wèn)題，并最終達(dá)到優(yōu)化，二者的關(guān)系如圖1。這種混合算法利用其各自的優(yōu)點(diǎn)，可以避免添加測(cè)點(diǎn)的經(jīng)驗(yàn)性，并且能夠保證添加測(cè)點(diǎn)后，測(cè)得向量的正交性和線性無(wú)關(guān)性。

圖1 算法關(guān)系Fig.1 Relationship between mathematical methods

1 算法理論

1.1 動(dòng)力特性分析［5－6］

求解非阻尼自由振動(dòng)條件下的振型和固有周期的特征方程式如式（1）:

1.2 混合算法

1.2.1 列主元QR分解法

基于列主元的QR分解法利用了測(cè)量向量的行空間特性，由此進(jìn)行列主元QR分解所測(cè)向量矩陣的轉(zhuǎn)置陣，有:

提取φ行向量組中具有較大范數(shù)的子集所對(duì)應(yīng)的測(cè)點(diǎn)，這就為MAC法提供了初始的測(cè)點(diǎn)。

1.2.2 有效獨(dú)立法

有效獨(dú)立法首先構(gòu)造矩陣E

該矩陣是目標(biāo)模態(tài)矩陣φs所張成向量空間的投影矩陣。其對(duì)角元為:

ED的物理意義是給定傳感器位置對(duì)目標(biāo)模態(tài)矩陣φs線性獨(dú)立性貢獻(xiàn)的大小。通過(guò)ED值對(duì)各個(gè)候選測(cè)點(diǎn)的優(yōu)先順序進(jìn)行排序，用迭代算法每次刪除ED中最小的元素所對(duì)應(yīng)的傳感器位置，也即刪除對(duì)目標(biāo)模態(tài)矩陣φs獨(dú)立性貢獻(xiàn)最小的行，重新組成Fisher信息陣;再進(jìn)行下一次迭代，再次刪除一個(gè)位置，直到達(dá)到所需要的傳感器數(shù)量為止，這就為侯選測(cè)點(diǎn)的選擇提供了依據(jù)，保證了添加測(cè)點(diǎn)的線性無(wú)關(guān)性。

1.2.3 MAC 算法

為了避免由于向量與向量之間的交角偏小讓系統(tǒng)無(wú)意損失關(guān)鍵模態(tài)的情況發(fā)生，MAC法作為一種保證準(zhǔn)則來(lái)督促傳感器的布置。其計(jì)算公式為:

式中:φi和φj分別表示第i階和第j階的模態(tài)向量。這種督促方式下布置的測(cè)點(diǎn)應(yīng)盡可能讓MAC矩陣非對(duì)角元最小。設(shè)由列主元QR分解得到的初始配置結(jié)果為∈Rm×m，由結(jié)構(gòu)的剩余自由度組成的振型矩陣子集為∈R（n-m）×m。當(dāng)從中提取一行增加到中后，得到新的模態(tài)保證準(zhǔn)則，其計(jì)算公式為:

往已有測(cè)點(diǎn)組合里添加新的測(cè)點(diǎn)是一個(gè)反復(fù)迭代，不斷尋優(yōu)的過(guò)程，其根本目的是為了挖掘出使MAC矩陣中的最大非對(duì)角元減小得最快的測(cè)點(diǎn)。

運(yùn)用此混合算法進(jìn)行傳感器布置的具體步驟是:

1）建立有限元模型，根據(jù)計(jì)算結(jié)果和所關(guān)心的振型特征，確定監(jiān)測(cè)振型的具體模態(tài)，得到結(jié)構(gòu)的模態(tài)向量矩陣，并確定傳感器的布置數(shù)目;

2）對(duì)目標(biāo)模態(tài)向量矩陣進(jìn)行列主元QR分解，第1次獲取布置傳感器的初始測(cè)點(diǎn)位置;

3）利用有效獨(dú)立法對(duì)模態(tài)向量矩陣（除去初始測(cè)點(diǎn)的模態(tài)向量矩陣）進(jìn)行縮減，將測(cè)點(diǎn)的數(shù)量控制在已確定傳感器的布置數(shù)量上下，并作為候選添加測(cè)點(diǎn)集合;

4）求得置信度MAC矩陣（由初始測(cè)點(diǎn)組成模態(tài)向量陣得來(lái)），并搜索出MAC矩陣中最大非對(duì)角元max;

5）隨機(jī)選取第3步中確定的候選添加測(cè)點(diǎn)集合中一點(diǎn)添加到初始測(cè)點(diǎn)群中，計(jì)算模態(tài)向量陣的（MACij）k矩陣，其中k表示添加到測(cè)量自由度的自由度，并搜索出其最大非對(duì)角元maxk;

