灰色系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型在地下水水位預(yù)測中的應(yīng)用

馮 羽，馬鳳山，魏愛華，趙海軍，郭 捷

（中國科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所 工程地質(zhì)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100029）

0 引言

地下水水位動態(tài)變化是一個復(fù)雜的非線性系統(tǒng)。地下水動態(tài)受多種因素的影響，包括氣象、水文、地質(zhì)、人為活動等。準(zhǔn)確地預(yù)測地下水位變化在水資源開發(fā)利用和生態(tài)環(huán)境建設(shè)中都有著重要的意義。

目前，國內(nèi)外地下水動態(tài)預(yù)測研究的各種模型，歸納起來可以分為確定性模型和隨機(jī)性模型兩大類［1］。確定性模型是由地下水運(yùn)動微分方程和定解條件組合在一起構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型。常見的確定性模型方法有：解析法、物理模擬法和有限差分法、有限單元法、邊界元法、有限分析法等數(shù)值模擬法三大類［1］。隨機(jī)性模型是根據(jù)地下水水位變化影響因素的多樣性與不確定性，利用概率統(tǒng)計分析方法找出這些不確定性因素的規(guī)律，從而建立相應(yīng)的隨機(jī)模型［2］。目前出現(xiàn)的隨機(jī)模型主要有回歸分析、頻譜分析、灰色系統(tǒng)、時間序列、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)微分方程模型等。確定性模型方法需要的數(shù)據(jù)量通常是比較多的，而且求解過程也較復(fù)雜。因此，隨機(jī)性模型方法以其強(qiáng)大的處理非線性系統(tǒng)的能力而在對地下水水位預(yù)測中得到了廣泛的應(yīng)用［3－9］。

1 灰色系統(tǒng)GM（1，1）模型

灰色系統(tǒng)理論（簡稱灰理論GreyTheory）最早由我國學(xué)者鄧聚龍教授于20世紀(jì)70年代末提出［10］，主要針對既無經(jīng)驗(yàn)、數(shù)據(jù)又少的不確定性問題?；疑到y(tǒng)理論與方法的核心是灰色模型，灰色模型是以灰色生成函數(shù)概念為基礎(chǔ)，以微分?jǐn)M合為核心的模型建造方法?；疑到y(tǒng)建模的過程是通過一定的方法，將在一定范圍內(nèi)、一定時段上變化的原始數(shù)據(jù)序列進(jìn)行處理，生成比較有規(guī)律的時間序列數(shù)據(jù)，從而建立抽象系統(tǒng)的發(fā)展變化動態(tài)模型，即GreyDynamicModel，簡記為GM（h，n），h表示微分方程的階數(shù)，n表示變量的個數(shù)。其中，最常用的模型為 GM（1，1）預(yù)測模型，稱為單序列一階線性動態(tài)模型。

灰色GM（1，1）模型是利用離散的時間數(shù)據(jù)序列，通過累加生成運(yùn)算建立近似連續(xù)的灰色微分方程，求解生成函數(shù)進(jìn)行預(yù)測［11］。

則可建立灰色預(yù)測GM（1，1）模型：

d（k）+az（1）（k）=b，將d（k）帶入方程，簡化后得：

其中：a——發(fā)展系統(tǒng)；

b——灰作用量；

z（1）（k）——白化背景值。

此時，將 k=2，3，…，n 代入（1）式，可得：

用最小二乘法解此線性方程組得：

其中，u=（a，b）T，Y= ［x0（2），…x0（n）］T

可采用后驗(yàn)方差對模型的可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)。原始數(shù)序列x（0）（k）與預(yù)測數(shù)據(jù)（k）序列，先計算離差S1，S2，再計算后驗(yàn)比 c=S1/S2。

可以通過Matlab7.0編程建立 GM（1，1）預(yù)測模型。由于灰色系統(tǒng)預(yù)測模型良好的非線性性質(zhì)，因此在許多工程領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用［12－15］。

灰色GM（1，1）預(yù)測模型是把地下水水位觀測數(shù)據(jù)序列當(dāng)作隨時間變化的灰色過程，運(yùn)用時間序列來確定微分方程的參數(shù)，從而建立相應(yīng)微分方程的模型，并做出預(yù)測?；疑獹M（1，1）預(yù)測模型的建立由于只涉及地下水水位觀測序列本身，避免了對眾多影響因素數(shù)據(jù)的收集整理，操作比較方便，具有一定的實(shí)用價值［6］。

