NA樣本情形下雙參數(shù)指數(shù)分布族參數(shù)EB估計(jì)的漸近性討論

劉榮玄，范發(fā)明，吳高翔

（井岡山大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，江西 吉安 343009）

0 引言

近幾十年來,已有許多文獻(xiàn)研究經(jīng)驗(yàn)Bayes統(tǒng)計(jì)推斷,這些研究文獻(xiàn)中絕大多數(shù)都是在獨(dú)立同分布的樣本下進(jìn)行的。然而在滲透性理論和可靠性理論等實(shí)際問題中,所獲得的樣本常常不是獨(dú)立的,而是具有某種相關(guān)性,負(fù)相協(xié)（NA）和正相協(xié)（PA）樣本就是兩種常見的樣本.關(guān)于估計(jì)問題,在許多情況下正誤差（過高估計(jì)）和負(fù)誤差（過低估計(jì)）所造成的損失相差很大,因此許多研究經(jīng)驗(yàn)Bayes統(tǒng)計(jì)推斷的文獻(xiàn)采用了非對稱損失函數(shù),LINEX損失就是其中常用的一種。雙參數(shù)指數(shù)分布應(yīng)用很廣,一些產(chǎn)品的壽命分布都可以用它來刻畫,如汽車、飛機(jī)和水壩等壽命都服從這種分布。有關(guān)這些方面的研究有許多學(xué)者在不同的刊物上發(fā)表了文章，文獻(xiàn)[1]討論了在NA樣本情形下刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes檢驗(yàn)問題,文獻(xiàn)[2]討論了在NA樣本情形下單邊截?cái)嘈头植甲逦恢脜?shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì),文獻(xiàn)[3]討論了在LINEX損失函數(shù)下單邊截?cái)嘈头植甲鍏?shù)的EB估計(jì),文獻(xiàn)[4]討論了刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)的收斂速度，文獻(xiàn)[5]討論了線性指數(shù)分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯估計(jì),文獻(xiàn)[6]討論了對稱熵?fù)p失下指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì),文獻(xiàn)[7]討論了定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失場合下雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)的貝葉斯估計(jì)。本文將在NA樣本情形下,假設(shè)LINEX損失函數(shù),研究雙參數(shù)指數(shù)分布位置參數(shù)的EB估計(jì),并證明所得到的估計(jì)是漸近最優(yōu)的。

假設(shè)雙參數(shù)指數(shù)分布為

其中α為位置參數(shù)，或稱門限參數(shù)、保證時間參數(shù)，當(dāng)α表示壽命、時間時,α自然是非負(fù)的；β＞0為尺度參數(shù)。

為便于研究位置參數(shù)α的估計(jì),不妨假設(shè)β為常數(shù),于是對給定的α?xí)r,隨機(jī)變量(r.v.)X的條件密度函數(shù)為

這里的,Ω 為參數(shù)空間 α∈Ω=（0，+∞）。

設(shè) α 的先驗(yàn)分布為 H(α),屬于先驗(yàn)分布族 F={H(α):E(eαβ-1)＜∞,β＞0},則 r.v.X 的邊緣分布為

取損失函數(shù)為如下的LINEX函數(shù),即

其中θ(x)為參數(shù)α的判決函數(shù),c≠0,c為實(shí)數(shù)，是損失函數(shù)的尺度參數(shù)，可根據(jù)雙參數(shù)指數(shù)分布的參數(shù)β的值確定c的取值，滿足βc＞1。于是參數(shù)α的Bayes估計(jì)為

這里 E(x,α)表示對(X,α)的聯(lián)合分布取期望。

從上式可知,如果參數(shù)α的先驗(yàn)分布是已知的,θ^BE(x)的Bayes 風(fēng)險(xiǎn) R(θ^BE(x),H(α))可以計(jì)算出來,然而,通常 α 的先驗(yàn)分布 H(α)是不知道，按(5)式得不到θ^BE(x)的 Bayes估計(jì)。 也無法得到它的Bayes風(fēng)險(xiǎn),但考慮到人們過去所做的工作一般都有記載,因此,下文將借用歷史數(shù)據(jù)，采用概率密度核估計(jì)的辦法,構(gòu)造一個形如(5)式的參數(shù)α的EB估計(jì)θ^BE(x)，以此估計(jì)量來近似代替Bayes估計(jì)θ^BE(x)，并且可以證明這種代替在LINEX損失下其風(fēng)險(xiǎn)可任意接近 R(θ^BE(x),H(α))。收斂速度為

1 EB估計(jì)的構(gòu)造

假設(shè)（X1,α1),（X2,α2),…（Xn,αn)，（X,α)為一串具有相同分布的隨機(jī)向量,X1,X2,…Xn，X,為同分布弱平穩(wěn)NA隨機(jī)變量序列,它們是可觀測,有共同的邊緣概率密度 m(x)；X1,X2,…Xn為歷史樣本,X為當(dāng)前樣本,α1,α2,…αn和α為不可觀測的,但有相同的先驗(yàn)分布 H(α)。 設(shè) m(x)∈CS,M,x∈R1，其中 s≥2,為正整數(shù),CS,M表示R1中的一族概率密度函數(shù),其s階導(dǎo)數(shù)存在,連續(xù)其絕對值不超過M。對NA樣本序列的協(xié)方差結(jié)構(gòu)假設(shè)為

