基于最大似然算法的OFDM頻偏估計(jì)研究

趙 黎，張 燕，石介沛，祝 捷

（1.西安工業(yè)大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，陜西 西安 710032；2.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電氣工程系，陜西 咸陽(yáng) 712000；3.蘭州軍區(qū) 68026部隊(duì)，甘肅 蘭州 730000）

OFDM系統(tǒng)相對(duì)于單載波系統(tǒng)而言，具有頻譜利用率高、抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，但是由于OFDM系統(tǒng)采用多個(gè)頻譜互相混疊的正交子載波進(jìn)行調(diào)制，因此其對(duì)同步誤差比單載波系統(tǒng)更加敏感，即OFDM的高頻譜利用率和傳輸可靠性均是以子載波間的正交性為基礎(chǔ)的，當(dāng)接收端與發(fā)送端存在頻偏時(shí)，子載波間的正交性就會(huì)遭到破壞，導(dǎo)致嚴(yán)重的子載波間干擾，從而對(duì)系統(tǒng)造成非常嚴(yán)重的影響［1］。

為了能夠有效地消除符號(hào)間干擾，幾乎所有OFDM符號(hào)都會(huì)引入循環(huán)前綴［2］。由OFDM符號(hào)的結(jié)構(gòu)可以看出，插入循環(huán)前綴后，每對(duì)間隔為N的樣值之間都存在相關(guān)性，因此可以利用該相關(guān)特性進(jìn)行載波頻率偏差的估計(jì)。因此本文利用循環(huán)前綴對(duì)有用數(shù)據(jù)重復(fù)的幀結(jié)構(gòu)，按照最大似然準(zhǔn)則來(lái)完成載波頻率偏差的估計(jì)。

1 載波頻偏對(duì)OFDM系統(tǒng)的影響

在OFDM系統(tǒng)中，收發(fā)端均有各自的本地晶振，由于發(fā)射機(jī)和接收機(jī)晶體振蕩器的不同步造成子載波頻率發(fā)生偏移，OFDM各子載波之間的正交性受到破壞，引起嚴(yán)重的載波間干擾，使解調(diào)性能急劇惡化［3-4］。圖1給出了載波頻偏對(duì)OFDM系統(tǒng)影響的示意圖，當(dāng)接收端和發(fā)射端采樣頻率一致，即不存在載波頻偏時(shí)，如圖1(a)所示，各個(gè)子載波間就不會(huì)存在干擾；如果存在載波頻偏，信號(hào)的采樣點(diǎn)就會(huì)出現(xiàn)偏離，采樣的幅度下降，子載波之間就會(huì)存在相互干擾。假設(shè)發(fā)射端調(diào)制載波與接收端解調(diào)載波之間的絕對(duì)頻偏為，f 為發(fā)射端調(diào)制載波的頻率，為接收端解調(diào)載波的頻率，T為一個(gè)OFDM符號(hào)的持續(xù)時(shí)間。通常載波頻偏表示為時(shí)域上接收信號(hào)的相位旋轉(zhuǎn)，所以當(dāng)存在頻率偏移ε=時(shí)，接收到的時(shí)域信號(hào)為：

圖1 載波頻偏對(duì)OFDM系統(tǒng)影響的示意圖Fig1 Influences caused by frequency offset

其中 w（n）表示噪聲，ε1為整數(shù)頻偏，ε2為小數(shù)頻偏。

上式中第一項(xiàng)為有用信號(hào)，Ik為頻偏ε引起的載波間干擾ICI：

由式（3）可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)系統(tǒng)僅存在整數(shù)倍頻偏時(shí)，Ik=0，Rk=Sk-ε1Hk-ε1+Wk，即整數(shù)倍頻偏只會(huì)引起接收信號(hào)在頻域內(nèi)發(fā)生偏移，并不會(huì)破壞子載波之間的正交性，頻率采樣點(diǎn)偏移了ε1個(gè)子載波位置，使映射到OFDM頻譜內(nèi)的數(shù)據(jù)符號(hào)循環(huán)移位。當(dāng)系統(tǒng)存在小數(shù)頻偏時(shí)，有用信號(hào)的幅度衰減了相位偏移了 πε2（1-1/N），同時(shí)子載波的正交性遭到了破壞，引起了ICI，使信噪比降低。

由以上分析可以看出，載波頻率偏差的影響主要有兩種［5］：1）使系統(tǒng)信噪比下降，衰減了有用信號(hào)；2）帶來(lái)了嚴(yán)重的載波間干擾。

2 基于最大似然的頻偏估計(jì)

基于循環(huán)前綴的ML（Maximum Likelihood ML）估計(jì)算法，即最大似然估計(jì)算法，是Van de Beek等提出的一種用于OFDM系統(tǒng)的同步算法，它是利用循環(huán)前綴對(duì)有用數(shù)據(jù)重復(fù)的幀結(jié)構(gòu)，按照最大似然準(zhǔn)則來(lái)完成載波頻率偏差估計(jì)的方法[6]。

對(duì)于含有N個(gè)子載波，循環(huán)前綴長(zhǎng)度為L(zhǎng)的OFDM系統(tǒng)中，每個(gè)OFDM符號(hào)的實(shí)際長(zhǎng)度為N+L個(gè)樣值。經(jīng)過(guò)信道傳輸后，接收到存在定時(shí)偏差和頻率偏差的時(shí)域信號(hào)可表示為：

