時(shí)間序列分解在短期電價(jià)分析與預(yù)測(cè)中的應(yīng)用①

熊高峰，韓 鵬，聶坤凱

（湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082）

在電力市場(chǎng)中，準(zhǔn)確的電價(jià)預(yù)測(cè)不僅有助于發(fā)電企業(yè)構(gòu)造最優(yōu)報(bào)價(jià)策略，實(shí)現(xiàn)自身利益最大化，而且有助于用戶降低使用成本。因此，電價(jià)的分析和預(yù)測(cè)是電力系統(tǒng)中的一個(gè)重要研究領(lǐng)域。

到目前為止，電價(jià)預(yù)測(cè)的方法大致可以分為兩類［1］：一類是基于實(shí)際物理仿真模型的預(yù)測(cè)方法；另一類是基于數(shù)學(xué)建模的預(yù)測(cè)方法。前者通過對(duì)電力系統(tǒng)和定價(jià)過程進(jìn)行詳細(xì)模擬來預(yù)測(cè)電價(jià)。該方法有助于對(duì)電價(jià)曲線進(jìn)行詳細(xì)了解，但是，它需要大量的系統(tǒng)參數(shù)和市場(chǎng)信息，因此，在大型電力系統(tǒng)中，該方法較難實(shí)施。后者主要通過分析影響電價(jià)的主要因素、建立合適的數(shù)學(xué)模型來對(duì)電價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。相對(duì)于前者而言，該類方法具有建模簡(jiǎn)單和易于實(shí)施的特點(diǎn)，因此，成為電價(jià)預(yù)測(cè)研究的主要方法。目前已提出的數(shù)學(xué)模型主要有時(shí)間序列法（自回歸模型和差分自回歸滑動(dòng)平均模型等）［2，3］和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法［4～6］等。但是，由于電價(jià)不僅受到負(fù)荷需求和發(fā)電機(jī)組的影響，而且也受到網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、發(fā)電廠商報(bào)價(jià)策略及天氣狀況等的影響，因此，電價(jià)時(shí)間序列的演化過程十分復(fù)雜，存在很強(qiáng)的隨機(jī)波動(dòng)性。這使得采用傳統(tǒng)的時(shí)間序列法或人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法來對(duì)電價(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)效果往往不是很理想，有必要進(jìn)一步改進(jìn)預(yù)測(cè)方法、提高預(yù)測(cè)精度。

本文從電價(jià)時(shí)間序列的特點(diǎn)出發(fā)，采用數(shù)學(xué)方法將電價(jià)時(shí)間序列分解成趨勢(shì)分量、周期分量和隨機(jī)分量三個(gè)組成部分，并且，分別建立合適的預(yù)測(cè)模型來進(jìn)行預(yù)測(cè)，將所得的三個(gè)預(yù)測(cè)結(jié)果相加得到最終的電價(jià)預(yù)測(cè)值。對(duì)美國(guó)PJM電力市場(chǎng)中日前電價(jià)進(jìn)行的仿真測(cè)試結(jié)果表明，該方法能明顯提高預(yù)測(cè)精度。

1 電價(jià)時(shí)間序列的分解與分離

在本質(zhì)上，電價(jià)時(shí)間序列是一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)時(shí)間序列，它在不同時(shí)間范圍內(nèi)的均值和方差是不同的，具有異方差特性，其外在表現(xiàn)為波動(dòng)性大、跳躍點(diǎn)多、價(jià)格尖峰明顯、離散程度高［7］。由于難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出跳躍點(diǎn)和價(jià)格尖峰出現(xiàn)的時(shí)間和高度，因此，很難用數(shù)學(xué)方法直接對(duì)這種時(shí)間序列作準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。但是，從電價(jià)時(shí)間序列的演化過程來看，在一定時(shí)間內(nèi)波動(dòng)的電價(jià)具有一定的趨勢(shì)性。并且，由于電價(jià)主要受到具有強(qiáng)烈周期性（又稱季節(jié)性）的電力負(fù)荷的影響，因此，電價(jià)的波動(dòng)中又表現(xiàn)出一定的周期性。從非平穩(wěn)的電價(jià)時(shí)間序列中分離出趨勢(shì)分量和周期分量后得到的隨機(jī)分量是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)時(shí)間序列［2，8］，相對(duì)于非平穩(wěn)時(shí)間序列而言，其分析和預(yù)測(cè)變得相對(duì)容易。

一般而言，在電價(jià)時(shí)間序列中，工作日（周一至周五）電價(jià)與周末（周六至周日）電價(jià)相差幅度很大，呈現(xiàn)出不同的特點(diǎn)。因此，本文首先將電價(jià)時(shí)間序列分解成工作日電價(jià)和周末電價(jià)兩個(gè)時(shí)間序列，然后，分別從中分離出趨勢(shì)分量、周期性分量和隨機(jī)分量三個(gè)組成部分。