6）計(jì)算儲(chǔ)存f（k）=maxk-max的值;

8）把添加了測(cè)點(diǎn)后的測(cè)點(diǎn)集合作為新的初始測(cè)點(diǎn)集合，然后反復(fù)運(yùn)行步驟4）～7），直至得到理想測(cè)點(diǎn)數(shù)后退出程序;

9）簡(jiǎn)易的可視化處理——人為觀察，淘汰位置比較近的測(cè)點(diǎn)，得到最終滿足要求的測(cè)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)傳感器優(yōu)化布置。

其中，步驟1）:利用Midas 2010對(duì)連續(xù)剛構(gòu)橋進(jìn)行建模和計(jì)算，并提取數(shù)據(jù);步驟2）～8）:利用matlab 7.1對(duì)已提取的數(shù)據(jù)進(jìn)行編程。

2 工程實(shí)例

2.1 工程概況

龍河特大橋位于重慶市豐都縣三合鎮(zhèn)東側(cè)龍河上。主橋總長(zhǎng)度為494 m，采用127 m+240 m+127 m三跨一聯(lián)的預(yù)應(yīng)力連續(xù)剛構(gòu)，橋?qū)?4 m，下部結(jié)構(gòu)為雙薄壁墩，最高墩高約116 m，橋面縱坡從左至右為-0.552%。設(shè)計(jì)車(chē)速為80 km/h，設(shè)計(jì)荷載為公路Ⅰ級(jí)，驗(yàn)算荷載為掛車(chē)特-300。全橋結(jié)構(gòu)尺寸、斷面分別如圖2、圖3。

2.2 模型的建立

采用大型橋梁專(zhuān)業(yè)分析軟件MIDAS建立龍河特大連續(xù)剛構(gòu)橋動(dòng)力特性的有限元計(jì)算模型。其有限元模型根據(jù)橋梁實(shí)際尺寸建模，橋面（149個(gè)節(jié)點(diǎn)，按照澆段劃分單元）、橋墩均采用三維梁?jiǎn)卧?，其有限元模型如圖4。

圖4 龍河大橋三維有限元模型Fig.4 Three-dimention finite element model of the Longhe Bridge

該連續(xù)剛構(gòu)橋采用能充分利用M和K的稀疏帶狀性質(zhì)的子空間迭代法［7］來(lái)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)力特性分析，求解其特征值方程。選擇參加計(jì)算的頻率數(shù)量為18，迭代次數(shù)為20，收斂誤差為1E-10。得出龍河大橋的前18階自振頻率及其主振型。表1中只列出了前8階自振頻率、周期及振型特征，圖5中給出了連續(xù)剛構(gòu)橋前6階的振型圖。

表1 自振頻率、周期及振型特征Tab.1 Free vibration frequency and the vibration cycle and the vibration characters

2.3 測(cè)點(diǎn)的確定

圖5 龍河大橋1～6階振型Fig.5 First to sixth vibration type of the Longhe Bridge

首先人為把監(jiān)測(cè)的目標(biāo)振型選定為6階，這樣不會(huì)浪費(fèi)計(jì)算機(jī)的儲(chǔ)存空間;其次選取龍河大橋的豎向振動(dòng)特征作為有效振型;最后提取對(duì)橋梁的豎向振動(dòng)有貢獻(xiàn)的前6階振型數(shù)據(jù)來(lái)考慮作為布置傳感器的計(jì)算機(jī)程序原始數(shù)據(jù)。在表2中排名得到的前6階豎向振型階數(shù)為第1階、第3階、第5階、第7階、第9階及第11階，并將這6階振型組成模態(tài)向量矩陣。然后采用列主元QR分解技術(shù)對(duì)模態(tài)向量矩陣進(jìn)行分解，目的是找到使測(cè)量的模態(tài)向量保持較大空間交角的測(cè)點(diǎn)，在有限元模型上分別是節(jié)點(diǎn)75、7、84、15、94、26，如圖 6（a）。然后采用有效獨(dú)立法對(duì)剩余143個(gè)測(cè)點(diǎn)的模態(tài)矩陣進(jìn)行篩選，依次刪除前131個(gè)對(duì)目標(biāo)模態(tài)矩陣獨(dú)立性貢獻(xiàn)最小的模態(tài)對(duì)應(yīng)的測(cè)點(diǎn)，刪除后剩余的測(cè)點(diǎn)為候選測(cè)點(diǎn)。接著采用MAC法，即每次從候選測(cè)點(diǎn)中選擇一個(gè)點(diǎn)加入到初始測(cè)點(diǎn)群中，然后找出添加測(cè)點(diǎn)以后MAC矩陣中非對(duì)角元的最大值。重復(fù)以上過(guò)程，逐步讓初始測(cè)點(diǎn)群收集到更多測(cè)點(diǎn)，并多次找出對(duì)應(yīng)MAC矩陣非對(duì)角元的最大值，記錄下來(lái)，把每一個(gè)這樣的值作比較，其中最小者對(duì)應(yīng)的測(cè)點(diǎn)有資格被添加到初始測(cè)點(diǎn)群。在每一次循環(huán)中，將添加測(cè)點(diǎn)后的測(cè)點(diǎn)集合當(dāng)下一循環(huán)的初始測(cè)點(diǎn)群，直至找出所要布置的測(cè)點(diǎn)編號(hào)數(shù)。最終由此混合算法確定的節(jié)點(diǎn)號(hào)為7、14、15、25、26、66、75、84、85、94、124、135，如圖 6（b）。最后根據(jù)可視化處理，保留靠得較近的測(cè)點(diǎn)之一，就可以得到最終的傳感器布置方案［8］，如圖6（c）。

