緩和曲線加寬段路幅邊緣線長度的計算

王景海，劉春彥

(1.北京市門頭溝區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)委員會，北京 102300； 2.北京市市政一建設(shè)工程有限責(zé)任公司，北京 100083)

緩和曲線加寬段路幅邊緣線長度的計算

王景海1?，劉春彥2

(1.北京市門頭溝區(qū)住房和城鄉(xiāng)建設(shè)委員會，北京 102300； 2.北京市市政一建設(shè)工程有限責(zé)任公司，北京 100083)

推導(dǎo)出緩和曲線加寬段路幅邊緣線長度計算的數(shù)值積分表達(dá)式，指出現(xiàn)有文獻(xiàn)計算公式錯誤之處，澄清了錯誤認(rèn)識。給出了卡西歐fx－4800P計算器程序及步長自適應(yīng)驗證程序清單，結(jié)合工程實例，驗證所推公式正確性。

緩和曲線；邊緣線；長度計算；程序；算例

1 引 言

公路路線設(shè)計規(guī)范規(guī)定[1]:當(dāng)平曲線半徑等于或小于250m時，路面內(nèi)側(cè)應(yīng)加寬，路基也隨之加寬。加寬過渡的設(shè)置根據(jù)道路性質(zhì)和等級可采用不同的方法，比例加寬過渡法和高次拋物線加寬過渡法是常采用的方法。

加寬過渡后，求取道路緩和曲線段內(nèi)側(cè)路幅邊緣線的長度，不但具有理論上的意義，而且也有著實際應(yīng)用的價值，如計算、放樣、計量位于該部分工程構(gòu)筑物問題就涉及需先知道該部分長度。文獻(xiàn)[2，3]分別就采用比例加寬過渡法和高次拋物線加寬過渡法兩種情況下內(nèi)側(cè)路幅邊緣線長度計算公式進(jìn)行了推導(dǎo)，得出了加寬段邊緣線長度計算公式。但在公式推導(dǎo)時由于把加寬邊緣線長度微元與轉(zhuǎn)角微元、半徑之間關(guān)系式列立錯誤，從而導(dǎo)致了邊緣線長度計算公式的錯誤。該公式在緩和曲線段長度較長、圓曲線半徑較大、加寬值不大時誤差尚不明顯，但在緩和曲線段長度較短、圓曲線半徑較小、加寬值較大時誤差明顯。本文由路幅邊緣線坐標(biāo)參數(shù)方程入手，根據(jù)微積分中參數(shù)方程弧長公式，得出路幅邊緣線長度計算積分表達(dá)式，分析了現(xiàn)有文獻(xiàn)的錯誤與不足，給出了卡西歐fx－4800P計算器程序及步長自適應(yīng)驗證程序，又結(jié)合工程實例，驗證了公式的正確性。

2 公式推導(dǎo)

由于高等級道路一般僅在內(nèi)側(cè)加寬，所以本文僅討論內(nèi)側(cè)路幅加寬邊緣線長度計算問題。

建立如圖1所示的獨立坐標(biāo)系。緩和曲線全長L0，緩和曲線參數(shù)為A，圓曲線半徑R，半幅路寬D，全加寬W。

圖1 中線、加寬邊緣線關(guān)系圖

中線長度L處點P(X，Y)對應(yīng)路幅加寬邊緣線處點P1(X1，Y1)的加寬值為Wx，則針對線性與高次拋物線加寬兩種形式，Wx的表達(dá)式分別為:

中線點P(X，Y)、路幅加寬邊緣線處點P1(X1，Y1)坐標(biāo)有如下關(guān)系[1]:

式中β為緩和曲線轉(zhuǎn)角，β＝L2/2A2

式(3)、式(4)分別對L求導(dǎo)得:

由微積分中參數(shù)方程弧長公式，路幅邊緣線長度L1的表達(dá)式為:

將式(5)、式(6)代入式(7)并整理得:

式(8)即為路幅邊緣線長度精確計算之積分表達(dá)式。當(dāng)全加寬值W＝0時，Wx＝0，式(8)即變?yōu)榈葘挄r內(nèi)側(cè)邊線計算公式[4]:

3 現(xiàn)有文獻(xiàn)錯誤與不足之處

文獻(xiàn)[2，3]都犯了同樣一個錯誤，即都認(rèn)為加寬邊緣線長度微元dL1與轉(zhuǎn)角微元dβ、半徑之間存在如下關(guān)系:

實際上式(10)是錯誤的，因為中心線上任一點的法線與加寬邊緣線并不垂直，法線僅與中心線或等寬邊線垂直，因而式(10)等式關(guān)系并不成立，在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出的邊緣線長度計算公式必然是錯誤的。

文獻(xiàn)[5]給出的是邊緣線長度計算的近似公式，該公式與加寬邊線方程式?jīng)]有實質(zhì)上的聯(lián)系，在理論上缺陷是明顯的，只能作為近似的公式使用。

4 卡西歐fx－4800P計算器程序及驗證程序

卡西歐fx－4800p計算器是日本卡西歐公司生產(chǎn)的一種科學(xué)計算器，它除了具有一般科學(xué)計算功能外，還具有數(shù)值積分計算和程序功能。它利用復(fù)化辛普生法進(jìn)行數(shù)值積分計算，且有4500字節(jié)的數(shù)據(jù)存儲容量，可滿足一般工程測量計算需要。

