優(yōu)化和均衡——系統(tǒng)理論的重要問題

陳光亞

（中國科學(xué)院 系統(tǒng)科學(xué)研究所，北京 100190）

對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，人們總是希望系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及運(yùn)行處于一個(gè)優(yōu)化和均衡或和諧的狀態(tài).因此，系統(tǒng)的優(yōu)化和均衡問題就成為系統(tǒng)科學(xué)和系統(tǒng)工程研究的一個(gè)重要問題.錢學(xué)森先生指出：系統(tǒng)科學(xué)是從事物的部分和整體，局部與全局及層次關(guān)系來研究客觀世界，系統(tǒng)是由一些相互關(guān)聯(lián)、相互作用、相互制約的組成部分所構(gòu)成的具有某種功能的整體［1－2］.系統(tǒng)的優(yōu)化和均衡是“某種功能”的重要組成部分.錢學(xué)森先生的系統(tǒng)科學(xué)思想和系統(tǒng)工程方法強(qiáng)調(diào)“整體論與還原論相結(jié)合”及“從定性到定量綜合集成方法”，于是，系統(tǒng)的優(yōu)化和均衡問題，可以描述成一個(gè)三元組（S，F(xiàn)，P）.其中S表示一個(gè)系統(tǒng)，F(xiàn)表示判斷系統(tǒng)狀況的指標(biāo)，F(xiàn)通常是以目標(biāo)函數(shù)形式表示，P表示比較目標(biāo)函數(shù)“值”大小的準(zhǔn)則，也稱為偏好.目標(biāo)函數(shù)“值”的大小對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)狀態(tài)的好壞.例如，S是由多項(xiàng)式不等式描述的系統(tǒng)，F(xiàn)是一個(gè)線性或非線性函數(shù)，P是自然的數(shù)值大小的偏好，那么（S，F(xiàn)，P）就刻畫了一個(gè)運(yùn)籌學(xué)中的線性或非線性規(guī)劃問題.如果S是由一個(gè)微分方程描述的系統(tǒng)，F(xiàn)是一個(gè)泛函目標(biāo)函數(shù)，則（S，F(xiàn)，P）刻畫了一個(gè)最優(yōu)控制問題.

約一半Nobel經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者的獲獎(jiǎng)工作是與優(yōu)化和均衡有關(guān).他們從宏觀和微觀的角度對(duì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)和金融系統(tǒng)中的優(yōu)化和均衡問題進(jìn)行了研究，并取得了開創(chuàng)性的成果.例如康托諾維奇（Kantorovich）對(duì)生產(chǎn)計(jì)劃的研究，這實(shí)際上是一個(gè)運(yùn)籌學(xué)中的線性規(guī)劃問題，列昂惕夫（Leontiev）的投入產(chǎn)出法實(shí)際上是一個(gè)資源配置的優(yōu)化平衡問題.更直接的研究顯現(xiàn)在Arrow和Debreu對(duì)數(shù)理經(jīng)濟(jì)的一般均衡理論的研究以及Nash對(duì)博弈論中的均衡點(diǎn)存在性方面的開創(chuàng)性工作.Myerson獲獎(jiǎng)的主要工作——最優(yōu)機(jī)制設(shè)計(jì)，本質(zhì)上是研究經(jīng)濟(jì)管理的優(yōu)化和均衡問題.馬科維茨（Markowitz）以著名的投資決策理論獲得諾爾貝經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，投資決策問題實(shí)質(zhì)上也是一個(gè)優(yōu)化問題.還可以列出許多諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者的獲獎(jiǎng)工作，這些工作利用優(yōu)化和均衡的思想方法對(duì)經(jīng)濟(jì)、金融以及重要的社會(huì)問題進(jìn)行研究，獲得了開創(chuàng)性的應(yīng)用成果.

本文從錢學(xué)森系統(tǒng)科學(xué)思想出發(fā)，將整體論和還原論相結(jié)合，基于定性到定量的綜合集成方法，對(duì)運(yùn)籌學(xué)及非線性分析中的一些問題進(jìn)行回顧和重新思考，以期對(duì)今后的研究工作提供一些啟示.

1 優(yōu)化和均衡

1.1 最優(yōu)解概念的擴(kuò)充

“最優(yōu)解”概念的最自然的理解是在一組實(shí)數(shù)中，按照實(shí)數(shù)的自然大小關(guān)系，選取最大或最小的數(shù)（相對(duì)于整體極值）或選取某些極大或極小數(shù) （相對(duì)于相對(duì)極值）.單個(gè)數(shù)值目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題（如線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃等）是研究最優(yōu)解的典型的數(shù)學(xué)模型.

在經(jīng)濟(jì)、金融、管理決策等問題中，人們往往遇到多個(gè)判別指標(biāo)的問題.例如，我國在1958年大躍進(jìn)時(shí)期提出了“多、快、好、省”的方針，在運(yùn)輸和旅游中要考慮運(yùn)費(fèi)、時(shí)間、舒適程度以及安全等.比較兩組數(shù)之間的“大小”或“好壞”相較于單純實(shí)數(shù)之間的大小更為復(fù)雜，這就引出了“偏好”和“Pareto最優(yōu)解”的概念［3］.

