基于不確定性均值-方差模型的穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合選擇

何朝林，孟衛(wèi)東

（1.安徽工程大學(xué) 管理工程學(xué)院，安徽 蕪湖 241000；2.重慶大學(xué) 經(jīng)濟與工商管理學(xué)院，重慶 400044）

0 引言

模型不確定性問題是社會經(jīng)濟系統(tǒng)中模型的基本特征，尤其在我國這樣一個新興的證券市場上，更是一個普遍存在的現(xiàn)象。資產(chǎn)組合選擇問題往往基于風(fēng)險資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)或信息統(tǒng)計推斷描述風(fēng)險資產(chǎn)價格特征的模型或概率分布，并估計模型或概率分布的相關(guān)參數(shù)，預(yù)測其未來趨勢，從而制定投資決策，解釋風(fēng)險資產(chǎn)價格行為、洞悉證券市場規(guī)律。這里存在兩個問題：從客觀上講，基于風(fēng)險資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)或信息統(tǒng)計推斷的預(yù)測模型或概率分布是否與未來真實模型或概率分布一致，即使一致，由于忽略未來數(shù)據(jù)或信息，基于歷史數(shù)據(jù)或信息而估計的參數(shù)是否與未來的真實值一致；從主觀上講，Ellsberg(1961)研究指出，個體投資者的信念無法用單一的模型或概率分布來表示，并發(fā)現(xiàn)其在決策時表現(xiàn)出不確定性規(guī)避行為[1]。無論是客觀還是主觀都說明個體投資者對描述經(jīng)濟狀態(tài)的模型或概率分布狀況具有不完全信息的事實，不完全信息結(jié)果的表現(xiàn)之一就是模型或概率分布的參數(shù)不確定性問題。因此，研究參數(shù)不確定性下的資產(chǎn)組合選擇問題具有必要性和現(xiàn)實性。

縱觀目前的研究，文獻(xiàn)[4,6,7]研究了模型中所有參數(shù)不確定下的資產(chǎn)組合選擇問題，但他們是在動態(tài)的情景下，而且是運用貝葉斯分析框架；文獻(xiàn)[2,3,5,8]雖然基于極大極小理論，但主要研究了期望收益不確定下的資產(chǎn)組合選擇問題。鑒于此，本文擬用相對熵控制預(yù)測分布中參數(shù)的不確定性對資產(chǎn)組合終期財富期望效用的影響，基于極大極小理論建立均值-方差穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合模型，運用穩(wěn)健控制方法獲得模型的最優(yōu)解，并以上證綜指的收益數(shù)據(jù)為樣本進(jìn)行實證，以對比的形式研究單參數(shù)和多參數(shù)不確定性下的穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題。

1 均值-方差靜態(tài)資產(chǎn)組合模型及問題的提出

投資者可投資兩種資產(chǎn)，一種為無風(fēng)險資產(chǎn)，其收益率固定，設(shè)為r；另一種為風(fēng)險資產(chǎn)，其連續(xù)復(fù)合收益率是一隨機變量，設(shè)為 u，假設(shè)其服從正態(tài)分布，即 F0(u)～N(u,σ2)。 投資者的初始財富為W0，W0≠0，投資于風(fēng)險資產(chǎn)和無風(fēng)險資產(chǎn)的比例分別為W，1-W，那么，自融資模式下終期時刻T時的資產(chǎn)組合財富WT為：

投資者資產(chǎn)組合決策的目標(biāo)是，基于均值-方差模型，在資產(chǎn)組合終期財富約束下，選擇最優(yōu)控制變量w，使資產(chǎn)組合終期財富期望效用最大。因此，投資者最優(yōu)靜態(tài)資產(chǎn)組合的均值-方差模型為：

其中，λ為投資者的風(fēng)險偏好，假設(shè)投資者是風(fēng)險規(guī)避型的，即λ∈(0，+∞)，其值越大，表明投資者的風(fēng)險規(guī)避程度越高。

根據(jù)模型式（2），將約束函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù)，由一階條件獲得資產(chǎn)組合的最優(yōu)解w為：