2.4 檢 驗(yàn)

對(duì)應(yīng)各種測(cè)點(diǎn)方案的MAC值如圖7。通過(guò)觀察，列主元QR分解得到的6測(cè)點(diǎn)較最終得到的12測(cè)點(diǎn)，后者的非對(duì)角元并沒(méi)有增加，由此說(shuō)明了添加測(cè)點(diǎn)過(guò)后得到的測(cè)量向量的空間交角比較好。

圖7 MAC值2種布置方案的Fig.7 MAC value of the two layout programs

3 結(jié)論

從連續(xù)剛構(gòu)橋的傳感器優(yōu)化布置研究得知，基于EI及MAC法得到的傳感器布置點(diǎn)表現(xiàn)了所測(cè)數(shù)據(jù)的線性無(wú)關(guān)性和正交性，這正是汲取了EI法和MAC法優(yōu)點(diǎn)的一種運(yùn)用和體現(xiàn);在對(duì)連續(xù)剛構(gòu)橋的傳感器布置過(guò)程中，避免人為憑借經(jīng)驗(yàn)將傳感器布置在根部、中跨1/4倍數(shù)截面、邊跨1/4和邊跨1/2截面等位置;從圖7清晰顯示的MAC非對(duì)角元素的情況來(lái)看，最開(kāi)始的6測(cè)點(diǎn)和最后的12測(cè)點(diǎn)，反映數(shù)值的柱形體沒(méi)有增加，這表明最終確定測(cè)點(diǎn)的振型空間交角比較好;由于連續(xù)剛構(gòu)橋在根部受力復(fù)雜，建模時(shí)往往簡(jiǎn)化而不能準(zhǔn)確反應(yīng)根部特性，建議在實(shí)際工程中，無(wú)論是做荷載試驗(yàn)還是長(zhǎng)期健康監(jiān)測(cè)，首先考慮在根部附近布置傳感器。

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Optimal Sensor Placement of Continuous Rigid Frame Bridge Using Algorithm Based on Effective Independence and Modal Assurance Criterion Methods

HE Hua1，ZHANG Li-wen2，ZHOU Jian-ting2，YANG Jian-xi2，ZHOU Lei2
（1.Guangxi Ji Tai Investment Co.，Ltd.，Nan Ning 530203;
2.School of Civil Engineering ＆ Architecture，Chongqing Jiaotong University，Chongqing 400074，China）

Function and applicability of effective independence method and modal assurance criterion method were introduced.A new hybrid algorithm by assembling their advantages was worked out;mathematical method was applied in optimal sensor placement of continuous rigid frame bridge on treat Longhe Bridge as a case.Result showed section location acquired after EI and MAC methods was different from root section and 1/4 times section in cross-border based on people’s experience.According to MAC，sensor placement of continuous rigid frame bridge could obtain satisfactory optimization result through the method.

effective independence method;modal assurance criterion（MAC）;continuous rigid frame bridge;optimal sensor placement

U442.53

A

1674-0696（2011）05-0921-04

10.3969/j.issn.1674-0696.2011.05.008

2011-05-11;

2011-05-19

西部交通建設(shè)科技項(xiàng)目（200831895076）;重慶市重大科技攻關(guān)項(xiàng)目（CSTC，2008RA6038）

何 華（1972-），男，廣西桂平人，高級(jí)工程師，主要從事橋梁建設(shè)與維護(hù)技術(shù)研究。E-mail:hehua0283@sina.com。