基于改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性系統(tǒng)觀測器設(shè)計(jì)

徐志超，周玉國，于鳳滿

(青島理工大學(xué) 自動化工程學(xué)院，山東 青島266033)

近年來，鑒于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的特性和發(fā)展?jié)摿?，神?jīng)網(wǎng)絡(luò)成為研究的熱點(diǎn)之一。伴隨著控制對象復(fù)雜性的提高，系統(tǒng)存在的不確定因素和難以確切描述的非線性特性也隨之增多，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究和發(fā)展顯得尤為重要。與傳統(tǒng)控制系統(tǒng)狀態(tài)觀測器相比，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)觀測器具有更強(qiáng)的逼近非線性函數(shù)的能力和容錯性，尤其適用于多輸入多輸出系統(tǒng)。

與線性定常系統(tǒng)中的設(shè)計(jì)[2]相比，本文是在非線性系統(tǒng)中利用前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)逼近能力，設(shè)計(jì)出了一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器，并對觀測器的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。本文采用了LM優(yōu)化算法來改進(jìn)BP網(wǎng)絡(luò)，由于其算法可以比標(biāo)準(zhǔn)梯度下降法網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練速度提高幾十甚至上百倍[3]，從而大大提高了工作效率。仿真結(jié)果說明了設(shè)計(jì)的合理性和有效性。

1 觀測器設(shè)計(jì)原理

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器的原理與傳統(tǒng)狀態(tài)觀測器相似，都是利用重構(gòu)的思想。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的主要作用是來逼近系統(tǒng)中的非線性函數(shù)。首先將輸入量u、狀態(tài)變量x作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，使其逼近非線性函數(shù)h(x,u)；然后將訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)用于構(gòu)成觀測器，并通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器的輸出y^與原來系統(tǒng)的輸出y的差值來確定調(diào)整BP網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，使其獲得想要的狀態(tài)估計(jì)變量x^。系統(tǒng)只有y可以直接測量。

設(shè)計(jì)一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器關(guān)鍵是找一個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)去識別非線性，并且利用傳統(tǒng)的觀測器思想去重構(gòu)狀態(tài)。因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器模型如圖1所示。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)非線性系統(tǒng)觀測器的建立

給定如下的非線性系統(tǒng)：

其中，x(t)∈Rn狀態(tài)變量，u(t)∈Rq表示輸入變量，y(t)∈Rm表示輸出變量，h(x,u)表示r維未知非線性函數(shù)向量，A∈Rn×n、C∈Rm×n為已知定常矩陣，(A,C)是可觀測的。

因此，系統(tǒng)(1)的狀態(tài)觀測器描述為：

給出BP網(wǎng)絡(luò)輸入與輸出的關(guān)系y=WTf(VTx)，依據(jù)前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)具有任意精度逼近的性能，在給定逼近誤差ε(x)>0情況下，一定有三層BP網(wǎng)絡(luò)在ε(x)允許的范圍內(nèi)逼近非線性函數(shù)h(x,u)。用η(x)作為一個光滑函數(shù)從 Rn→Rm。表示如下：

式中，f(·)是 Sigmoid型函數(shù)作為激勵函數(shù)，V表示第一層輸入層到第二層隱含層的權(quán)值矩陣，即VT=[v21]，且第一列包含著閾值向量μ=[μ1，μ2， …，μr]；W 表示第二層隱含層到第三層輸出層的權(quán)值矩陣，即 WT=[w32]；ε(x)是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近誤差，滿足||ε(x)||≤εN。 εN是邊界函數(shù)，由隱含層神經(jīng)元數(shù)r決定。假定權(quán)值W和V有界限，則有||W||F≤WM和||V||F≤VM。

依據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近性能，在系統(tǒng)(1)中用η(x)來代替光滑非線性函數(shù)h(x,u)，得：