由式（3）知，對特定的投資者而言，其最優(yōu)資產(chǎn)組合中風(fēng)險資產(chǎn)的比例取決于描述風(fēng)險資產(chǎn)收益統(tǒng)計特征的兩個參數(shù)，即均值和方差。在實踐中，人們往往應(yīng)用所獲得的風(fēng)險資產(chǎn)價格歷史數(shù)據(jù)或信息估計并預(yù)測上述兩個參數(shù)，進(jìn)而制定投資決策。這里存在兩個問題：第一，基于歷史數(shù)據(jù)或信息統(tǒng)計推斷隨機變量的預(yù)測分布可能與其真實分布之間存在偏差；第二，即使預(yù)測分布是真實的，即上述偏差不存在，但由于投資的收益發(fā)生在未來，而決策是基于某個特定時刻所獲得的歷史數(shù)據(jù)或信息而制定的，這就或略了未來證券市場提供的數(shù)據(jù)或信息的作用，導(dǎo)致用于決策的參數(shù)值與其未來真實值之間存在偏差。因此，無論哪種情形都說明決定特定投資者的投資決策的參數(shù)存在不確定性，風(fēng)險規(guī)避型投資者必須對其進(jìn)行規(guī)避，特別是偏差的發(fā)生使投資者處于不利狀況。接下來，本文用相對熵測度上述參數(shù)不確定性對資產(chǎn)組合終期財富期望效用的影響，基于極大極小理論，運用穩(wěn)健控制方法討論參數(shù)不確定性下的穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題。

2 均值單參數(shù)不確定下的穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合

這里假定投資者對風(fēng)險資產(chǎn)收益率預(yù)測分布中的收益率方差完全信任，即與真實值完全一致；但認(rèn)為收益率的均值存在不確定性，與其真實值之間存在偏差，假定用θ,θ∈(-∞,∞)表示，即其真實均值為u-θ。那么，風(fēng)險資產(chǎn)收益率的預(yù)測分布為 F0(u)～N(u,σ2)，真實分布為 Fθ(u)～N(u-θ，σ2)。

鑒于相對熵主要用以衡量兩個概率測度之間的相對距離，具有可加性、凸性和非負(fù)性等性質(zhì)，本文用相對熵測度風(fēng)險資產(chǎn)期望收益的不確定性對投資者終期財富期望效用的影響。因此，在模型式（2）的基礎(chǔ)上，參照Hansen etal(2006)的研究結(jié)論[9]，均值單參數(shù)不確定下的穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合的均值-方差模型為：

其中，Eθ(·)是概率分布為 Fθ（u）時的期望；φ，φ＞0 是投資者的不確定性偏好，隨著φ增大，投資者認(rèn)為參數(shù)（這里指均值）不確定的可能性越大，即偏差存在的可能性越大；I(θ)是相對熵，控制了預(yù)測分布與真實分布之間的偏離情況。因此，模型式（4）的經(jīng)濟含義是在資產(chǎn)組合終期財富約束下，最大化相對熵控制范圍內(nèi)對投資者最為不利概率下的終期財富期望效用；其理論依據(jù)是極大極小理論，故應(yīng)用穩(wěn)健控制方法求解。

由式（4）的約束條件得：Eθ(WT)=W0[w(u-θ-r)]，Var(WT)=W0w2σ2。為求解模型，必須獲得相對熵，因相對熵表示真實分布Fθ(u)與預(yù)測分布F0(u)之間的相對距離，因此相對熵可表示為：

根據(jù)上文風(fēng)險資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)，由式（5）計算相對熵：

將 Eθ(WT)=W0[w(u-θ-r)+1+r]，Var(WT)=W0w2σ2，I（θ）=θ22σ2代入模型式式（4）的目標(biāo)函數(shù)，由極小化目標(biāo)的一階條件獲得：

將式（6）代入模型式（4）的目標(biāo)函數(shù)，由極大化目標(biāo)的一階條件獲得均值參數(shù)不確定下穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合的最優(yōu)解w為：