路幅邊緣線長度精確計算式(8)為數(shù)值積分表達(dá)式，無法求得其原函數(shù)，不能用牛頓－萊布尼茨公式求解，但可以利用卡西歐fx－4800p計算器的數(shù)值積分計算功能對其進(jìn)行求解計算。

驗證方法采用以弦代曲方法。具體說就把曲線分成適當(dāng)長度的小段，若每段弧長與弦長之差小于一給定小值，則可以以弦長代替弧長。由于加寬段路幅邊緣線曲率半徑大于相應(yīng)的圓曲線段曲率半徑，因此若圓曲線段給定弧長與弦長之差小于一給定小值，則以該給定弧長均分加寬緩和段中線，得到每個均分點對應(yīng)的路幅邊緣線點坐標(biāo)，將相鄰點間的弦線長度累加求和，即可作為路幅邊緣線的實際長度。

如圖2所示，設(shè)圓曲線半徑為R，圓心角為α，相應(yīng)的弧長為L，弦長為C，則弧長與弦長之差為:

圖2 弧長與弦線關(guān)系圖

將sinα/2展開，略去高次項并顧及α＝L/R，代入式(11)整理得:

取ε＝0.001，代入(12)式得:

即當(dāng)加寬緩和段中線上分段長度滿足式(13)，對應(yīng)的路幅邊緣線上相鄰點一定滿足以弦代曲要求。

程序清單:

該程序?qū)⒕€性與高次拋物線加寬兩種形式的路幅邊緣線長度計算統(tǒng)一到一個主程序中，自適應(yīng)步長驗證程序作為子程序供主程序調(diào)用。

運行主程序，輸入緩和曲線全長L0，中心線長度L，半幅路寬D，全加寬W，緩和曲線參數(shù)A，中心線圓曲線半徑R，提示選擇加寬形式:o＝1表示選擇線性加寬，o＝2表示選擇高次拋物線加寬，選擇1或2輸入，程序顯示出路幅邊緣線長度計算結(jié)果L1，按回車鍵顯示出驗證計算結(jié)果L2。

5 工程算例

先舉文獻(xiàn)[2]中算例。路幅邊緣線按線性加寬，L0＝200 m，D＝12.25 m，A＝300，R＝450 m，全加寬W值分別按0.75 m，1.25 m，1.75 m，2.5 m計算。按數(shù)值積分法、以弦代曲法驗證及文獻(xiàn)[2，5]計算結(jié)果如表1所示。

線性加寬計算結(jié)果(單位/m) 表1

若按高次拋物線加寬，則數(shù)值積分法、以弦代曲法驗證及文獻(xiàn)[5]計算結(jié)果如表2所示。

高次拋物線加寬計算結(jié)果(單位/m) 表2

再舉文獻(xiàn)[5]中算例。路幅邊緣線按線性加寬，L0＝50 m，D＝6.0 m，A＝66.332，R＝88 m，全加寬W值分別按0.75 m，1.25 m，1.75 m，2.5 m計算。按數(shù)值積分法、以弦代曲法驗證及文獻(xiàn)[2，5]計算結(jié)果如表3所示。

線性加寬計算結(jié)果(單位/m) 表3

表1～表3中驗證計算結(jié)果L2與計算結(jié)果L1之差別可以認(rèn)為是以弦代曲誤差所引起。表1、表3中文獻(xiàn)[2]部分結(jié)果雖然與計算結(jié)果也很接近，是因為算例中或緩和曲線段長度較長、或圓曲線半徑較大、或加寬值不大的緣故，不能就此認(rèn)為文獻(xiàn)[2]所給公式正確。由上表也可看出，當(dāng)緩和曲線段長度較短、或圓曲線半徑較小、或加寬值較大時文獻(xiàn)[5]的近似計算誤差也較大。

6 結(jié) 語

本文所推導(dǎo)的緩和曲線加寬段路幅邊緣線長度計算公式及相應(yīng)的程序，可以廣泛應(yīng)用到位于該部位構(gòu)筑物的計算、放樣與工程量計量工作中。

[1] 張志清.道路勘測設(shè)計[M].北京:科學(xué)出版社，2005

[2] 趙新華，楊金保，丁偉.關(guān)于緩和曲線段路幅邊緣線長度的精確計算[J].交通科技，2008(5):38～39

[3] 陳翠麗，丁建明.緩和曲線加寬內(nèi)外邊線的計算方法[J].交通標(biāo)準(zhǔn)化，2006(9):104～106

[4] 王景海.道路平曲線平行線弧長通用公式及應(yīng)用[J].城市勘測，2009(2):121～123

[5] 彭飛，劉齊軍.平曲線加寬緩和段內(nèi)側(cè)邊線長度的近似計算[J].工程勘察，2008(1):66～68

The Calculation of Widend Sideline Length for Transition Curve Route

Wang JingHai1，Liu ChunYan2
(1.Beijing Mentougou District Municipal Commission of Housing and Urban－Rural Development，Beijing 102300，China；2.Beijing No.1 Municipal Construction Engineering Co.，Ltd.Beijing 100083，China)

The paper deduced the numerical integration calculation formula of widend sideline length for transition curve route and analysed the existent documents′error and shortage，then the the Casio－fx 4800p computer program、step－size proved program and engineering examples are also be given respectively.

Transition curve；Sideline；Length calculation；Program；Example

1672－8262(2011)02－150－03

P209，P258

B

2010—07—13

王景海(1970—)，男，高級工程師，主要從事工程測量技術(shù)與管理工作。