2 人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（ANN）是指用大量的神經(jīng)元構(gòu)成的非線性系統(tǒng)，在一定程度和層次上模仿人腦神經(jīng)系統(tǒng)的信息處理、存儲及檢索功能，具有學(xué)習(xí)、記憶和計算等智能處理功能［16］。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)目前也在許多地質(zhì)工程領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用［17－20］。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，即誤差后向傳播神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型中使用最廣泛的一類。它分為輸入層、隱含層和輸出層。層與層之間多采用全互連方式，同一層單元之間不存在相互連接（圖1）。

圖1 BP網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 BPneuralnetworkschematicdiagram

學(xué)習(xí)過程中由信號的正向傳播與誤差的逆向傳播兩個過程組成。正向傳播時，模式作用于輸入層，經(jīng)隱層處理后，傳入誤差的逆向傳播階段。將輸出誤差按某種子形式，通過隱含層向輸入層逐層返回，并“分?jǐn)偂苯o各層的所有單元，從而獲得各層單元的參考誤差或稱誤差信號，以作為修改各單元權(quán)值的依據(jù)。權(quán)值不斷修改的過程，也就是網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程，此過程一直進(jìn)行到網(wǎng)絡(luò)輸出的誤差逐漸減少到可接受的程度或達(dá)到設(shè)定的學(xué)習(xí)次數(shù)為止。BP算法學(xué)習(xí)步驟可簡要概化為以下五步：①隨機(jī)抽取初始權(quán)值、閾值；②輸入學(xué)習(xí)樣本、學(xué)習(xí)速率、沖量因子、誤差水平ε；③依次計算各層輸出；④修正網(wǎng)絡(luò)權(quán)值、閾值；⑤若誤差E＜ε停止，否則轉(zhuǎn)入③重新迭代計算。

Matlab的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱具有很完善的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分析功能，無需在編程上花大量時間就可以編制出簡單易懂的程序，易于解決實(shí)際中的應(yīng)用難題。

單獨(dú)使用BP網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行地下水水位預(yù)測前，必須對影響地下水水位的各種因素作一一分析說明，例如對地下水的補(bǔ)給來源、排泄方式都要十分清楚。選取主要的影響因素并對其數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，即可作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入分量，地下水水位作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出量，然后開始網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練。但是由于網(wǎng)絡(luò)輸入存在多重共線性，因此導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)泛化能力不高，降低了網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測性能；考慮可將灰色系統(tǒng)預(yù)測模型與人工BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合起來，將灰色系統(tǒng)預(yù)測模型的預(yù)測值作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，實(shí)際測量的地下水水位作為網(wǎng)絡(luò)輸出來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，這樣就避免了對影響因素分析的人為不準(zhǔn)確性。

3 基于灰色系統(tǒng)與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的組合預(yù)測模型及算例應(yīng)用

灰色GM（1，1）模型同其他預(yù)測方法一樣也存在局限性。一是數(shù)據(jù)離散程序越大，即數(shù)據(jù)灰度越大，則預(yù)測精度越差［21］；二是模型的擬合序列為非齊次指數(shù)序列，需要原始數(shù)據(jù)具有明顯的指數(shù)規(guī)律預(yù)測結(jié)果才夠準(zhǔn)確，因此不太適合后推年限較長的預(yù)測［22］。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出對于系統(tǒng)而言，按照灰色系統(tǒng)理論中灰數(shù)的定義，實(shí)際上就是灰數(shù)。由此可知，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)本身就包含有灰色內(nèi)容。而且兩者在信息的表現(xiàn)上存在一定的相似性，是可以進(jìn)行融合的。因此可以用灰色系統(tǒng)理論來對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行考察，同時也可以用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)來研究灰色系統(tǒng)［23］。本文利用灰色系統(tǒng)的預(yù)測值作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層，實(shí)際觀測值作為輸出層來訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，并采用訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來對灰色系統(tǒng)預(yù)測值進(jìn)行修正預(yù)測。

