基于DDMA算法和電路層次分析法進行的網絡靈敏度分析

白艷偉 張 超

（1.太原理工大學電氣工程系，太原 030024；2.華北電力大學電力工程系，河北 保定 071003）

在我們進行網絡設計時，總是需要知道所設計的網絡由于元件參數(shù)值的一定容差或環(huán)境溫度的變化所受到的影響如何。網絡由于元件參數(shù)值的一定容差或關于溫度變化等因素所受到的影響程度可用網絡的靈敏度來衡量。

對電網進行靈敏度分析的重要性是不言而喻的。在電路設計以及電路的故障診斷中，對電路進行靈敏度分析是一件重要的工作。伴隨網絡法與增量網絡法是電網靈敏度分析中常用的方法。但是，這兩種方法有各自的局限性，伴隨網絡法需要構造伴隨網絡，且需要求解兩個網絡后才能得到電路中相應的靈敏度，而增量網絡法需要計算偏導數(shù)。此外，伴隨網絡法只能一次求解多參數(shù)單輸出的網絡；增量網絡法只能一次求解多輸出單參數(shù)的網絡，不便于求解復雜網絡的靈敏度計算時使用。

因此不少文獻[1-5]均對靈敏度分析進行了探討，并提出了各種不同的分析方法。文獻[1]應用連通圖的k－樹樹支導納乘積，給出網絡函數(shù)及其靈敏度分析的符號表達式。該方法較之以數(shù)值計算為基礎的伴隨網絡法和增量網絡法，具有計算精度高、速度快，易于計算機實現(xiàn)的優(yōu)點。文獻[2]以電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)交流潮流方程為基礎，應用電網絡矩陣方程并根據PV、PQ及平衡節(jié)點的特點，導出了增量方程及靈敏度矩陣，通過一次計算可求得系統(tǒng)中所有節(jié)點電壓變量（從而所有的狀態(tài)變量）對全部線路（支路）參數(shù)或對控制變量的靈敏度。文獻[3]通過一個“基礎子陣”hadamard乘積的微分性質，推得了網絡多端口多參數(shù)二階靈敏度的矩陣表達式。文獻[4]通過基于分析開關電容（SCN）的z域改進節(jié)點電壓方程，只要該方程系數(shù)矩陣的逆（即該SCN的傳遞矩陣）存在，則可求得全部離散時間電壓對全部電路元器件參數(shù)的靈敏度。文獻[5]針對與鞍結分岔相關的電壓穩(wěn)定裕度對參數(shù)的靈敏度計算問題，提出了一種解線性方程組求靈敏度的新方法。

本文中討論的第一種方法是計算多參數(shù)的時域電路靈敏度分析的新方法，這種方法通過對直接微分改進算法的嚴格數(shù)學推導可以同時計算一個或者更多的電路變量（節(jié)點電壓、支路電流等）以及一些電路參數(shù)（電阻、電容等）。這種方法通過對多參數(shù)時域電路進行數(shù)學公式推導、電路分析從而得到電路的靈敏度方程。

電路的層次分析法則提出一種不同于以往傳統(tǒng)計算的靈敏度分析方法，它直接采用電路的層次結構來解決網絡方程的問題。層次分析法還采用矩陣方程的 LU分解，在傳統(tǒng)的計算方法中沒有精確的LU矩陣分解，該方法的計算過程與電路的等效方程計算的結果相符，它消除了電路的所有內部節(jié)點而只保留終端節(jié)點。

1 直接微分改進算法（DDMA）

任意一個電路N都可以由非線性微分代數(shù)方程描述如下：

式中，A=(v,ia)T∈Rn是由節(jié)點電壓列向量v和輔助電流列向量ia。P∈Rm是電路設計和使用時的參數(shù)，已引入靈敏度方程的推導。X=(q(v),f(ia))∈Rh是電容器充電電壓和電感電流。X上的一點表示的是變量對時間的變化，對于X和A、P的準確關系是由一系列代數(shù)方程來描述的。

由于總體上對于式（1）沒有準確的形式，因此需要對它進行一定量的數(shù)學變形，這些公式應用于電路分析中是通過對原網絡變成線性電阻電路，通常稱之為伴隨網絡[6]，就是得到將非線性元件或儲能元件線性化了的支路方程。

