基于電磁拓撲理論的場線耦合分析與仿真

柳海明，王國棟

(北京交通大學(xué) 電 子信息工程學(xué)院，北京 1 00044)

我國電氣化鐵道發(fā)展迅速，動車組、磁懸浮列車等把軌道運輸能力提升到極限速度，列車電磁兼容性安全越來越引人矚目?；诙鄬?dǎo)體傳輸線理論的BLT方程[1]，旨在解決由電纜組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中干擾電壓源和電流源在終端負載引起的響應(yīng)。擴展的BLT方程[2]，則在經(jīng)典BLT方程的基礎(chǔ)上加入了輻射電磁場對線路的耦合，從而引起終端負載產(chǎn)生干擾響應(yīng)。本文通過一個場線耦合的實例進行建模，運用傳輸線理論，依據(jù)原始BLT方程的推導(dǎo)方法，重新推導(dǎo)了該模型下BLT方程的表達形式。運用擴展的BLT方程求解電磁脈沖在負載端的干擾情況，并與運用數(shù)值仿真軟件得到的結(jié)果進行對比，證明了擴展的BLT方程的實用性。

圖1 場線耦合模型

1 場線耦合模型

參考前人在這方面的研究模型[3]，考察如圖1所示的平行雙線，端接終端阻抗為R1,R2的負載在強電磁脈沖作用下的瞬態(tài)響應(yīng)。平行雙線傳輸線的導(dǎo)線半徑r，長度L，線間距為d，且平行于無限大的導(dǎo)電平面。傳輸線中線距離地面高度為h，源距離傳輸線的距離為r1。

為簡化模型，便于理論分析，首先做如下的假設(shè)：（1）任何源、傳輸線、地平面以及場觀測點之間的距離相對于波長來說必須足夠大，以滿足運用輻射和散射場的遠場公式；（2）傳輸線的長度L與波長具有可比性，因此傳輸線必須考慮長線情況；（3）傳輸線位于無限大導(dǎo)電平面附近以消除傳輸線的天線模式響應(yīng)，即共模電流的影響，只分析傳輸線模式電流。

基于電磁拓撲的理論，用節(jié)點來表示負載、場觀測點及感興趣（或待考察）的位置（如場與路的耦合節(jié)點），用管道來表示傳輸線或假想的電磁場傳輸通道，可以將場與路的關(guān)系用等效的電路結(jié)構(gòu)來表示，如圖2。

圖2 拓撲結(jié)構(gòu)流圖

2 場線藕合模型BLT方程的建立

首先考慮圖2在自由空間的情況，即不存在無限大導(dǎo)電平面時，對于節(jié)點1和2，可以得到方程

考慮到激勵源在傳輸線處為入射平面波的情況，根據(jù)文獻[3]可得

如果傳輸線附近存在無限大導(dǎo)電地平面，考慮到地面反射的影響，將其疊加到方程中，聯(lián)系地面反射場和入射場的關(guān)系，有：

如果激勵源為極小電流元的情況，忽略極化效應(yīng)并保證滿足遠場條件的情況下，

其中，

第1項表示直接入射到傳輸線的影響，第2項代表了經(jīng)由地面反射后到達傳輸線的波，方向為-k方向。在（5）式中，因為在N3處不存在散射體，因而無反射，即0 。為表達式完整起見，先保留此項。

源可以用偶極子天線產(chǎn)生，其極小電流元可表示為：

同樣的方法來考慮管道2的情況，可得到類似的方程。其中需要加入鏡像傳輸線對管道2的影響，有：

其中，ρ1到ρ4為各個節(jié)點的電壓反射系數(shù)。ρ1、ρ2可以用負載阻抗與特征阻抗的關(guān)系式求得，而這里的ρ3=0，因為在該點處無反射，ρ4可以根據(jù)文獻[4]知：

a3、a4分別為節(jié)點3和節(jié)點4的歸一化系數(shù)，主要作用是將該點處的場強轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的電壓便于進行比較，

數(shù)值與該節(jié)點的幾何尺寸和形狀有關(guān)。

綜合以上各式，整理可得：

圖3 激勵源作用下的負載響應(yīng)的時域波形

3 數(shù)值仿真計算及分析

考慮在如下幾何尺寸：傳輸線長度L=1m，線間隔距離d=1cm，線半徑a=1mm，特征阻抗取Zc=120 ln(d/a)=276.3Ω，負載阻抗取ZL=Zc/2=138.15Ω，傳輸線與地平面的高度為h=3 m，源與線的間距r1=10m，源與場觀測點的距離r2=10m。分別考慮在雙指數(shù)脈沖干擾和高斯脈沖干擾信號作為源的情況下，電纜兩端負載受干擾的強度。下面分別用雙指數(shù)脈沖干擾和高斯脈沖干擾信號為源，來計算平行雙線上負載端的電磁響應(yīng)。

3.1 雙指數(shù)脈沖干擾信號

高空核電磁脈沖是一種常見的空間電磁干擾類型，其瞬間發(fā)射的電磁波具有雙指數(shù)脈沖函數(shù)的形式，具有場強大、頻譜寬、作用范圍廣的特點，對電力電子系統(tǒng)有很大的危險。這里極小電流源選取為雙指數(shù)函數(shù)脈沖形式，

當(dāng)在單位激勵(I(f)dl=1)作用下，帶入BLT方程可得節(jié)點1、2出的負載響應(yīng)電壓，即可求出電壓傳輸函數(shù)頻譜。在雙指數(shù)脈沖函數(shù)激勵下的負載響應(yīng)，可用雙指數(shù)脈沖函數(shù)頻譜乘以傳輸函數(shù)即可得到其頻域形式，要得到時域的干擾波形，只需再進行FFT逆變換即可。負載處時域響應(yīng)波形如圖3。