現(xiàn)收集到某地區(qū)1996～2006年連續(xù)11年的地下水水位埋深數(shù)據(jù)，如表1所示。

考慮到應(yīng)用灰色系統(tǒng)預(yù)測較長時間后結(jié)果誤差較大，因此采取新陳代謝的預(yù)測模式。以連續(xù)n年的水位數(shù)據(jù)建立灰色預(yù)測模型，預(yù)測第（n+1）a的地下水水位。本例中用每連續(xù)6a的水位數(shù)據(jù)建立灰色模型預(yù)測第7a的水位，即用1996～2001年地下水水位建立灰色模型預(yù)測2002年涌水量。更新建模所用的數(shù)據(jù)，以1994～2002年水位數(shù)據(jù)預(yù)測2003年的地下水水位。以此類推，得出2002～2006年的灰色模型地下水水位預(yù)測值，預(yù)測結(jié)果見表2。

表1 某地區(qū)1996～2006年地下水水位埋深Table1 Groundwaterleveldatafrom1996to2006

表2 灰色 GM（1，1）模型預(yù)測值Table2 ResultofGM（1，1）modelprediction

用2002～2005年的預(yù)測值作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，實(shí)際涌水量作為輸出訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入層神經(jīng)元個數(shù)4個，輸出層神經(jīng)元個數(shù)也為4個，中間隱含層取1層。隱含層的節(jié)點(diǎn)數(shù)可參考經(jīng)驗(yàn)公式：

來確定。

式中：m——輸出神經(jīng)元數(shù)；

n——輸入神經(jīng)元數(shù)；

a——［1，10］之間的常數(shù)。

經(jīng)過網(wǎng)絡(luò)調(diào)試確定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隱含層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)為S型的logsig函數(shù)，輸出層神經(jīng)元的傳遞函數(shù)為線型的 purelin函數(shù)，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練函數(shù)為 traingdx，隱含層神經(jīng)元個數(shù)13個，網(wǎng)絡(luò)目標(biāo)誤差0.001。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)收斂的速度較快，僅113步就達(dá)到誤差許可范圍，如圖2所示。完成網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練后，以灰色系統(tǒng)預(yù)測的2006年的地下水水位作為網(wǎng)絡(luò)輸入，經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的修正，得到2006年的地下水水位埋深為 －81.3234m，與2006年實(shí)測的地下水位埋深十分的接近，相對誤差僅－2.58％，相比較灰色系統(tǒng)預(yù)測模型－11.82％的相對誤差，大幅度提高了預(yù)測結(jié)果的精度。

用2002～2006年的預(yù)測值任選4a作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入，預(yù)測另一年的地下水水位，修正后的預(yù)測結(jié)果見圖3。經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正后的灰色系統(tǒng)的預(yù)測值與原預(yù)測值的誤差對比，見表3。

圖2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練結(jié)果Fig.2 TrainingresultofNeuralnetwork

圖3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正后2002～2006年地下水位預(yù)測值Fig.3 Groundwaterleveldata ModifiedbyNeuralnetwork

表3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正前后相對誤差對比Table3 Relativeerrorcomparation

4 結(jié)論

影響地下水水位動態(tài)變化的因素有很多，從而造成了地下水動態(tài)系統(tǒng)的復(fù)雜性。文中所用的GM（1，1）模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法，充分利用了這兩種方法各自的優(yōu)點(diǎn)，避開了缺點(diǎn)，對預(yù)測結(jié)果的精度有了很大的提高。以收集到的某地區(qū)1996～2006年間的地下水水位埋深為算例，計算結(jié)果表明，經(jīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)修正后的預(yù)測值比原GM（1，1）模型預(yù)測值的預(yù)測精度有了很大提高，且神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練收斂速度較快。該修正方法的不足之處在于需要的原始數(shù)據(jù)量較多，既要用于灰色系統(tǒng)預(yù)測又要用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，因此對于已有數(shù)據(jù)量較少的情況不建議采用。需要指出的是地下水水位受各種復(fù)雜因素以及許多不確定因素的影響，在實(shí)際中應(yīng)根據(jù)具體情況，運(yùn)用多種方法進(jìn)行綜合分析、驗(yàn)證，力求得到一個更加可靠、客觀的預(yù)測結(jié)果。

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