一類多目標(biāo)規(guī)劃問題的混合型對偶*

趙 潔，陳 林，趙克全

（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 400047）

近年來，非光滑多目標(biāo)優(yōu)化已成為優(yōu)化領(lǐng)域中的研究熱點.此處利用Clarke的非光滑理論［1］，在非光滑B－預(yù)不變凸性條件下建立了一類非光滑多目標(biāo)規(guī)劃問題的混合對偶模型的弱對偶和強對偶定理.結(jié)果對文獻(xiàn)［2－4］中部分結(jié)果進(jìn)行了改進(jìn)與推廣.

1 預(yù)備知識

定義1［1］實值函數(shù)f:Rn→R稱為在點u∈Rn局部Lipscitz，若存在K＞0使得對于所有x，y∈U（u）都有|f（x）－f（y）|≤K‖x－y‖.若Rn上的每一點都是局部Lipscitz，則函數(shù)f是局部Lipscitz.

考慮下面的多目標(biāo)規(guī)劃問題（MP）和混合對偶模型（MD）:

2 主要結(jié)論及其證明

證明 設(shè)不是（MP）的弱有效解，則存在∈D，有在上為B－預(yù)不變凸函數(shù)又因為）在上是B－預(yù)不變凸函數(shù)，hs（s∈S2）在上是B－預(yù)不變凹函數(shù)，有

下面考慮混合型對偶問題（MP），建立弱對偶和強對偶定理.

定理3（強對偶定理）為（MP）的弱有效解，（MD）滿足K-T約束規(guī)格，存在使得）是（DMNOP）可行解，有（MP）和（MD）的目標(biāo)函數(shù)值相等.進(jìn)一步，若弱對偶條件成立，則）是（MD）的弱有效解.

［1］CLARKE F H.Optimization and Nonsmooth Analysis［M］.NewYork:John Wiely，1983

［2］李延忠，鄒杰濤，王作全.B-凸函數(shù)下多目標(biāo)規(guī)劃的 Mond-Weir對偶和 Wolf對偶［J］.吉林大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，1999（1）:38-40

［3］趙克全.B-預(yù)不變凸函數(shù)在多目標(biāo)規(guī)劃中的對偶問題［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008，25（2）:1-3

［4］趙克全，羅杰，唐莉萍.一類非光滑規(guī)劃問題的 Mond Weir和Wolf對偶［J］.重慶師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010，27（1）:1-5