下面利用歷史樣本和核函數(shù)定義m(x)的核估計(jì)。

設(shè)K(x)為Borel可測實(shí)值核函數(shù),且滿足

K(x)為有界的,除有限點(diǎn)集外是可微的,且微分有界；

定義m(x)的核估計(jì)為

其中當(dāng)n→∞時，hn→0，定義G(x)的估計(jì)為

令

其中0＜v＜1,它的取值視實(shí)際情況而定,根據(jù)上述估計(jì),再定義參數(shù)α的EB估計(jì)

它的全面Bayes風(fēng)險(xiǎn)為

其中 E*表示對(X1,X2,…Xn，X,α)的聯(lián)合分布求數(shù)學(xué)期望.以下證明這一EB估計(jì)的漸近性,說明在一定的條件下，用歷史數(shù)據(jù)估計(jì)參數(shù)α是有效性的。

2 漸近性的證明

在證明EB估計(jì)的漸近性之前先證幾個引理,并假設(shè)c1,c2,c3…為任意正常數(shù),且在不同的地方可以代表不同的常數(shù)。

引理1 假設(shè) a＞0,b＞0則有

證明：見文獻(xiàn)[8]引理1。

引理2 在LINEX損失函數(shù)下有

這里的 En 和 Ex 分別表示對隨機(jī)變量（X1，X2，…，Xn）和X的分布求數(shù)學(xué)期望。

證明：見文獻(xiàn)[8]引理2。

引理3 設(shè)Y,Y'分別為r.v,y,y'為實(shí)數(shù),L＞0,則對 0＜γ＜2有

證明：見文獻(xiàn) [9]引理3.1。

引理4設(shè)r.vX和Y為NA的，都有有限的方差，則對任何可微函數(shù)g1和g2總有

證明：見文獻(xiàn)[10]引理1。

引理5 X1,X2,…Xn，…，為同分布弱平穩(wěn)的NA隨機(jī)變量序列,滿足條件(7)式,m(x)∈CS,M,m(x)由(10)式給出,則當(dāng)hn=n-1/(2s+4)時(s＞1,為自然數(shù)),有

⑴式的證明：因?yàn)?/p>

將m(x+hny)在x處展成s+1項(xiàng)Taylor級數(shù)，再由m(x)∈CS,M可得

⑵式的證明：由(10)有

由K(x)的有界性得到

由K(x)的定義及引理4可得

再由(7)式成立和的弱平穩(wěn)性得到

于是有

⑶式的證明：由C-R不等式和Jensen不等式以及（20）、（25）式得

引理6設(shè)X1,X2…Xn,…,為同分布弱平穩(wěn)的NA隨機(jī)變量序列,m(x)∈CS,M,βc＞1,Gn(x)由(12)式給出,hn=n-1/(2s+4),則有

證明：由C-R不等式及Jensen不等式

由引理5得

所以

引理 7 如果 S(x)＜∞ 則有 R(θ^BE(x),H(α))≤∞.

引理的結(jié)論很容易證明,證明(略)。

定理1設(shè)X1,X2,…Xn…，為同分布弱平穩(wěn)的NA隨機(jī)變量序列,s＞1為任意給定自然數(shù),0＜γ＜1為任意實(shí)數(shù)，假設(shè)(7)式成立,并滿足下例條件

⑴m(x)∈CS,M；⑵βc＞1；⑶E(eαβ-1)＜∞

⑷Ex(S(x))η＜∞,η＞2

證明：根據(jù)引理1及引理2可得

于是有

當(dāng)x∈Ω時有

由H?lder不等式和Markov不等式有

從而有

顯然對于任意接近1的γ,只要定理中的條件成立,α的EB估計(jì)的收斂速度可任意接近于1[11]。

3 例子

下面的例子說明存在滿足定理?xiàng)l件的先驗(yàn)分布。

如果參數(shù)α給定時,r.vX的條件概率密度由(2)式給出,設(shè)α 的先驗(yàn)分布為 α～U[a,b],b＞a＞0,這時有

因此對于任意的大于1的正整數(shù)s,m(x)∈CS,M。又因?yàn)?/p>

則不難驗(yàn)證定理中的條件全都成立。

[1]韋來生.刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯檢驗(yàn)問題:NA樣本情形[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2002,(3).

[2]許勇,師義民.NA樣本情形下單邊截?cái)嘈头植甲逦恢脜?shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2001，14（4）.

[3]康會光,趙小山.Linex損失函數(shù)下單邊截?cái)嘈头植甲鍏?shù)的EB估計(jì)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2001，14（3）.

[4]王立春,韋來生.刻度指數(shù)族參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)Bayes估計(jì)的收斂速度[J].數(shù)學(xué)年刊,2002,(5).

[5]陳家清,劉次華.線性指數(shù)分布參數(shù)的經(jīng)驗(yàn)貝葉斯估計(jì)[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào),2006,(10).

[6]孔令軍,宋立新.對稱熵?fù)p失下指數(shù)分布參數(shù)的估計(jì)[J].吉林大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào),1998,(2).

[7]劉菡,劉次華.定數(shù)截尾數(shù)據(jù)缺失場合下雙參數(shù)指數(shù)分布參數(shù)貝葉斯估計(jì)[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(理科版),2006,52(3).

[8]劉榮玄,張波.指數(shù)族刻度參數(shù)EB估計(jì)的漸近最優(yōu)性[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2010,29(5).

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[10]Wei,L.S.Convergence Rates of Empirical Bayes Estimation for a Rameterofone-sided Truncated Distribution[J].Annals of Math,1985,6A(2).

[11]陳希孺.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,1999.

[12]Berger J O.統(tǒng)計(jì)決策論及Bayesr分析[M].賈乃光,吳喜之譯.北京:中國統(tǒng)計(jì)出版社,1998.