1.1 基于移動(dòng)平均法分離趨勢(shì)分量

從時(shí)間序列中分離出變化緩慢的趨勢(shì)分量的方法主要有移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法和多項(xiàng)式擬合等方法［8］。本文采用移動(dòng)平均法來分離電價(jià)時(shí)間序列中的趨勢(shì)分量。

移動(dòng)平均法MA（moving average method）是通過移動(dòng)平均來消除時(shí)間序列中的不規(guī)則變動(dòng)和其他變動(dòng)，從而揭示出時(shí)間序列的趨勢(shì)性，得出趨勢(shì)分量。根據(jù)其利用歷史數(shù)據(jù)的權(quán)重不同，可以分為簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法和加權(quán)移動(dòng)平均法。本文采用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法，其計(jì)算公式如下

其中f（t）為移動(dòng)平均值，即下一期的預(yù)測(cè)值；y（i）為i時(shí)刻時(shí)間序列的值；n為用于移動(dòng)平均的時(shí)期個(gè)數(shù)。由移動(dòng)平均法得到的各時(shí)刻的移動(dòng)平均值所構(gòu)成的序列即為趨勢(shì)分量。

1.2 基于離散傅立葉變換分離周期分量

為了揭示電價(jià)時(shí)間序列中所隱含的周期信息和頻域特征，本文采用離散傅里葉變換DFT（discrete fourier transform）及離散傅里葉逆變換IDFT（inverse discrete fourier transform）來從電價(jià)時(shí)間序列中分離出周期分量。

離散傅里葉變換［9，10］可以將離散時(shí)間序列變換為一組不同振幅、不同相位和不同頻率的正弦信號(hào)的疊加。它是時(shí)間序列由時(shí)域分析轉(zhuǎn)換到頻域分析的重要工具，在工程中有著廣泛的應(yīng)用。

一個(gè)具有N個(gè)序列值的離散時(shí)間信號(hào)x（n）（n＝1，2，…，N），其離散傅里葉變換定義為［9，10］：

相應(yīng)地，離散傅里葉逆變換定義為

如果離散時(shí)間序列的采樣周期為T，采樣頻率為f（＝1∕T），則對(duì)應(yīng)的幅頻圖的橫坐標(biāo)軸上具有N個(gè)頻率點(diǎn)，并且，前后頻率點(diǎn)之間的頻率間隔為Δf（＝f∕N）。頻率軸上的第k個(gè)頻率點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)域周期信號(hào)的周期Tk為

將分離出趨勢(shì)分量后的電價(jià)時(shí)間序列進(jìn)行離散傅里葉變換，得到對(duì)應(yīng)的幅頻圖，從該圖上提取幅值較大的頻率點(diǎn)，然后進(jìn)行離散傅里葉逆變換，就可以得到電價(jià)時(shí)間序列中所隱含的周期分量。

從電價(jià)時(shí)間序列中分離出趨勢(shì)分量和周期分量后，就得到電價(jià)時(shí)間序列中的隨機(jī)分量。通常，該隨機(jī)分量是一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列，不含明顯的趨勢(shì)性與周期性。

2 電價(jià)預(yù)測(cè)

從上述電價(jià)時(shí)間序列的分解和分離過程可知，分離出來的趨勢(shì)分量、周期分量和隨機(jī)分量具有不同的變化特點(diǎn)，因此，需要采取不同的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行預(yù)測(cè)。在得到各個(gè)分量的預(yù)測(cè)值后，對(duì)其進(jìn)行相加即可得到原電價(jià)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)值。整個(gè)電價(jià)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)過程如圖1所示。

圖1 電價(jià)預(yù)測(cè)流程Fig.1 Flow chart of electricity price forecasting

2.1 趨勢(shì)分量的預(yù)測(cè)

趨勢(shì)分量變化緩慢，波動(dòng)性小，相對(duì)而言容易預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)方法也較為簡(jiǎn)單。由于本文采用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法（見式（1））來從電價(jià)時(shí)間序列中分離趨勢(shì)分量，因此，可將某一時(shí)刻的移動(dòng)平均值作為其下一時(shí)刻的趨勢(shì)分量的預(yù)測(cè)值，即下一期的預(yù)測(cè)值。

2.2 周期分量的預(yù)測(cè)

從電價(jià)時(shí)間序列中分離出來的周期分量是由一組不同頻率、不同相位和不同振幅的正弦信號(hào)疊加而成，呈周期性變化。因此，在確定其變化周期后，由下式可以得到任意時(shí)刻t的周期分量的預(yù)測(cè)值。

