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    帶有線性傭金率的密閉式拍賣模型研究

    2011-05-18 08:05:40楊衛(wèi)星劉樹林
    統(tǒng)計與決策 2011年13期
    關(guān)鍵詞:傭金賣方投標人

    楊衛(wèi)星,劉樹林

    (1.對外經(jīng)貿(mào)大學 國際經(jīng)濟貿(mào)易學院,北京 100029;2.北京化工大學 理學院,北京 100029)

    0 引言

    近幾年來,拍賣這種解決資源和服務分配的有效配置方式得到了廣泛的應用。很多古董、藝術(shù)品都使用拍賣的方式進行交易。特別是近年來,各國政府越來越多地使用到拍賣機制,比如通過拍賣市場實現(xiàn)國有企業(yè)的產(chǎn)權(quán)置換;通過拍賣在電信、電力、天然氣、交通等基礎(chǔ)設施產(chǎn)業(yè)引入適當競爭;通過拍賣機制實現(xiàn)政府采購;私人部門也更多地通過拍賣轉(zhuǎn)讓資產(chǎn)所有權(quán)、采購原材料等。

    對拍賣機制理論的研究最早可追朔到1961年Vickery[1]的工作,在隨后的幾十年里,拍賣理論及其應用得到了蓬勃的發(fā)展。最具里程碑的工作是1981年Samulson[2]的收益等價定理以及1982年Weber[3]的排序定理。在他們的基礎(chǔ)上,無論是理論上還是應用上都有了很多新的突破,如1987年McAfee[4]和1992年McMillan[5]的工作。以及對石油、天然氣、礦藏的開采權(quán)及森林的砍伐權(quán)的拍賣理論與實踐的研究,如1994年 Hendrick[6]和 1997年 Baldwin[7]的工作。

    現(xiàn)有的大部分文獻分析的都是買賣雙方的策略,但在具體的拍賣實踐中,拍賣的進行必須要有第三方,即拍賣行的參與。賣方要想通過拍賣獲得較高的成交價,必須把拍品委托給拍賣行,拍賣行承擔拍賣并按一定的比率收取傭金。2004年王彥等人[8]把傭金率引入一級和二級價格密封式拍賣中,得到結(jié)論:在私人估價模型下,當拍賣行收取的傭金率增加時,投標者的報價減少,進而賣方的預期收益降低,拍賣行的預期收益卻增加;賣方在一級和二級價格密封式拍賣中獲得的預期收益相同,因此,收益等價定理仍然成立。2005年畢志偉和王彥[9]進一步考察了在關(guān)聯(lián)價值拍賣模型下的一級和二級價格密封式拍賣,討論了傭金率對投標者的報價和賣方預期收益的影響。假設傭金率與成交價之間是線性關(guān)系(這個假設是很合理的,而且很符合拍賣的實際情況),Wang(2006)[10]研究了在私人估價模型下的一級(只考慮均勻分布的情形)和二級價格密封式拍賣的均衡投標策略,并與傭金率為固定比例的情況做了比較。

    為了使模型更加符合實際,本文將繼續(xù)假設傭金率與成交價是線性關(guān)系。在文獻[10]的基礎(chǔ)上,給出一般分布下的一級價格密封式拍賣的均衡投標策略;分別求出在一級和二級價格密封式拍賣中,投標人、賣方和拍賣行的預期收益,并與不帶傭金率和固定傭金率的情況分別做比較;進一步還考察線性傭金率的兩個系數(shù)分別對均衡投標策略、投標人的預期收益、賣方的預期收益、拍賣行的預期收益的影響。以期完善文獻[10]的工作,豐富帶有線性傭金率的拍賣模型的結(jié)果。

    2 假設和記號

    假設賣方有一個不可分割的拍品,個投標者分別記為1,2,…,n。每個投標者i僅知道自己對拍品的估價vi,賣方、拍賣行和其他的投標者不知道vi的具體值,把它看作一個隨機變量。所有投標者的估價獨立地服從相同的概率分布函數(shù)F(v),分布區(qū)間為其密度函數(shù)f(v)是正的、連續(xù)可微的,且滿足條件

    假設拍賣行設定一個線性的傭金率,k=k0=k1b,此處k1>0,k≥0,b 表示報價,0≤k≤k0,k0表示法律允許的最大傭金率(在我國一般為5%)。假設傭金由投標人支付,賣方選擇一級價格密封式拍賣或者二級價格密封式拍賣出售拍品,每個投標者根據(jù)自己的估價決定自己所報的價格。對于對稱的投標者(他們的估價分布函數(shù)相同),我們尋找對稱的貝葉斯-納什均衡投標策略。投標人,賣方和拍賣行是風險中性的,他們的目標都是最大化其預期收益。

    在以下的討論中,b1(v)、分別表示在一級價格密封式拍賣中,投標人的均衡投標策略、賣方的預期收益和拍賣行的預期收益;b2(v)、分別表示在二級價格密封式拍賣中,投標人的均衡投標策略、賣方的預期收益和拍賣行的預期收益。