式（7）和式（3）對比可以發(fā)現(xiàn)，相對于風(fēng)險資產(chǎn)收益率的均值確定的情況，當(dāng)均值存在不確定的可能性下，投資者將降低資產(chǎn)組合中風(fēng)險資產(chǎn)的投資，而且隨著其不確定性偏好程度的增加，投資者會進(jìn)一步降低風(fēng)險資產(chǎn)的投資；若投資者完全不相信預(yù)測分布下的均值參數(shù)值，即φ→∞，則w→0，其趨向于將全部資產(chǎn)投資于無風(fēng)險資產(chǎn)，若投資者完全相信預(yù)測分布下的均值參數(shù)值，即φ→0，則式（7）逐漸等價于式（3）；式（7）和式（3）的分母表達(dá)式從一定程度上說明，投資者對預(yù)測分布中均值參數(shù)的不確定性偏好的增加類似于其風(fēng)險規(guī)避程度提高。

3 均值、方差兩參數(shù)皆不確定下的穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合

下面放松上述關(guān)于投資者完全信任風(fēng)險資產(chǎn)收益率預(yù)測分布中方差的假設(shè)，討論風(fēng)險資產(chǎn)收益率預(yù)測分布的均值和方差皆不確定下的穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題。這里，仍用θ,θ∈(-∞,∞)表示預(yù)測的均值和真實均值之間的偏差，同時用σ^2

表示真實的方差，那么風(fēng)險資產(chǎn)收益率的預(yù)測分布為真實分布為同時，用相對熵 I控制預(yù)測分布與真實分布之間的偏離。同理，均值、方差兩參數(shù)皆不確定下的穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合的均值-方差模型為：

其中，Eθ（·），Varσ^2（·）分別是概率分布為 Fθ（u）時的期望和方差，其它參數(shù)含義同上。

參照上述式（5）關(guān)于相對熵的求解，由式（9）可解得：

將式（11）代入模型式（8）的目標(biāo)函數(shù)，由極大化目標(biāo)的一階條件獲得：

由式（12）獲得均值、方差兩參數(shù)皆不確定下的穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合的最優(yōu)解為：

雖然式（11）和式（6）中關(guān)于θ的表達(dá)式上一致，但并不代表均值單參數(shù)和均值、方差雙參數(shù)不確定下均值的偏差是一樣；只有投資者對參數(shù)的不確定性偏好和資產(chǎn)組合風(fēng)險資產(chǎn)的比例在兩種情況下相同時，均值的偏差才一樣。

由式（12），通過等式變形得：

式 （12）表明w≠0，結(jié)合式 （11）的第二個等式得0＜λφσ2w2＜1，由式（14）得：

不等式（15）中分式的分母和分子必須同號，根據(jù)相關(guān)參數(shù)的取值范圍可推知它們同為負(fù)號，故而由分式的分子解得：

對比式（16）和式（7）可以發(fā)現(xiàn)，在風(fēng)險資產(chǎn)收益率的預(yù)測分布的參數(shù)存在不確定性的情況下，與均值單參數(shù)不確定性相比，如果投資者同時認(rèn)為方差參數(shù)也存在不確定性時，其將進(jìn)一步降低資產(chǎn)組合中的風(fēng)險資產(chǎn)頭寸。

