一維非飽和土熱一濕耦合的數(shù)值解

吳禮舟，黃潤秋

(成都理工大學(xué)地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610059)

地表淺層土體是工程活動的主要對象，由于受到諸多因素的影響，土體中的溫度場、水分場等均是變化的，而且相互影響。土體中的溫度變化會引起水分遷移使含水量變化，含水量的變化又會引起土的導(dǎo)熱系數(shù)等發(fā)生變化，從而影響傳熱過程及溫度分布。因此，研究淺層土體水(水分場)、熱(溫度場)問題時(shí)，必須考慮其相互影響[1-2]。

非飽和土耦合現(xiàn)象具有較廣的工程背景，因而引起眾學(xué)者的興趣[2-5]。巖土深處核廢料處置過程中的放熱現(xiàn)象亦是近年來人們關(guān)注的問題之一。路基中的溫度場、水分場是動態(tài)變化的。路基中熱量的差異和改變引起水分的遷移與轉(zhuǎn)化，同時(shí)，路基中的水通過改變土的熱特性來影響土壤的溫度[3]。白冰指出在給出非飽和介質(zhì)熱能-水分傳輸?shù)鸟詈腺|(zhì)量控制方程和基于Fourier熱傳導(dǎo)定律的熱能平衡方程的基礎(chǔ)上，對熱能傳輸及水分遷移的基本特征和機(jī)理進(jìn)行了分析[4]。Wu L Z利用傅立葉積分變換開展了非飽和土變形-滲流耦合的解析研究[5]。張玉軍從水-氣-熱三場耦合的角度上分析了孔隙介質(zhì)中各組分的滲流與變形問題[6]。

基于非飽和土水-熱耦合的理論模型，運(yùn)用美國的商業(yè)軟件FlexPDE軟件分析一維非飽和土熱-濕耦合解，計(jì)算非飽和土的溫度場和水分場。試圖分析非飽和土熱-濕耦合作用下非飽和土水分遷移及溫度分布的特點(diǎn)與規(guī)律。

1 理論模型

為了較好的分析非飽和土熱-濕耦合效應(yīng)，作出以下假設(shè):非飽和土是均勻，介質(zhì)不發(fā)生變形。該理論模型的基本假定:(1)土體均勻連續(xù)，且為各向同性體;(2)非飽和土中水分遷移均以液態(tài)形式進(jìn)行，不考慮水的固相;(3)土體為彈性體，且已完全固結(jié);(4)非飽和流體符合Darcy定律。

非飽和土介質(zhì)中的熱-濕耦合的控制方程為[7]:

式中 :θ——體積含水量 ;T ——溫度;t——時(shí)間;c——比熱 ;ρ——密度 ;ρ c——體積熱容;λ——熱傳導(dǎo)率;L——潛熱;Dθv——等溫下的氣擴(kuò)散系數(shù);DT——熱濕擴(kuò)散率;Dθ——等溫條件的擴(kuò)散系數(shù);K——非飽和水力傳導(dǎo)系數(shù)。

對于一維問題，耦合控制方程，式(1)和式(2)可寫成:

不考慮重力項(xiàng)，式(4)右邊第3項(xiàng)為0，即式(4)變?yōu)?

若不考慮溫度對含水量的影響，一維的水分控制方程為:

不考慮重力項(xiàng)，式(6)寫成:

假設(shè)含水量和滲透系數(shù)是壓力水頭ψ的函數(shù):

式中 :θs——飽和含水量;Ks——飽和狀態(tài)時(shí)的滲透系數(shù);α——去飽和系數(shù)。

其擴(kuò)散系數(shù)為:

初始條件表達(dá)為

下邊界條件為

上邊界條件為

2 算例分析

由于非飽和土熱-濕耦合的解析解求解很困難，這里采用了商業(yè)軟件FlexPDE(PDE-Partial differential equation)。FlexPDE使用有限元方法獲得數(shù)值解。它能用于分析求解各類偏微分方程(組)，通過建立耦合的數(shù)學(xué)模型，并能有效的分析耦合各場的分布狀態(tài) ，程序編寫遵照 coordinates、variables、definitions、equations、boundaries、monitors、time 等流程 。其中variables是定義方程組的變量，equations是描述耦合方程組，time是運(yùn)行求解。求解耦合問題非常方便，可靈活分析用戶建立的耦合模型。