    2 均衡報價策略①

    ①王彥[10]只討論了均勻分布的情況,其研究結(jié)果均是本節(jié)的特例。

    王彥在文獻[10]中研究了二級價格密封式拍賣,并得到了以下的引理。

    引理[10]在二級價格密封式拍賣中,當采取線性傭金率k=k0-k1b時,均衡報價策略為,且

    關(guān)于一級價格密封式拍賣,文獻[10]只考慮了均勻分布的情況,下面考慮一般分布的情況。

    設投標人有遞增的均衡投標函數(shù)b1(v),當某投標人的私人估價為v而報價為b1(t)(即按照私人估價為t來報價)時,他的預期收益是π=[v-(1+k0-k1b1(t)b1(t)]Fn-1(t)。預期收益?極大化的一階必要條件為即

    從而有

    令 B(v)=(1+k0-k1b1(v))b1(t),則(1)式化為[v-B(v)],在下面的討論中,方便起見,記 G(v)=Fn-1(v),g(v)=G'(v)=(n-1)Fn-2(v)f(v),則(1)式又可簡化為即

    ②此處的B(v)和文獻[4]中的均衡投標策略一致,即和不考慮傭金時的均衡投標策略一致。

    當 Δ=(1+k0)2-4k1B(v)≥0 時,即(1+k0)2≥4k1B(v)時,方程(4)的解為

    從而有下面的結(jié)論1。

    結(jié)論1:帶有線性傭金率k=k0-k1b的一級價格密封式拍賣的均衡報價策略為:

    從(5)式還可以計算出

    從而有下面的結(jié)論2。

    結(jié)論2:在帶有線性傭金率k=k0-k1b的一級價格密封式拍賣中,截距項k0越大,投標人報價越低;而斜率項k1越大,投標人報價越高。

    這個結(jié)論和實際是相符的,當k0變大,或k1變小時,都會導致傭金率變大,因此投標人需要支付的傭金更多,導致投標人報價更加謹慎。

    王彥等[8]得出,當采取固定的傭金率k時,一級價格密封式拍賣中投標人的報價策略為:

    計算得出下面的關(guān)系式:

    從而可以看出,當投標人對拍品的估價充分大時,采取線性傭金率對賣方是有利的。因此,在拍賣實踐中,對于一些昂貴的拍品,應該采取線性的傭金率而不是固定不變的傭金率。

    3 收益比較

    3.1 賣者的收益

    當采取線性傭金率時,在一級價格密封式拍賣中,賣者的預期收益為③其中v[1,n]表示v1,v2,…,vn中的最高統(tǒng)計量,f1,n(v)表示v[1,n]的密度函數(shù)。:

    同理,在二級價格密封式拍賣中,賣者的預期收益為④其中v[2,n]表示v1,v2,…,vn中的次高統(tǒng)計量,f2,n(v)表示v[2,n]的密度函數(shù)。:

    顯然,此時收益等價原理不再成立,下面比較二者的大小。

    當 n充分大時,可以得出 n(1-F(v))>1,從而有 f2,n>nFn-1(v)f(v)=f1,n(v),結(jié)合的表達式可以得出總結(jié)為下面的結(jié)論3。

    結(jié)論3:當采取線性傭金率時,收益等價定理不再成立。但是,當投標人數(shù)比較多時,賣者應該采取第二價格拍賣。

    下面考察傭金率的系數(shù)k0和k1分別對賣者預期收益的影響。前面的討論已經(jīng)得出

    從而有

    據(jù)此可得下面的結(jié)論4。

    結(jié)論4⑤此結(jié)論和王彥[8]的結(jié)論一致。:在一級價格密封式拍賣中,賣者的預期收益k0和k1負相關(guān),但和k1正相關(guān);關(guān)于二級價格密封式拍賣,也有同樣的結(jié)論。

    此結(jié)論和實際是相符合的,當變大,或變小時,都會導致傭金率變大,導致投標人報價降低,這樣會降低賣者的收益。

    3.2 拍賣行的收益

    當采取線性傭金率時,在一級價格密封式拍賣中,拍賣行的預期收益為:

    二級價格密封式拍賣中,拍賣行的預期收益為:

    結(jié)論5:在帶有線性傭金率k=k0-k1b的一級價格密封式拍賣中,賣者的預期收益減少,減少的部分恰好是拍賣行獲得的預期收益。關(guān)于二級價格密封式拍賣,也有同樣的結(jié)論。

    下面考察傭金率的系數(shù)k0和k1分別對拍賣行預期收益的影響。同樣因為

    從而有

    據(jù)此可得下面的結(jié)論6。

    結(jié)論6⑥此結(jié)論和王彥[8]的結(jié)論一致。:在一級價格密封式拍賣中,拍賣行的預期收益和正相關(guān),但和負相關(guān);關(guān)于二級價格密封式拍賣,也有同樣的結(jié)論。