4 實證研究

4.1 研究樣本

風(fēng)險資產(chǎn)以上證綜指為代表，其每月第一個交易日的收盤指數(shù)為其當(dāng)月月初價格，價格序列記為：{P1,P2,…PN，…}，則其連續(xù)復(fù)合月收益率為 un,un=ln(Pn+1/Pn)，n=1，2，…，N。 為便于比較，研究樣本取兩個：一個為上證綜指1997年1月至2009年6月的月度連續(xù)復(fù)合收益率，樣本容量為150，簡稱樣本1；另一個為上證綜指2002年1月至2009年6月的月度連續(xù)復(fù)合收益率，樣本容量為90，簡稱樣本2。原始數(shù)據(jù)為上證綜指1997年1月至2009年7月的每月第一個交易日的收盤指數(shù)，數(shù)據(jù)由分析家軟件（2006V6.0）提供。因此，在上證綜指連續(xù)復(fù)合月收益率服從正態(tài)分布的假設(shè)下 （何朝林（2007）從實證角度說明這一假設(shè)具有一定的合理性[10]），基于樣本 1 的預(yù)測分布為：F0（u）～N(0.0069，0.0096)；基于樣本2 的預(yù)測分布為：F0(u)～N(0.0079，0.0078)。1999 年以來上海證券市場的走勢逐漸強于深圳證券市場，2000年9月16日起深圳證券交易所停止發(fā)行新股，直至2004年6月獲準(zhǔn)成立中小企業(yè)版才重新發(fā)行新股。因此，本文選擇上海證券市場代表中國股票市場。中國股票市場在1997年前處于初始發(fā)展?fàn)顟B(tài)，規(guī)模小、法律和規(guī)則不健全。張兵和李曉明(2003)認(rèn)為以1997年為界研究中國股市，可以更細(xì)致準(zhǔn)確地理解和說明中國股市總體運動規(guī)律，將得到更符合實際的結(jié)論，可避免量化分析中樣本區(qū)間和數(shù)據(jù)選擇缺乏依據(jù)和一致性[11]。因此，本文選擇上證綜指1997年后的數(shù)據(jù)。

無風(fēng)險資產(chǎn)取2009年一年期銀行定期存款，其年利率為2.25%，折算成連續(xù)復(fù)合月收益率為 (ln(1+0.0225))/12=0.0019，故 r=0.0019。

4.2 實證結(jié)果

基于研究樣本，結(jié)合式（3）、式（7）和式（13）在不同風(fēng)險規(guī)避程度和不確定性偏好下分別量化參數(shù)確定、均值參數(shù)不確定、均值和方差參數(shù)皆不確定下的靜態(tài)資產(chǎn)組合選擇結(jié)果，見表 1。 其中，w1，w2，w3分別代表預(yù)測分布中參數(shù)確定、均值單參數(shù)不確定和均值與方差皆不確定下資產(chǎn)組合中的風(fēng)險資產(chǎn)比例；Δ21，Δ32分別代表均值參數(shù)和方差參數(shù)不確定性對資產(chǎn)組合中風(fēng)險資產(chǎn)投資的影響。

4.3 結(jié)果分析與經(jīng)濟解釋

（1）從表 1中 w1,w2,w3的值可知，在 λ，φ 一定時，預(yù)測分布的參數(shù)存在不確定時，投資者將降低風(fēng)險資產(chǎn)的投資，而且相對于均值單參數(shù)不確定的情況，均值和方差同時存在不確定時，其降低的程度更大；在λ一定下，隨著φ的增大，投資者進(jìn)一步降低風(fēng)險資產(chǎn)的投資。這說明風(fēng)險資產(chǎn)收益預(yù)測分布中的參數(shù)不確定性使得投資者降低風(fēng)險資產(chǎn)投資，投資者的不確定性偏好程度越大，其降低的程度越大。這一結(jié)果與股票市場的投資實際是一致的，當(dāng)市場走勢不明顯時，投資者認(rèn)為描述股票價格特征的預(yù)測分布或模型的可靠性降低，存在不確定的情況，其將減少股票投資；當(dāng)市場走勢變得混亂，不明顯情況加劇，預(yù)測分布或模型的預(yù)測更加不可靠，此時投資者的不確定性偏好程度加大，即φ增大，其將進(jìn)一步降低股票投資，甚至撤出股市；當(dāng)市場走勢得到一致認(rèn)可時，投資者幾乎不懷疑預(yù)測分布或模型的預(yù)測功能，故而決策越來越接近預(yù)測分布或模型中參數(shù)確定的情況。