式中：m為周期分量的變化周期；k為整數(shù)。

2.3 基于最小二乘支持向量機(jī)的隨機(jī)分量的預(yù)測(cè)

由于隨機(jī)分量波動(dòng)較大，跳躍點(diǎn)較多，存在價(jià)格尖峰，因此，本文采用泛化能力較強(qiáng)、能夠在較少學(xué)習(xí)樣本下建模的最小二乘支持向量機(jī)LS－SVM（least square support vector machine）來進(jìn)行隨機(jī)分量的預(yù)測(cè)。

1）最小二乘支持向量機(jī)

支持向量機(jī)SVM（support vector machine）［11～13］是在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的新一代機(jī)器學(xué)習(xí)方法。該算法的核心思想是通過非線性變換將輸入向量映射到高維特征空間，然后在高維空間內(nèi)利用結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則構(gòu)造最優(yōu)決策函數(shù)，并利用滿足mercer條件的核函數(shù)來代替高維特征空間中的點(diǎn)積運(yùn)算。最小二乘支持向量機(jī)是支持向量機(jī)的一種改進(jìn)形式，它通過求解一組線性方程來取代支持向量機(jī)中凸二次規(guī)劃問題的求解，減少了計(jì)算量并提高了收斂速度。

假設(shè)N個(gè)訓(xùn)練樣本集合為｛（x1，y1），（x2，y2），…，（xN，yN）｝∈RD×R，D為R空間的維數(shù)，xi（i＝1，2，…，N）和y＝（y1，y2，…，yN）分別為輸入向量和輸出向量。用非線性映射Φ（x）將樣本從原空間映射到高維特征空間H中，H為W維空間。在這個(gè)空間中構(gòu)造如下最優(yōu)線性回歸函數(shù)

其中w為權(quán)向量，w∈RW；b∈R。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化準(zhǔn)則，該最優(yōu)線性回歸問題可以描述為以下約束優(yōu)化問題。

目標(biāo)函數(shù)

約束條件

其中θi為松弛變量，θi≥0；C為正則化參數(shù)，C＞0。

為了將上述約束化問題的求解轉(zhuǎn)變成無約束優(yōu)化問題的求解，建立Lagrange函數(shù)

其中a＝［a1，a2，…，aN］，ai為L(zhǎng)agrange乘子。最優(yōu)的a和b取值可以通過庫(kù)恩－塔克KKT（karushkuhn－tucker）最優(yōu)條件得到，即取最優(yōu)函數(shù)對(duì)w，b，θ，a偏導(dǎo)數(shù)為零，可得：

消去w和θ得到如下的線性方程組：

其中X＝［Φ（x1），Φ（x2），…，Φ（xN）］，G＝［1，1，…，1］，E為單位矩陣。

根據(jù)Mercer條件，定義核函數(shù)

利用上式可以將高維空間中的點(diǎn)積運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求解低維空間中的核函數(shù)的值，這將大大減少計(jì)算量。在實(shí)際應(yīng)用中，常采用徑向基核函數(shù)：

這樣，經(jīng)過上述演化過程后，原最優(yōu)線性回歸問題可以通過最小二乘法求解，所求得的最優(yōu)線性回歸函數(shù)為

其中M為序列點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

對(duì)隨機(jī)分量的時(shí)間序列｛x1，x2，…，xM｝而言，計(jì)算任意t時(shí)刻序列值xt最鄰近點(diǎn)xnbt＝｛xnb1，xnb2，…，xnb（M－1）｝，然后將這些最鄰近點(diǎn)作為樣本的輸入，樣本的輸出則由這些最鄰近點(diǎn)的下一時(shí)刻的序列值所組成。

2）參數(shù)的選取

由于參數(shù)C和δ2的取值直接決定最小二乘支持向量機(jī)的訓(xùn)練和泛化性能，因此，本文采用交叉驗(yàn)證算法［13］來尋求C和δ2的最優(yōu)值。

3）選擇訓(xùn)練樣本的輸入與輸出

最鄰近點(diǎn)法原理［14］表明相互之間最接近的對(duì)象具有相似的預(yù)測(cè)值，因此，本文使用最鄰近點(diǎn)法選擇訓(xùn)練樣本的輸入與輸出。通過計(jì)算兩點(diǎn)之間的歐幾里德距離，選擇距離最近的點(diǎn)作為最鄰近點(diǎn)

3 實(shí)例驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文所提出的電價(jià)預(yù)測(cè)方法的有效性，在真實(shí)電價(jià)數(shù)據(jù)上進(jìn)行了測(cè)試。并且，與采用傳統(tǒng)三層BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測(cè)方法進(jìn)行了比較。

1）測(cè)試數(shù)據(jù)