其中d是符號(hào)定時(shí)同步點(diǎn)，即OFDM符號(hào)的起始位置。Δfc表示相對(duì)頻偏，η（n）為均值為零的高斯白噪聲。如圖2所示為包含2N+L個(gè)樣值的符號(hào)r（n），該符號(hào)中包含一個(gè)完整的N+L個(gè)樣值的OFDM符號(hào)，圖中集合I中的元素與集合I′相同。

圖2 帶有循環(huán)前綴的OFDM符號(hào)結(jié)構(gòu)圖Fig.2 OFDM symbol with cyclic prefix

設(shè) f（r|d，Δfc）為給定符號(hào)起始時(shí)間 d和頻率偏差 Δfc條件下，2N+L個(gè)抽樣點(diǎn)的聯(lián)合條件概率密度函數(shù)，則對(duì)數(shù)似然函數(shù) Λ（d，Δfc）被定義為概率密度函數(shù) f（r|d，Δfc）的對(duì)數(shù)，即：

最大似然估計(jì)是要估計(jì)出使對(duì)數(shù)似然函數(shù)Λ（d，Δfc）取得最大值時(shí)d和Δfc的取值，由于乘積項(xiàng)是對(duì)所有2N+L個(gè)樣值點(diǎn)求乘積，因此與符號(hào)起始時(shí)間d無(wú)關(guān)；假設(shè)信源為獨(dú)立等概分布，則r（n）的實(shí)部和虛部相互獨(dú)立，所以值與頻率偏差Δfc也無(wú)關(guān)。因此省去項(xiàng)并不會(huì)影響對(duì)d和 f（r（n））的估計(jì)。 所以，上式可簡(jiǎn)化為：

根據(jù)圖2定義的OFDM符號(hào)結(jié)構(gòu)，上式可簡(jiǎn)化為：

其中ρ表示r（n）和r（n+N）之間的相關(guān)系數(shù)的幅度，由SNR 確定。 c1和 c2都是常數(shù)，并且 c1，c2＞0，因此其取值不會(huì)對(duì)最大似然判決產(chǎn)生影響，式(7)可簡(jiǎn)化為：

定義：

∠γ（d）表示復(fù)數(shù) γ（d）的輻角。 γ（m）表示連續(xù) L 個(gè)相距為N的樣值對(duì)之間的相關(guān)值之和，式(8)的第一項(xiàng)為γ（m）的加權(quán)模值，其中權(quán)值由頻率偏差來(lái)決定，第二項(xiàng)是獨(dú)立于頻率偏差的能量項(xiàng)，取決于相關(guān)系數(shù)ρ。

最大似然算法要同時(shí)估計(jì)符號(hào)定時(shí)同步位置和載波頻率偏差，因此對(duì)數(shù)似然函數(shù)的最大化過(guò)程應(yīng)該分兩步來(lái)實(shí)現(xiàn)，即

當(dāng)符號(hào)起始時(shí)間d已知的情況下，要實(shí)現(xiàn)（8）的最大化，必須使其中的 cos項(xiàng)為 1，即 2π△fc+∠γ（d）=2nπ，n 為整數(shù)，對(duì)其進(jìn)行計(jì)算可以得到頻率偏差△fc的最大似然估計(jì)值為：

通常，載波頻率偏差應(yīng)該在一個(gè)較小的范圍內(nèi)，故取n=0，所以，

第二步，估計(jì)定時(shí)偏差，令式（8）中的cos項(xiàng)為1，則定時(shí)偏差d的最大似然函數(shù)為：

在利用最大似然算法進(jìn)行符號(hào)定時(shí)和載波頻率聯(lián)合估計(jì)時(shí)，首先將接收信號(hào)的2N+L個(gè)抽樣點(diǎn)存儲(chǔ)在緩存器里，分別按（9）、（10）式計(jì)算 γ（m）和 φ（m），然后按（15）、（16）式作估計(jì)。

3 仿真分析

為了驗(yàn)證ML算法對(duì)載波頻偏估計(jì)的性能，本文采用Monte Carlo方法對(duì)其進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，仿真參數(shù)為：子載波數(shù)N=1 024，保護(hù)間隔長(zhǎng)度L=24，載波頻率偏差△f=0.25，SNR=15 dB。圖3（a）為根據(jù)式（15）確定的符號(hào)定時(shí)同步位置的示意圖，可以看出當(dāng)最大似然函數(shù)值達(dá)到最大的時(shí)候恰好是一個(gè)符號(hào)的起始位置，圖3（b）為在此位置上，根據(jù)式（16）得到的載波頻率偏差的最大似然估計(jì)值，由圖中可以看出，在符號(hào)起始位置處所估計(jì)出的載波頻偏恰好等于0.25，即基于ML的估計(jì)算法可以很好地對(duì)系統(tǒng)載波頻偏進(jìn)行估計(jì)。

圖3 最大似然估計(jì)聯(lián)合確定符號(hào)定時(shí)與載波頻率偏差的示意圖Fig.3 Diagram of determining timing and frequency offset using ML algorithm

4 結(jié)束語(yǔ)

由于OFDM各子信道帶寬較小，其對(duì)載波頻偏的敏感程度非常高，因此需要非常精確的載波同步。本文首先分析了載波頻偏對(duì)OFDM系統(tǒng)的影響，然后根據(jù)OFDM符號(hào)的特殊結(jié)構(gòu)，采用最大似然估計(jì)算法對(duì)OFDM系統(tǒng)頻率偏差進(jìn)行了有效的估計(jì)，最后通過(guò)Monte Carlo方法對(duì)其進(jìn)行了仿真驗(yàn)證，結(jié)果表明最大似然算法可以有效的估計(jì)出載波頻率偏差的大小。

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