這里對有限長度的一維非飽和土熱-濕耦合問題進(jìn)行分析 。l=50 cm ，θs=0.4，α=0.01/cm ，Ks=0.4×10-4cm/s。初始含水量θi=0.2，初始溫度 Ti=10℃;z=0 處 θ0=0.2，T0=10℃;z=l處均為Neumann 邊界條件 ，?θ/?z=0.5×10-4cm-1，?T/?z=0.01℃/cm，其他相關(guān)系數(shù)見表1[7]。

表1 非飽和土熱-濕耦合的物理參數(shù)值

圖1 非飽和土熱-濕耦合中溫度的變化

圖1顯示的是非飽和土熱-濕耦合中不同時(shí)刻下的溫度分布。圖2為非飽和土熱濕耦合過程中的含水量隨時(shí)間的變化。圖1和圖2中，地表邊界發(fā)生熱量交換，同時(shí)出現(xiàn)降雨入滲。圖1表明溫度隨時(shí)間在增大，從圖2可看出，含水量變大，地表的含水量變化更為明顯。圖1和圖2采用的耦合模型來源于式(3)和式(4)。

圖3為非飽和土熱-濕耦合與非耦合情況下含水量隨時(shí)間的分布。虛線是沒有考慮溫度對含水量影響的分布圖，而實(shí)線表示考慮非飽和土熱-濕耦合效應(yīng)。從圖3可以看出，溫度對水分遷移是有影響的。在地表，不考慮熱-濕耦合時(shí)的水分遷移比考慮耦合效應(yīng)時(shí)快，而在土體深處，沒有考慮熱-濕耦合的水分運(yùn)移比考慮耦合效應(yīng)的快。

圖2 非飽和土熱-濕耦合中含水量的變化

圖3 耦合與非耦合情況下含水量的分布

圖4 耦合中重力對含水量的影響

圖5 等溫下的氣擴(kuò)散系數(shù)對耦合作用下溫度的影響

圖4展示的是非飽和熱-濕耦合中重力對含水量分布的影響。圖中線條表示考慮了重力勢，非飽和土熱-濕耦合模型來源于式(4);圖中點(diǎn)代表沒有考慮重力勢，來源于式(5)。在入滲初期t=200 s重力對非飽和土熱-濕沒有任何影響，隨著入滲繼續(xù)，重力對含水量分布顯示有非常微弱的影響，如t=1000 s時(shí)，考慮重力勢時(shí)的含水量微微大于沒有考慮重力時(shí)的含水量。在分析非飽和土濕-熱耦合時(shí)，入滲較小時(shí)，重力對含水量分布的影響基本可忽略不計(jì)，印證了文獻(xiàn)[7]的結(jié)論。

圖6 等溫下的氣擴(kuò)散系數(shù)對耦合作用下含水量的影響

圖5和圖6分別為等溫下氣擴(kuò)散系數(shù)對耦合作用下溫度和含水量分布的影響。無論是否考慮等溫下的氣擴(kuò)散系數(shù)，溫度隨時(shí)間的分布幾乎沒有變化;同樣，氣擴(kuò)散系數(shù)對耦合作用下含水量分布也沒有任何影響。

3 結(jié)論

(1)當(dāng)非飽和土耦合問題較為復(fù)雜時(shí)，采用解析方法顯得困難時(shí)，采用FlexPDE軟件分析非飽和土熱-濕耦合問題是可行的，也是有效的。

(2)非飽和土熱-濕耦合數(shù)值分析表明溫度對水分遷移是有影響的，分析非飽和土水分遷移時(shí)應(yīng)考慮非飽和土熱-濕耦合效應(yīng)。

(3)分析非飽和土濕-熱耦合時(shí)，降雨入滲較小時(shí)，重力對含水量分布的影響甚微。等溫下的氣擴(kuò)散系數(shù)對非飽和土濕-熱耦合幾乎沒有任何影響，耦合分析時(shí)可略去其影響。

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[3] 毛雪松，王秉綱，胡長順，等.凍土路基水熱遷移問題的理論模型及數(shù)值模擬[J].中外公路，2006，26(1):23-26.

[4] 白冰，劉大鵬.非飽和介質(zhì)中熱能傳輸及水分遷移的數(shù)值積分解[J].巖土力學(xué)，2006，27(12):2085-2089.

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