為了同時得到網絡函數(shù)關于參數(shù)P的靈敏度矩陣，也就是說需要計算n×m階的靈敏度矩陣的子矩陣A=[a1,a2,…,an]T對參數(shù)P=[p1,p2,…,pn]T的導數(shù)，記作

2 直接微分改進算法的應用

為了使上述方法更容易理解，下面舉例來說明，選擇一個常見的簡單電路如圖3所示，要求電路變量關于參數(shù)R和C的靈敏度。

圖1 靈敏度計算的基準電路

列寫關于RC電路的傳遞函數(shù)方程為

經過線性化和離散化后，圖1可以用下列方程來描述

式中，tn是當前時間點，h=tn+1－tn，而α和β通過向后歐拉法來得到的是α=1,β=0，用梯度法得到的是α=2,β=1。

為了得到我們需要求解的靈敏度求解方法，如上例所示我們考慮元件電容為關心的參數(shù)如圖2所示，圖中獨立電壓源由短路來代替，線性電容不變外相應地增加獨立電流源v2(t)=-(VIN/RC)e(-t/RC)。靈敏度電路可由下列連續(xù)時域方程形式表示出

容易證得ψ1(t)，ψ2(t)，φ(t)分別對應于v1(t)，v2(t)，i(t)關于參數(shù)C的靈敏度。

從式（8）可以看出，如果h在N和η中相同，那么，靈敏度矩陣和式（7）所描述的雅可比矩陣相一致。進一步說，如圖2所示也可以看出考慮電容節(jié)點靈敏度的重要性是為了正確的改進式（7）中Rhs的列矩陣。事實上，對于電容器的節(jié)點電壓ψ2以及它的伴隨電流源在前一個時間點上相關，這也相應于前面所述的v2對電容C的靈敏度。

圖2 并聯(lián)RC的電路靈敏度計算

由于我們關心的是ψ2(tn+1)的求解，所以首先需要選擇雅可比逆矩陣的第二列乘以Rhs列矩陣。為了得到J-1中需要求解的列，需要求解如圖3所示的伴隨網絡N∧。

圖3 并聯(lián)RC線性電路的伴隨網絡

伴隨網絡可以由下列方程描述

解得

3 電路層次分析法概述

層次分析法采用矩陣方程的 LU分解，在傳統(tǒng)的計算方法中沒有精確的 LU矩陣分解，該方法的計算過程與電路的等效方程計算的結果相符，它消除了電路的所有內部節(jié)點而只保留終端節(jié)點，因為終端節(jié)點對于子電路相連是必要的，如果一些子電路組成一個新的更高層次的子電路，一些終端節(jié)點就會成為新的層次的內部節(jié)點，而其余的仍然是終端節(jié)點（如圖4所示）。這些新的內部節(jié)點的減少就會產生一個新的等效電路，這些方法正好對應于高斯消去原理，當整個等效電路對應于原電路，這個消去過程也就終止。

其中，每一個粗線代表一組節(jié)點，每個長方形方塊代表子電路連接塊，每一個圓形代表電路元件，頂部圓框代表的電源和負荷。

圖4 任意層次電路

下一步該算法確定完整的電路變量的值，其中的一些相應于下一個層次的子電路的終端節(jié)點的變量。但是，子電路的局部變量是可以確定的，該方法通過對所有子電路各層次的重復分析過程來導出完整的解決方法，這些步驟可以替代高斯算法的一部分。

分層線性模擬電路已成功地用于許多微波CAD軟件包，并總結成一組公式應用在任何節(jié)點電壓，以系統(tǒng)地計算在任何層次的（內部或外部的任何子網）的電路[7]。

首先，我們用下列辦法來解決最高一級的終端電路，即

式中，花括號中的矩陣是一個N×N階的矩陣再和終端電路的外部電源電壓Vs(k)做乘積，Ys(k)和Zs(k)都是包含終端節(jié)點的導納和阻抗對角矩陣，相應地，如圖5所示，Ys(k)是端接電路導納矩陣，Vs(k)和Is(k)相應地表示電路中電壓源和電流源。列向量V(k)包含需要求解的外部電壓模塊。因此，所有這個子電路（包含內部和外部）節(jié)點電壓Vt(k)可以由下列方程得到

式中，A(k)是子電路的改進節(jié)點導納矩陣，I(k)表示流過子電路外部節(jié)點的電流。

式（13）中電壓Vt(k)提供了所有子電路下一層的外部電壓，因此利用此式進行反復迭代，直到算出所有要求的節(jié)點電壓。此公式適用于開路和短路的端子。例如，端口1短路表示在矩陣Zs(k)中Z1=0；端口nE+2開路表示導納矩陣Ys(k)中Z2=0。