    此結(jié)論和實際是相符合的,當變大,或變小時,都會導致傭金率變大,從而給拍賣行帶來更多的收益。

    3.3 投標人的收益

    在帶有線性傭金率的模型中,一級價格密封式拍賣中投標人的預期收益為

    二級價格密封式拍賣中投標人的預期收益為

    從而有下面的結(jié)論7。

    結(jié)論7:當帶有線性傭金率k=k0-k1b時,投標人在一級和二級價格密封式拍賣中獲得的預期收益相等,且與線性傭金率中的系數(shù)k0和k1均無關(guān)。

    進一步和文獻[4]中不帶傭金率的模型以及文獻[8]中帶有固定傭金率的模型比較發(fā)現(xiàn),這幾個模型中,投標人的預期收益完全相等。從而可知,投標人不必為傭金比例的高低擔心,因為隨著傭金比例的調(diào)整,投標人的報價策略會做相應調(diào)整,從而使得投標人的預期收益保持不變。

    4 結(jié)論

    在現(xiàn)實拍賣中,賣方一般不能直接拍賣持有的物品,而是通過委托拍賣行對物品拍賣,拍賣成功后,由投標人按事先約定的傭金比例支付給拍賣行傭金。目前國內(nèi)研究傭金率的文獻非常少,王彥等在文獻[8]中考慮了一個固定的傭金比率,在文獻[10]中假設傭金率是報價的線性函數(shù),這個假設和實際非常相符,但文獻[10]中對第一價格拍賣的研究只考慮了均勻分布這樣一個特殊情況,有很大的局限性。

    本文在文獻[10]的基礎(chǔ)上,求出了基于一般分布的一級價格密封式拍賣的均衡報價策略,并且發(fā)現(xiàn)截距項k0越大,投標人報價越低;而斜率項k1越大,投標人報價越高。當投標人對拍品的估價充分大時,采取線性傭金率對賣方是有利的。因此,在拍賣實踐中,對于一些昂貴的拍品,應該采取線性的傭金率而不是固定不變的傭金率。

    本文還求出了賣者、拍賣行、投標人三方的預期收益。并且發(fā)現(xiàn)當采用線性傭金率時,收益等價定理不再成立,賣者的預期收益減少,減少的部分恰好是拍賣行獲得的預期收益。這個結(jié)論揭示了傭金支付的實質(zhì):表面上看,傭金是由投標人支付的,而實際上,拍賣行所獲得的傭金正好是不考慮傭金支付時賣方預期收益的減少。

    本文還得出,當投標人數(shù)比較多時,賣者應該采取第二價格拍賣的形式。無論是一級還是二級價格密封式拍賣,賣者的預期收益和k0負相關(guān),但和k1正相關(guān);拍賣行的預期收益和k0正相關(guān),但和k1負相關(guān)。

    本文還發(fā)現(xiàn),投標人在一級和二級價格密封式拍賣中獲得的預期收益相等,且與線性傭金率中的系數(shù)k0和k1均無關(guān)。進一步研究得出,對于投標人來說,有沒有傭金提成,以及傭金比例的高低,其預期收益都不變。因此,實際拍賣中,投標人不必為傭金比例的高低擔心,因為隨著傭金比例的調(diào)整,投標人的報價策略會做相應調(diào)整,從而使得投標人的預期收益保持不變。

    [1]Vickrey,W.Counterspeculation,Auctions,and Competitive Sealed Tenders[J].The Journal of Finance,1961,(1).

    [2]Riley,J.G.,W.F.Samuelson.Optimal Auctions[J].American Economic Review,1981,(3).

    [3]Milgrom,P.R.,R.J.Weber.A Theory of Auctions and Competitive Bidding[J].Econometrica,1982,(5).

    [4]McAfee,R.P.,J.McMillan.Auctions and Bidding[J].Journal of E-conomic Literature,1987,(2).

    [5]McAfee,R.P.,J.McMillan.Bidding Rings[J].American Economic Review,1992,(82).

    [6]Hendricks,K.,Porter R.,Wilson C.Auctions for Oil and Gas Leases with an Informed Bidder and a Random Reservation Price[J].Econometrica,1994,(62).

    [7]Baldwin LH,Marshall R.C.,Richard J-F.Bidder Collusion at Forest Service Timber Sales[J].Journal of Political Economy,1997,(105).

    [8]王彥,畢志偉,李楚霖.傭金收取對拍賣結(jié)果的影響[J].管理科學學報,2004,(3).

    [9]畢志偉,王彥.考慮傭金的關(guān)聯(lián)價值拍賣模型[J].管理科學學報,2005,(3).

    [10]Wang,Y.Commission Strategy of the Auction House[J].Wuhan University Journal of Natural Sciences,2006,(11).

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