從圖3中可以看出激勵脈沖在負載2處產(chǎn)生的響應(yīng)主要有2次，第1次在第33.6 ns時刻，第2次在53.6 ns處。2次脈沖響應(yīng)時間上相差20 ns。這是與理論分析結(jié)果一致的。入射電磁波分別在直射和經(jīng)地面反射2次作用于傳輸線上，2次路程差為6 m，波速取3×108m/s，可以得出2次脈沖響應(yīng)的時間間隔為s/v=20 ns。從圖3中還可觀察到負載在此電流元的激勵下的瞬態(tài)干擾電壓最大在7 mV左右。每次響應(yīng)都先是一次較強的反向脈沖，然后是正向的數(shù)次衰減脈沖。這主要有2方面的原因：（1）因為雙指數(shù)函數(shù)脈沖在t=0時刻導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，而在公式推導(dǎo)中與引入的jω項相乘，相當(dāng)于在頻域?qū)Σㄐ芜M行二次求導(dǎo)，從而在響應(yīng)波形開始處引入了沖擊函數(shù)，相比之下，采用高斯脈沖則不會有這種現(xiàn)象產(chǎn)生。（2）由于傳輸線與負載端不匹配，干擾信號在負載處發(fā)生多重反射，才會有清晰的衰減脈沖顯示。

3.2 高斯脈沖干擾信號

高斯脈沖信號具有上升沿平滑，高頻分量小，頻譜范圍窄的特點。運用高斯脈沖作為源可以清楚地看清信號較低頻率范圍內(nèi)對平行雙線的干擾情況。高斯脈沖干擾源的數(shù)學(xué)表達式為：

i(t)dl=ae-(t-b)2/c2φ(t)

這里取值a=1000，b=25，c=10。

根據(jù)信號與系統(tǒng)原理，只有信號發(fā)生變化，而系統(tǒng)不變，即系統(tǒng)的傳輸函數(shù)不變，則求解系統(tǒng)響應(yīng)時只需替換干擾源的頻譜函數(shù)。在頻域與系統(tǒng)的傳輸函數(shù)相乘，得到即為系統(tǒng)響應(yīng)的頻域波形，做傅里葉反變換即可得時域波形，如圖4。

圖4 高斯脈沖干擾下的系統(tǒng)時頻響應(yīng)

從圖3和圖4中可以對比的看出干擾信號的能量都主要集中在10 MHz到100 MHz之間。對于雙指數(shù)脈沖而言，因其時域波形上升沿較陡，信號含高頻成分豐富，因而在系統(tǒng)響應(yīng)中可清楚地看到，在高于100 MHz以上部分直到1GHz都有明顯地干擾；而高斯脈沖上升沿相對平滑，其高頻部分能量幾乎為零，因而對系統(tǒng)的影響在高于100 MHz頻率范圍也極小。

從時域的角度來看，雙指數(shù)脈沖信號產(chǎn)生的干擾信號影響時間短，而高斯脈沖引起的干擾較長，這是由于雙指數(shù)脈沖引起的干擾頻率范圍廣，從而時域信號窄，高斯脈沖的干擾頻譜范圍較窄，因而系統(tǒng)響應(yīng)干擾信號在時域展寬，影響時間變長。這里為什么看不到明顯的2次干擾波形，也主要是因為每次脈沖波形時間較長，前后2次脈沖混合疊加在一起作用的結(jié)果。

4 結(jié)束語

通過擴展的BLT方程來計算強電磁脈沖對平行雙線傳輸線的耦合情況，核心思想是用傳輸線理論來進行近似計算，采用矩陣方程的方式便于運用計算機進行高速運算，分別計算了2種不同騷擾源作用情況下，平行雙線傳輸線終端負載處的響應(yīng)波形。在本文模型和條件下，干擾信號頻譜主要集中在10 MHz到100 MHz之間，響應(yīng)幅度在0.01 V到0.02 V作用，主要會發(fā)生2次響應(yīng)，響應(yīng)間隔的時間為20 ns。從本文的計算與仿真驗證的結(jié)果看，在一定的頻率范圍和適當(dāng)?shù)募僭O(shè)前提下，采用擴展BLT方程計算結(jié)果是比較理想的。

實際應(yīng)用到列車信號線上受干擾情況，要測量或查閱到瞬態(tài)電磁場的特性，引入實際電纜的相關(guān)參數(shù)，必要時進行適當(dāng)?shù)暮喕痛?，最后通過運算可以預(yù)測作用在信號線上干擾電壓的量級和頻率范圍等。這種方法相對于其它方法更加簡潔高效，矩陣運算可以采用現(xiàn)代計算機進行高速運算，而且算法具有可移植性。當(dāng)然，電磁拓撲法的廣泛應(yīng)用還需要大量實踐和經(jīng)驗來完善和擴充。

[1]Liu TK, Tesche F M. On the analysis of general multiconductor transmission line networks[J]. Interaction Note, 1978, 350:1-26.

[2]Baum C E. On the addition of EM field propagation and coupling effects in the BLT equation [J]. Interaction Note, 2003,588:1-43．

[3]安 霆，劉尚合. 基于BLT方程的電磁干擾建模[J]. 高壓電技術(shù)，33（12）：55-58.

[4]Ianoz M.V，Karisson T. EMC analysis methods and computational models[M]. New York, John Wikey and sons, 1997.