其中 z=[x u]。

因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)估計(jì)如下：

所以描述觀測器的式(2)被替換為：

其中，eW=W-為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值估計(jì)誤差，H=A-LC為漸近穩(wěn)定的Hurwitz矩陣，是一個有界的干擾，滿足||ξ(t)||≤，是正常數(shù)。

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器穩(wěn)定性分析

為了訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在一定條件下定義一個恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)規(guī)則，就是要保證觀測器的穩(wěn)定性。本文神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器穩(wěn)定性的主要思想是采用權(quán)值校正機(jī)制，通過選擇Lyapunov函數(shù)，使其變成負(fù)定來達(dá)到穩(wěn)定。此外，網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值校正是基于BP算法增加一些修正量來保證觀測器的穩(wěn)定的一種辦法。

定理基于系統(tǒng)模型(1)和觀測器模型(6)，對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)線性化的權(quán)值進(jìn)行校正：

根據(jù)定理得到修正好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，表示如下：

其中，

η1η2>0是學(xué)習(xí)率，ρ是一個很小的正數(shù)。矩陣 S和 T是控制收斂速度的任意常數(shù)矩陣，根據(jù)式(10)、式(11)的權(quán)值誤差為eW=W-和eV=V-。

所以可以表示為：

選擇正定的Lyapunov函數(shù)[5]如下：

其中P=PT>0滿足：

P是Q為正定矩陣時的正定解。

將式(14)求導(dǎo)如下并將式(12)、(13)、(15)代入得：

其次，為了說明式(16)是一個負(fù)半定的函數(shù)，依據(jù)tr(ABT)=BTA和下面的不等式[5]得：

其中 ，WM=sup(W)，VM=sup(V)，fM=sup(f)。 然后再通過使用fm(1-fm)≤fm，||||=||W-eW||≤WM+||eW||和式(19)，得下面不等式為：

定義 K1、K2和 K3為：

然后，在式(16)右側(cè)分別加上 K12||eW||2||e||，K22||e||，分別減去||eV||2||e||、K23||e||，得到：

其中，λmin(Q)表示 Q的最小特征值。 假定ρ≥K12且ρ≥1，則式(22)變?yōu)椋?/p>

為了保證τ˙是負(fù)半定的即τ˙≤0，能獲得下面的||e||：

因此，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的Lyapunov定理，能說明可觀測的誤差e是一致最終有界。此外，為了表示權(quán)值誤差eW的界限，等式(10)可表示為：

其次，由于量ρS||e||是正的，因此有限輸入式(25)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，eW有界得到保證。

同理，當(dāng)將式(11)變成下面的形式：

式(26)代表了一個穩(wěn)定有界輸入的線性系統(tǒng)，根據(jù)所有它有界的包括f(·)和量ρT||e||是正的，因此eV有界。

綜上所述，通過上面的分析得到了穩(wěn)定的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器。

4 系統(tǒng)仿真

本文以一個單機(jī)械手的軌跡跟蹤為例，狀態(tài)方程如下：

其中 u(t)=sin(t)，t=[0，10]。

本文給出了觀測器設(shè)計(jì)的過程，具體步驟為：

(1)給出的矩陣對(A，C)是可觀測的，再通過(A-LC)漸進(jìn)穩(wěn)定求出常增益矩陣L。

(2)通過觀測器的穩(wěn)定性分析，得到相關(guān)參數(shù)，并在訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)時利用函數(shù)trainlm來提高訓(xùn)練速度。

所以，該系統(tǒng)仿真參數(shù)有 L=[400 800]，x=[0 0.5]T，=[0.1 0]T，ρ=0.001，S=diag[5×104]，T=diag[5×103]。從仿真結(jié)果可以看出，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器對系統(tǒng)狀態(tài)變量有良好的逼近能力，如圖2所示。

本文在非線性系統(tǒng)下建立了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)觀測器，其具有很好的逼近非線性函數(shù)的能力。仿真結(jié)果說明了其有效性。

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