圖5 終端子電路的典型電路（包含電壓電流源）

其中，整個端口序列1，2，…,nE對應電壓源，nE+1，nE+2，…，nE+l對應電流源，全部節(jié)點數(shù)為N，N=nE+nl。

4 層次靈敏度分析在交流電路中的應用

列寫一個基本子電路的節(jié)點電壓方程

式（14）關于參數(shù)q求一階偏導可得

引入新變量將式（15）化為

此處Ye表示子電路的節(jié)點導納矩陣，ΔVe列向量表示元件電壓的增量，ΔIe為元件電流列向量的增量，ΔJe元件電流擾動引起的變化量，Δq為參數(shù)q的增量。

子電路的簡化方程為

式中，ΔVt，ΔJt，ΔIt是等效電路終端變量的增量。

繼續(xù)進行下一個更高層次的分析法時的方法類似于上面的分析方法，因為式（16）和式（17）具有相同的形式[8]。

式（16）用導納矩陣Yt和列向量 ΔVt，ΔJt，ΔIt來建立導納矩陣Ye以及列向量ΔVe，ΔIe，ΔJe此外，還采用了一些子電路相關的元件。

重復上述過程直到全部電路都完成前面的消去工作，式（17）就轉化為

后邊的替換都始于終端電壓增量tVΔ的求解

這種方法代替了下面的分層分析和局部變量的方法該過程，一直重復該過程直到到達最后的層次水平，這才完成了全部的替代。

5 結論

直接微分改進算法是一種新的解決時域電路變量靈敏度分析的有效算法。DDMA算法與直接法和伴隨技術比起來更強調CPU運行時的時間成本。而在層次靈敏度分析法中用到的數(shù)字運算的總數(shù)幾乎等于原來的分析方法，因為在這兩種方法中使用所有方程具有相同的導納矩陣，而這兩種方法的結合大大的減少了方程的運算，對于不是僅有一個參數(shù)q的靈敏度分析就更加有意義，對于每一個參數(shù)都將找到一個方程與其相對應。關鍵一點是，對于減少方程系數(shù)矩陣的數(shù)學運算可以通過 LU分解以及使用和原矩陣相同的儲存位置來實現(xiàn)。這種新算法的準確性也是可以估算的，通過估算離散方程解的靈敏度來確定。此種方法的效率準確性IEEESpice3F5系統(tǒng)中也得到了很好的驗證[9]。

[1] 羅日成，李衛(wèi)國.基于圖論的網絡函數(shù)靈敏度符號分析法[J].長沙電力學院學報(自然科學版),2004,19(3).

[2] 李彬華.基于伴隨網絡的電力系統(tǒng)靈敏度分析的新方法[J].電路與系統(tǒng)學報,1998 (2).

[3] 孫湛惠，黃香馥.計算網絡多端口多輸出高階靈敏度的簡便方法[J].電子學報,1990(2).

[4] 羅先覺，周濤，胡洪萍. 開關電容網絡靈敏度分析的傳遞函數(shù)法[J].系統(tǒng)工程與電子技術，2001，23(4).

[5] 江偉,王成山,余貽鑫,ZHANG Pei.電壓穩(wěn)定裕度對參數(shù)靈敏度求解的新方法[J].中國電機工程學報,2006,26(2).

[6] Lidia Daldoss, Associate Member, IEEE, Paolo Gubian,and Michele Quarantelli；Multiparameter Time-Domain Sensitivity Computation[J] IEEE TRANS.ON.2001.48(11)

[7] John w. bandler, qi-jun-zhang, Randolsw M. Bifrnack.A Unified Theory for Frequency-Domain Simulation and Sensitivity Analysis of Linear and Nonlinear Circuits[J].IEEE Trans.on MTT, 1988,36(12).

[8] Erich Wehrhahn. Hierarchical Sensitivity Analysis of Circuits[J]. IEEE Trans.on MTT, 2001,14(6).

[9] L. 0. Chua and P. M. Lin. Computer-Aided Anulvsis of Electronic MTT-34, pp. 1294-1307. 1986. MTT-35, pp.643-652, 1987.Circuits. Englewood Cliffs, NJ:Prentice-Hall, 1975.