未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估的Mack模型及其預(yù)測(cè)均方誤差的實(shí)現(xiàn)

張連增，段白鴿

（南開大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津 300071）

1 Mack模型

1.1 Mack模型基本假設(shè)

傳統(tǒng)的確定性鏈梯法是從累計(jì)賠款流量三角形出發(fā)估計(jì)未決賠款準(zhǔn)備金的一種方法，該方法應(yīng)用簡(jiǎn)便。在該方法下，可得到如表1的累計(jì)賠款流量三角形的一般結(jié)構(gòu)。

表1 累計(jì)賠款流量三角形示例

在表1中，Ci,j表示事故年i到第j個(gè)進(jìn)展年的累計(jì)賠款額（0≤i≤I,0≤j≤J）。另外一般假設(shè)I=J。

用 Ri表示對(duì)應(yīng)于事故年 i的未決賠款準(zhǔn)備金，R表示各事故年未決賠款準(zhǔn)備金的總額。在傳統(tǒng)鏈梯法中，下列關(guān)系式成立：

在應(yīng)用鏈梯法時(shí)，首先要估計(jì)進(jìn)展因子，其后估計(jì)未決賠款準(zhǔn)備金，其基本步驟如下：

現(xiàn)在引入Mack模型。在Mack模型中，Ci,j都被視為隨機(jī)變量。Mack(1993)[1]引入了以下兩個(gè)基本假設(shè)：

（1）對(duì)不同的事故年i，Ci,j是相互獨(dú)立的。

（2）對(duì)所有的 0≤i≤I，1≤j≤J，存在進(jìn)展因子 f0,…,fJ-1＞0和,…,＞0 方差參數(shù)，使得：

對(duì)上述兩個(gè)假設(shè)可解釋如下：假設(shè)（1）表明，不同事故年的累計(jì)賠款額是相互獨(dú)立的，因而是不相關(guān)的。假設(shè)（2）表明，不同事故年有相同的進(jìn)展因子序列，而且鏈梯法應(yīng)用最近的觀察值來預(yù)測(cè)未來的賠款，即可以視為Markov鏈梯法。

1.2 Mack模型中估計(jì)量的無偏性

在上述假設(shè)下，可以證明（3）～（6）式給出的估計(jì)量分別是，fj，Ci,J,Ri和R的無偏估計(jì)量。同時(shí)，Mack(1993)給出了關(guān)于的如下估計(jì)：

下面首先證明在Mack模型的三個(gè)基本假設(shè)下，（3）～（6）式分別是 fj，Ci,J，Ri和 R 的無偏估計(jì)；其次證明在（8）式的假設(shè)下，是關(guān)于fj的最小方差的線性無偏估計(jì)；最后證明關(guān)于σj2的估計(jì)（9）式的無偏性。

1.2.1 （3）～（6）式估計(jì)量的無偏性

實(shí)際上，僅需證明下面兩個(gè)定理就可以說明（3）～（6）式估計(jì)量的無偏性。

定理1 記所有已知的上三角數(shù)據(jù)集合為DI={Ci,j,i+j≤I}。 根據(jù)假設(shè)（1）和（2），E(Ci,J|DI)=Ci,I-ifI-i…fJ-1成立。

證明：記 Ei(X)=E(X|Ci,1，…,Ci,I-i)，根據(jù)假設(shè)（1），不同的事故年i,Ci,j的相互獨(dú)立性，得到：

E(Ci,J|DI)=E(Ci,J|Ci,1,…,Ci,I-i)=Ei(Ci,J)

注意到再反復(fù)應(yīng)用（7）式就可得到：

Ei(Ci,J)=Ei(E(Ci,J|Ci,1,…,Ci,J-1))

=Ei(Ci,J-1)fJ-1…=E1(Ci,I-i)fI-i…fJ-1=Ci,I-ifI-i…fJ-1

定理 2 在假設(shè)（1）及假設(shè)（2）下，{f^j,0≤j≤J-1}是無偏的，而且不同的進(jìn)展因子之間是不相關(guān)的。

證明：記 Bj={Ci,k,k≤j,i+k≤I},0≤j≤J，根據(jù)假設(shè)（1）和假設(shè)（2），得到：

E(Ci,j+1|Bj)=E(Ci,j+1|Ci,1,…,Ci,j)=Ci,jfj

因此，可以得到：

設(shè) k＜j，那么

這就證明了定理2。

根據(jù)定理2，顯然有：

1.2.2 fj的最小方差的線性無偏估計(jì)

引理 設(shè)X1,…,Xn為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且滿足E(Xi)=μ，(1≤i≤n)要使在約束條件下，隨機(jī)變量的線性組合的方差達(dá)到最小，那么，wi=c/Var(Xi)（1≤i≤n），其中 Var(X)=c。

證明：上述問題等價(jià)于確定以下多元函數(shù)的條件極值：

為此構(gòu)造拉格朗日函數(shù)，求解下述方程組：

解方程組 (*)得到 wi=c/Var(Xi)（1≤i≤n）， 其中 c=

故使得方差達(dá)到最小的隨機(jī)變量的線性組合為：進(jìn)一步得出，

故引理得證。

上式右邊三項(xiàng)分別為：

將上述三項(xiàng)代人，得到：

2 Mack模型中預(yù)測(cè)均方誤差的計(jì)算

其中，Var[Ci,J|DI]表示純粹的隨機(jī)誤差（即過程方差）[3]，上式最后一項(xiàng)表示估計(jì)值與期望值的偏差（即參數(shù)估計(jì)誤差）。

