液壓缸臨界載荷計(jì)算和最優(yōu)設(shè)計(jì)

林榮川 郭隱彪 魏莎莎 林 輝

1.集美大學(xué),廈門,361012 2.廈門大學(xué),廈門,361002 3.廈門廈工機(jī)械股份有限公司,廈門,361012

0 引言

液壓缸是機(jī)械設(shè)備中常用的執(zhí)行元件,通常承受軸向壓力,當(dāng)軸向力達(dá)到或超過一定限度(即臨界載荷)時(shí)會(huì)發(fā)生失穩(wěn),使構(gòu)件失效,導(dǎo)致突發(fā)性坍塌。因此,許用臨界載荷的確定及抗失穩(wěn)性能的設(shè)計(jì)是液壓缸設(shè)計(jì)的必要內(nèi)容。

1 液壓缸軸向受力力學(xué)模型

圖1所示為兩端鉸支的液壓缸受力示意圖,活塞桿可視為整體壓桿。缸筒端蓋受到高壓液壓油作用的軸向力P,與鉸支座的軸向反力構(gòu)成作用力與反作用力,如果不考慮活塞與缸體、活塞桿與端蓋間的間隙,缸筒本身可認(rèn)為不受壓力作用,任意截面的彎矩為零。但由于間隙的存在,當(dāng)液壓缸整體失穩(wěn)時(shí),缸筒也存在轉(zhuǎn)角和撓曲變形。

圖1 液壓缸受力示意圖

圖1中,E1 I1、E2 I2分別是活塞桿、液壓缸體抗彎剛度;F是橫向載荷;l是液壓缸總長度;l1是活塞桿伸出長度;l2是活塞桿導(dǎo)向長度;l3是缸體長度 ;δ1、δ2分別是活塞桿和缸體最大撓度;μ1是活塞桿與端蓋的間隙;μ2是活塞與缸筒的間隙。

2 液壓缸撓度曲線微分方程建立和臨界載荷計(jì)算

2.1 活塞桿撓度曲線微分方程

在軸向力P作用下,活塞桿產(chǎn)生彎曲變形,其中,x為液壓缸長度,y1為活塞桿撓度,橫向力為,則活塞桿截面彎矩可表示為

撓曲線微分方程為

邊界條件和連續(xù)條件為

于是，我按照媽媽先前對(duì)我的指導(dǎo)，先深吸一口氣，把頭埋進(jìn)水里，使勁兒不讓氣呼出來，但結(jié)果還是嗆了水。我并沒有灰心，再次嘗試，結(jié)果又失敗了。

則活塞桿撓度

2.2 缸體撓度曲線微分方程

缸體截面彎矩可表示為

相應(yīng)的撓曲線方程為

邊界條件和連續(xù)條件為

2.3 液壓缸臨界載荷計(jì)算

從圖1可以看出,當(dāng)活塞桿和缸體兩處最大撓度(即 δ1、δ2)超過臨界值時(shí),液壓缸發(fā)生失穩(wěn),則

由式(3)、式(6)、式(7)可得

式(8)是關(guān)于 δ1、δ2的非齊次方程組,其意義是：當(dāng)δ1、δ2的系數(shù)行列式為0時(shí),解為無窮大,即液壓缸發(fā)生失穩(wěn),即

由式(9)可解得臨界載荷的超越方程

通過牛頓迭代法可計(jì)算穩(wěn)定性系數(shù)a的大小,迭代流程如圖2所示。其中,a0為方程實(shí)根初值;n為最大迭代次數(shù);ε為收斂精度。

則液壓缸臨界載荷可表示為

式中,E1為活塞桿彈性模量;I1為活塞桿慣性矩;l為液壓缸長度。

其他約束方式的液壓缸臨界載荷也可以用同樣方法求解,為便于比較不同約束方式對(duì)臨界載荷大小的影響,根據(jù)文獻(xiàn)[6]引入約束影響系數(shù)φ,取兩端鉸支液壓缸的約束影響系數(shù)φ=1,不同約束液壓缸臨界載計(jì)算結(jié)果見表1。