1.2 最優(yōu)解和Pareto最優(yōu)解的一致性

在一組實(shí)數(shù)中，按照實(shí)數(shù)自然大小順序找出一個(gè)最大數(shù)或最小數(shù)，那么這個(gè)數(shù)稱為“最大解”或“最小解”.在數(shù)值數(shù)學(xué)規(guī)劃問題中，理解為這個(gè)目標(biāo)函數(shù)值在容許集合中的原像稱為數(shù)學(xué)規(guī)劃的最優(yōu)解.換一種說法，一組數(shù)的最大數(shù)（或最小數(shù)）等價(jià)于在此組數(shù)中找不到另外一個(gè)數(shù)比它更大（或更小）.因此，“最大”或“最小”等價(jià)于“找不到更大”或“找不到更小”，后者正顯示了所謂的“Pareto”最優(yōu)的本質(zhì).研究Pareto最優(yōu)性是諸如多目標(biāo)優(yōu)化決策，合作博弈，數(shù)理經(jīng)濟(jì)中的一般均衡等問題所研究的對(duì)象.于是，在整體論和還原論相結(jié)合的視角下，所有這些問題本質(zhì)上都是一致的，都在研究Pareto最優(yōu)解，不同之處在于它們利用的偏好不一樣.

如果將和諧理解為均衡，和諧社會(huì)理解為均衡社會(huì)，那么，人們可以說和諧社會(huì)就是一個(gè)最優(yōu)的社會(huì)形態(tài)，不過這里所謂的“最優(yōu)”應(yīng)看成是Pareto最優(yōu).不同的“偏好”決定了不同的和諧形態(tài).

1.3 變分不等式是優(yōu)化和均衡之間的橋梁

運(yùn)籌學(xué)和系統(tǒng)工程工作者應(yīng)用變分不等式是從研究非線性規(guī)劃問題開始的.在一個(gè)凸容許集上求一個(gè)可微凸函數(shù)的最優(yōu)解等價(jià)于去解一個(gè)變分不等式.但是，如果并不知道質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的表達(dá)式，只知道質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度變化規(guī)律，求此質(zhì)點(diǎn)的穩(wěn)定點(diǎn)（最優(yōu)點(diǎn)）的優(yōu)化問題就不能構(gòu)造成在容許集合上求函數(shù)的極值問題，但能將問題描述成一個(gè)變分不等式問題來求解.這顯示，變分不等式模型是獨(dú)立的數(shù)學(xué)模型，它并不依賴于求函數(shù)極值的數(shù)學(xué)規(guī)劃問題.近代的研究表明，交通網(wǎng)絡(luò)的平衡問題、金融網(wǎng)絡(luò)的平衡問題、數(shù)量經(jīng)濟(jì)中的均衡問題等均可轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)等價(jià)的變分不等式問題.因此，變分不等式既體現(xiàn)了優(yōu)化的特性又顯現(xiàn)了均衡的本質(zhì).

2 關(guān)于“復(fù)雜性”問題的某些思考

當(dāng)前復(fù)雜性問題已成為世界研究的熱點(diǎn)課題.但是據(jù)本人所知，對(duì)復(fù)雜性概念還沒有一個(gè)公認(rèn)的統(tǒng)一的定義.對(duì)復(fù)雜性的研究還是需要從定性到定量的綜合集成的方法，還是需要走某些學(xué)科共同所走的途徑.也許，復(fù)雜性概念類似于經(jīng)濟(jì)和金融學(xué)中的偏好、統(tǒng)計(jì)和概率理論中的隨機(jī)性、模糊理論中的模糊性概念.對(duì)于“偏好”的好與壞，諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Debreu在他的名著《Theory of Value》中用了整個(gè)章節(jié)來研究效用函數(shù)［4－5］，使得偏好的“大小”與一個(gè)數(shù)值函數(shù)的大小是同構(gòu)關(guān)系.處理初等概率問題是很困難的，基本上只能利用排列組合方法.現(xiàn)代概率和統(tǒng)計(jì)理論引入了隨機(jī)變量及分布函數(shù)概念之后，概率和統(tǒng)計(jì)問題就能夠利用數(shù)學(xué)理論中的實(shí)變函數(shù)理論和測度論等工具進(jìn)行嚴(yán)格處理.模糊問題也是難以把握和處理的問題，當(dāng)引入了隸屬函數(shù)等概念后，模糊問題就可以利用數(shù)學(xué)工具加以解決.復(fù)雜性問題也許同樣可以通過從定性到定量的途徑來引入數(shù)學(xué)工具進(jìn)行研究.

［1］錢學(xué)森.創(chuàng)建系統(tǒng)學(xué)［M］.太原：山西科技出版社，2001.

［2］錢學(xué)森.再談系統(tǒng)科學(xué)體系［J］.系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐，1981，1（1）：2－4.

［3］CHEN G Y，HUANG X X，YANG X Q.Vector Opti－mization：Set－Valued and Variational Analysis［M］.Berlin：Springer，2005.

［4］DEBREU G.Theory of Value［M］.New York：Wiley，1959.

［5］ARROW K J，DEBREU G.Existence of an equilibrium for a competitive economy［J］.Econometrica，1954，22（3）：265－290.