預(yù)測(cè)均方誤差定義為關(guān)于已知數(shù)據(jù)的條件期望而不是無條件期望E(C^i,J-Ci,J)2，這是因?yàn)榻⒃谝阎獢?shù)據(jù)上的估計(jì)量C^i,J的條件預(yù)測(cè)均方誤差，給出了C^i,J與Ci,J之間由于隨機(jī)性引起的平均偏差，更具有研究?jī)r(jià)值。對(duì)于預(yù)測(cè)均方誤差，下面的關(guān)系式成立：

2.1 條件過程方差

根據(jù)Mack模型假設(shè)（1）和假設(shè)（2），可以得到：

進(jìn)一步，利用遞推公式，得到條件過程方差：

由Mack模型假設(shè)（1）得到，各事故年的未決賠款準(zhǔn)備金之和的條件過程方差為：

把參數(shù)fj和分別替換為各自的估計(jì)量和可得到各事故年的條件過程方差的估計(jì)量，即為：

進(jìn)而得到，各事故年的未決賠款準(zhǔn)備金之和的條件過程方差的估計(jì)量為：

2.2 參數(shù)估計(jì)誤差

根據(jù)Mack模型假設(shè)（1）和假設(shè)（2），可以得到條件參數(shù)誤差：

在（16）式中，如果把fj簡(jiǎn)單地替換為，那么結(jié)果為零。因此，需要采用另外的方法來估計(jì)該項(xiàng)。為簡(jiǎn)便起見，引入符號(hào)：

將上式代人（16）式，得到：

另外，因?yàn)椋?/p>

從而得到：

把未知參數(shù)fj和分別替換為各自的無偏估計(jì)量和，得到參數(shù)估計(jì)誤差的如下估計(jì)式（記為

綜合（15）式和（19）式就得到了各事故年的預(yù)測(cè)均方誤差的估計(jì)量為

先考慮兩個(gè)事故年i和k，設(shè)i＜k。那么

對(duì)上式右邊第一項(xiàng)，應(yīng)用獨(dú)立性假設(shè)，得到

Var(Ci,J+Ck,J|DI)=Var(Ci,J|DI)+Var(Ck,J|DI)

對(duì)第二項(xiàng)，展開為三項(xiàng)之和。最后整理后，得到

一般地，未決賠款準(zhǔn)備金總額的預(yù)測(cè)均方誤差[4]有如下Mack公式：

3 數(shù)值實(shí)例

下面以數(shù)值實(shí)例說明如何利用Mack模型計(jì)算未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)均方誤差，這里采用R語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行數(shù)值實(shí)現(xiàn)。其累計(jì)賠款數(shù)據(jù)見表2。

表2 累計(jì)賠款數(shù)據(jù)

應(yīng)用上一節(jié)的結(jié)論，編程計(jì)算得到如表3的主要數(shù)值結(jié)論。

表3 鏈梯法準(zhǔn)備金估計(jì)以及預(yù)測(cè)均方誤差估計(jì)

另有一增量賠款數(shù)據(jù)（見表4）出現(xiàn)在其后很多文獻(xiàn)中。相應(yīng)的結(jié)論見表5。

表4 增量賠款數(shù)據(jù)

表5 鏈梯法準(zhǔn)備金估計(jì)以及預(yù)測(cè)均方誤差估計(jì)

4 結(jié)論

（1）未決賠款準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)均方誤差隨著事故年已知信息的減少而增加。舉例來講，對(duì)第10個(gè)事故年，僅有一個(gè)賠款數(shù)據(jù)，此時(shí)信息最少，所以其準(zhǔn)備金的預(yù)測(cè)均方誤差最大，該結(jié)論是符合實(shí)際情況的，因?yàn)楫?dāng)已知的信息越少時(shí)，估計(jì)的誤差就會(huì)越大。

（2） 估 計(jì) 結(jié) 果 的穩(wěn)健性。在Mack模型的假設(shè)下，得到的總的未決賠款準(zhǔn)備金估計(jì)的變異系數(shù)比較小，部分地說明了該方法比較穩(wěn)定。

（3）Mack模型比較容易理解，在計(jì)算機(jī)上易于編程計(jì)算。

另外，本文采用R語(yǔ)言進(jìn)行算法實(shí)現(xiàn)，所有的算法模塊化、可操作性強(qiáng)、處理速度快，其實(shí)現(xiàn)過程也有很高的靈活性，例如事故年和進(jìn)展年可根據(jù)需要自由選擇、輸入流量三角形數(shù)據(jù)，所有的結(jié)果自動(dòng)實(shí)現(xiàn)等等。隨著精算實(shí)務(wù)中對(duì)未決賠款準(zhǔn)備金的波動(dòng)性的逐漸重視，本文的研究對(duì)保險(xiǎn)公司在評(píng)估準(zhǔn)備金方法中引入隨機(jī)性方法——Mack方法，將具有十分重要的理論意義和實(shí)踐價(jià)值。

[1]T.Mack.Distribution-free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates[J].ASTIN Bulletin,1993,23(2).

[2]張連增.未決賠款準(zhǔn)備金評(píng)估的隨機(jī)性模型與方法[M].北京：中國(guó)金融出版社，2008.

[3]G.Taylor，F(xiàn).R.Ashe.Second Moments of Estimates of Outstanding Claims[J].Journal of Econometrics,1983,(23).

[4]M.V.Wüthrich，M.Merz.Stochastic Claims Reserving Methods in Insurance[M].Chichester:John Wiley&Sons,Ltd,2008.