圖2 迭代法框圖

表1 不同約束液壓缸臨界載荷表達(dá)式

3 液壓缸優(yōu)化模型和優(yōu)化計(jì)算[7-12]

優(yōu)化過程實(shí)際上是一個(gè)不斷自動(dòng)修正設(shè)計(jì)參數(shù)的過程,為保證優(yōu)化過程的流暢,就需要將待優(yōu)化的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)參數(shù)化,為修正模型提供可能,并自動(dòng)完成分析-評(píng)價(jià)-修正這一循環(huán)過程。整個(gè)參數(shù)化有限元優(yōu)化設(shè)計(jì)過程包括參數(shù)化建模、網(wǎng)格劃分、加載、求解、后處理和優(yōu)化迭代等。

3.1 液壓缸參數(shù)化有限元模型建立和應(yīng)力應(yīng)變分析

活塞桿與缸蓋、活塞與缸筒內(nèi)壁之間的連接屬于非線性接觸問題,通過研究目標(biāo)面與接觸面的自由度關(guān)系及變形的一致性可確定接觸邊界條件,建立液壓缸接觸系統(tǒng)的控制方程。采用映射法構(gòu)造對(duì)稱于oXY平面的三維有限元模型。構(gòu)造有限元模型時(shí),優(yōu)化過程所涉及的設(shè)計(jì)變量均以參數(shù)化形式描述,劃分網(wǎng)格后共得到7456個(gè)單元,6359個(gè)節(jié)點(diǎn),選用Solid45單元對(duì)液壓缸進(jìn)行離散分網(wǎng)并施加約束(以一端固定一端自由液壓缸為例),軸向載荷從小逐漸增大,模擬分析臨界載荷作用下危險(xiǎn)截面的應(yīng)力和變形位移情況,當(dāng)載荷達(dá)到一定數(shù)值時(shí),活塞桿變形位移和彎曲應(yīng)力急劇變大,意味著失穩(wěn)即將發(fā)生。非線性方程求解過程采用牛頓-拉普森迭代法?；钊麠U和缸體有限元模型如圖3、圖4所示,液壓缸的變形位移和應(yīng)力云圖如圖5、圖6所示。從圖5、圖6中可以看出,液壓缸受載后發(fā)生彎曲變形,最大彎曲應(yīng)力和位移發(fā)生在活塞桿靠近缸筒處,此處為發(fā)生失穩(wěn)的危險(xiǎn)區(qū)域,由于活塞桿與液壓缸端蓋之間間隙的存在,當(dāng)液壓缸整體失穩(wěn)時(shí),缸筒也存在轉(zhuǎn)角和撓曲變形,進(jìn)一步加速了液壓缸的坍塌崩潰。危險(xiǎn)截面最大應(yīng)力與活塞桿長度、直徑有關(guān),應(yīng)力變化趨勢如圖7所示。

圖3 活塞桿有限元模型

圖4 液壓缸體有限元模型

圖5 液壓缸變形位移云圖

圖6 液壓缸變形應(yīng)力云圖

3.2 液壓缸優(yōu)化數(shù)學(xué)模型建立

工程上選用液壓缸時(shí),一般是根據(jù)載荷大小和工作行程從手冊(cè)選用標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格或者定制非標(biāo)準(zhǔn)液壓缸,實(shí)質(zhì)上就是在有設(shè)計(jì)變量尺寸限制的前提下,求當(dāng)軸向力P一定時(shí),活塞桿截面和長度分別取何值時(shí)液壓缸的體積或質(zhì)量最小。該問題屬于有約束最優(yōu)化問題。對(duì)于液壓缸,在考慮軸向穩(wěn)定性和強(qiáng)度要求的條件下,使用優(yōu)化工具可對(duì)液壓缸優(yōu)化模型求解?；钊麠U直徑為 d,筒外徑為D1,筒內(nèi)徑為D,壁厚為臨界載荷。以液壓缸第i段桿橫截面直徑d ini、各桿段長度li作為設(shè)計(jì)變量,以其體積V作為目標(biāo)函數(shù),以液壓缸失穩(wěn)及結(jié)構(gòu)尺寸限制[8]為約束條件,在軸向力為Pcr情況下建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。目標(biāo)函數(shù)：