表1 靜態(tài)資產(chǎn)組合中風(fēng)險資產(chǎn)的比例 （單位：%）

（2）從表 1 中 Δ21，Δ32的值可知，在 λ，φ 一定時，均值參數(shù)不確定性導(dǎo)致投資者降低風(fēng)險資產(chǎn)投資比例的程度強于方差參數(shù)不確定性下的情況，這說明風(fēng)險資產(chǎn)收益的正態(tài)預(yù)測分布中的均值參數(shù)不確定性對資產(chǎn)組合的影響強于方差參數(shù)不確定性。這與Merton(1980)、Blanchard(1993)得研究結(jié)論一致，即股票收益一階矩的預(yù)測要遠(yuǎn)遠(yuǎn)困難于二階矩[12,13]；同時，孟衛(wèi)東和何朝林（2007a,2007b）從一階矩和二階矩的方差角度也進(jìn)行了闡述[6,7]。這反映的投資實踐是，對特定風(fēng)險規(guī)避型投資者而言，即使其存在對預(yù)測分布或模型的不確定性偏好，但其認(rèn)為相對于股票的均值來說，方差的預(yù)測更為準(zhǔn)確。

（3）從表 1中基于樣本 1和樣本 2的 Δ21，Δ32值的對比可知，在λ，φ一定時，無論均值還是方差，它們的不確定性對資產(chǎn)組合的影響是樣本2強于樣本1，同時我們知道樣本2所含歷史數(shù)據(jù)少于樣本1，這說明信息量越少，統(tǒng)計推斷的預(yù)測分布中的參數(shù)不確定性可能性越大，對資產(chǎn)組合的影響越強。這一結(jié)論實質(zhì)上歸結(jié)于估計風(fēng)險問題，實踐中，人們只能運用既得的數(shù)據(jù)或信息統(tǒng)計推斷預(yù)測分布或模型，進(jìn)而估計它們的相關(guān)參數(shù)，這時的估計存在估計風(fēng)險，而且基于的歷史數(shù)據(jù)或信息越少，估計風(fēng)險就越大，因而對投資決策的影響就越大，從而說明了信息量越少，參數(shù)不確定性越高，對資產(chǎn)組合的影響越強。

（4）從表1可知，在φ一定下，λ越大，資產(chǎn)組合中風(fēng)險資產(chǎn)的比例越??；在λ一定下，φ越大，資產(chǎn)組合中風(fēng)險資產(chǎn)的比例越小。這在一定程度上說明投資者的風(fēng)險規(guī)避程度和不確定性偏好程度具有等價性。這歸結(jié)于參數(shù)不確定性在某種程度上以估計風(fēng)險的形式表現(xiàn)，因而參數(shù)不確定性也是一種風(fēng)險，對資產(chǎn)組合影響的特征類似于風(fēng)險規(guī)避程度提高。

5 結(jié)束語

本文基于均值-方差模型研究了風(fēng)險資產(chǎn)收益預(yù)測分布中的均值和方差兩參數(shù)的不確定性對穩(wěn)健靜態(tài)資產(chǎn)組合的影響。借助相對熵測度風(fēng)險資產(chǎn)收益的一階矩和前兩階矩的不確定性對資產(chǎn)組合終期財富期望效用的影響，運用穩(wěn)健控制方法獲得穩(wěn)健資產(chǎn)組合模型的最優(yōu)解；根據(jù)最優(yōu)解，以上證綜指1997年1月至2009年6月的兩個不同區(qū)間段的收益數(shù)據(jù)為樣本做實證研究。結(jié)果表明，參數(shù)不確定性導(dǎo)致資產(chǎn)組合中風(fēng)險資產(chǎn)的比例降低，并隨著投資者不確定偏好程度增加降低得越多；歷史數(shù)據(jù)或信息越少，參數(shù)不確定性影響越強；均值不確定性的影響強于方差不確定性的影響；即使投資者完全不相信方差的預(yù)測功能，但仍在一定程度上相信均值的預(yù)測功能。

本文與現(xiàn)有研究，特別是孟衛(wèi)東和何朝林(2007a,2007b)，形成互補。不足之處是如何研究動態(tài)均值-方差模型下的穩(wěn)健動態(tài)資產(chǎn)組合選擇問題。

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