圖7 液壓缸危險(xiǎn)截面應(yīng)力變化趨勢圖

活塞桿強(qiáng)度約束：

其中,[σ1]為活塞桿材料許用應(yīng)力。

穩(wěn)定性約束：

缸筒內(nèi)徑D約束：

缸筒厚度δ約束：

根據(jù)第四強(qiáng)度理論,[σ2]為缸筒材料許用應(yīng)力。缸筒長度約束：

最小導(dǎo)向長度l2約束(避免因間隙引起的初始撓度過大)：

長度約束：

在優(yōu)化過程中采用多約束非線性二次規(guī)劃法,經(jīng)過若干次優(yōu)化迭代,得到設(shè)計(jì)點(diǎn)及最終逼近問題的最優(yōu)點(diǎn),由于非線性二次規(guī)劃法具有自動(dòng)修正功能,當(dāng)約束條件不能完全得到滿足時(shí),可以自動(dòng)修正有關(guān)結(jié)構(gòu)尺寸來滿足約束要求,該法具有很好的收斂性。

4 實(shí)驗(yàn)及分析

以一端固定一端自由的液壓缸活塞為例,臨界載荷取18kN,活塞桿極限長度取150mm,則本文優(yōu)化計(jì)算數(shù)值、Ritz法計(jì)算值如表2所示。

表2 液壓缸參數(shù)對(duì)照表

工程上常用 Ritz法計(jì)算臨界載荷或者校核液壓缸尺寸[13],為比較本文優(yōu)化計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)實(shí)測值、Ritz計(jì)算值之間的大小關(guān)系,以一端固定、一端自由的系列標(biāo)準(zhǔn)單出桿液壓缸(GB/T13342-2007)為實(shí)驗(yàn)對(duì)象,活塞桿直徑d=10mm,實(shí)測不同長度下的臨界載荷,將結(jié)果與Ritz計(jì)算值[13]、本文優(yōu)化計(jì)算值相比較,三種情況下的l-pcr曲線如圖8所示。從圖8中可以看出,本文優(yōu)化計(jì)算的液壓缸臨界載荷處于Ritz計(jì)算值和實(shí)驗(yàn)實(shí)測值之間。

圖8 液壓缸長度與臨界載荷(l-Pcr)曲線比較圖

用Ritz法計(jì)算臨界載荷或者校核液壓缸尺寸,臨界載荷比實(shí)驗(yàn)實(shí)測值小,即設(shè)計(jì)尺寸通常比實(shí)際值略大,屬于安全閾值偏大的計(jì)算,本文優(yōu)化計(jì)算后液壓缸主要參數(shù)值比Ritz法略小,臨界載荷比 Ritz計(jì)算法略大,和實(shí)驗(yàn)測量數(shù)據(jù)比較接近,說明本文優(yōu)化計(jì)算能滿足工程需要。

5 結(jié)語

軸向受壓液壓缸穩(wěn)定性驗(yàn)算是個(gè)復(fù)雜工程問題,由于液壓缸尺寸通常較大,難以用實(shí)驗(yàn)手段測出其臨界載荷,大都根據(jù)Ritz法計(jì)算結(jié)果結(jié)合經(jīng)驗(yàn)選用液壓缸尺寸,出于安全考慮,通常安全閾值偏大。本文考慮了活塞桿與缸蓋、活塞與缸筒之間間隙對(duì)液壓缸臨界載荷的影響,通過對(duì)液壓缸的三維有限元模擬分析,結(jié)合參數(shù)化有限元優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù),獲取在體積約束條件下液壓缸的合理尺寸,通過和Ritz法計(jì)算結(jié)果以及實(shí)驗(yàn)實(shí)測值比對(duì),該結(jié)果接近實(shí)驗(yàn)實(shí)測值,可以作為液壓缸選擇依據(jù)。隨著液壓缸筒與活塞之間間隙變大、活塞桿變形等影響因素增大,許可臨界載荷應(yīng)適當(dāng)減小。由于忽略活塞及活塞桿密封件彈性、液壓油彈性對(duì)液壓缸穩(wěn)定性的影響,該算法還有待進(jìn)一步完善。

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