選取美國(guó)PJM電力市場(chǎng)western hub地區(qū)2007－04－23至2007－05－20的日前電價(jià)［15］作為訓(xùn)練和預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，其中2007－04－23至2007－05－13共計(jì)504個(gè)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)（圖2），預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)為2007－05－14至2007－05－20一周的日前電價(jià)。

2）比較對(duì)象

構(gòu)建了24個(gè)傳統(tǒng)的三層BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來預(yù)測(cè)每天24 h的電價(jià)。各神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入層、隱含層和輸出層的神經(jīng)元數(shù)目均分別為7、18和1。輸出為預(yù)測(cè)日某時(shí)刻的日前電價(jià)，輸入為該時(shí)刻前三小時(shí)的日前電價(jià)、以及預(yù)測(cè)日前三天和前一周同時(shí)刻的日前電價(jià)。各預(yù)測(cè)時(shí)刻的訓(xùn)練數(shù)據(jù)采用滾動(dòng)方法進(jìn)行訓(xùn)練與預(yù)測(cè)。

圖2 電價(jià)時(shí)間序列Fig.2 Time series of electricity prices

3）性能評(píng)估指標(biāo)

選取絕對(duì)百分比誤差A(yù)PE（absolute percentage error）和平均絕對(duì)百分比誤差MAPE（mean absolute percentage error）作為電價(jià)預(yù)測(cè)方法的性能評(píng)估指標(biāo)。

令Pactual為電價(jià)的真實(shí)值，Pf為電價(jià)的預(yù)測(cè)值，則

4）預(yù)測(cè)結(jié)果

首先，將原始電價(jià)時(shí)間序列分解成工作日電價(jià)和周末電價(jià)兩個(gè)時(shí)間序列，然后，采用簡(jiǎn)單移動(dòng)平均法（n＝24）分別從這兩個(gè)時(shí)間序列中分離趨勢(shì)分量。圖3給出了工作日電價(jià)時(shí)間序列和其趨勢(shì)分量。

其次，對(duì)分離出趨勢(shì)分量后的電價(jià)時(shí)間序列進(jìn)行離散傅里葉變換，得到對(duì)應(yīng)的幅頻圖。圖4給出工作日電價(jià)時(shí)間序列在分離出趨勢(shì)分量后經(jīng)過DFT得到的幅頻圖。圖中，橫坐標(biāo)為頻率點(diǎn)，縱坐標(biāo)為幅值。

圖5給出工作日電價(jià)時(shí)間序列中的周期分量。從電價(jià)時(shí)間序列中進(jìn)一步分離出周期分量后，剩余的電價(jià)時(shí)間序列就為隨機(jī)分量。圖6給出工作日電價(jià)時(shí)間序列中的隨機(jī)分量。

最后，采用本文提出的預(yù)測(cè)方法分別對(duì)工作日電價(jià)和周末電價(jià)兩個(gè)時(shí)間序列中的三個(gè)分量進(jìn)行預(yù)測(cè)。在采用LS－SVM對(duì)工作日電價(jià)中的隨機(jī)分量進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，C和δ2經(jīng)過交叉驗(yàn)證法取值分別為64.30和12.87；而在預(yù)測(cè)周末電價(jià)中的隨機(jī)分量時(shí)，其取值分別為5.95和1.67。

圖3 工作日電價(jià)時(shí)間序列與趨勢(shì)分量Fig.3 Weekday time series of electricity prices and trend component

圖4 幅度－頻率點(diǎn)圖Fig.4 Amplitude－frequency diagram

圖5 周期分量Fig.5 Periodic component

圖6 隨機(jī)分量Fig.6 Random component

圖7給出分別采用本文提出的預(yù)測(cè)方法和采用傳統(tǒng)三層BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法來預(yù)測(cè)2007－05－14至2007－05－20一周的日前電價(jià)的預(yù)測(cè)結(jié)果。表1給出周五（2007－05－18）一天24 h的電價(jià)預(yù)測(cè)值和其真實(shí)值，以及兩種預(yù)測(cè)方法的絕對(duì)百分比誤差。表2比較了兩種預(yù)測(cè)方法每天的平均絕對(duì)百分比誤差。

圖7 兩種方法的電價(jià)預(yù)測(cè)結(jié)果和真實(shí)值Fig.7 Forecasted electricity prices by two methods and their actual prices

從圖7、表1和表2的結(jié)果可知，相對(duì)于傳統(tǒng)的三層BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法而言，本文提出的電價(jià)預(yù)測(cè)方法在預(yù)測(cè)精度上有了較大改善，其平均絕對(duì)百分比誤差在7%以內(nèi)，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)方法的平均絕對(duì)百分比誤差在10%左右。同時(shí)，本文所提出的電價(jià)預(yù)測(cè)方法還減小了最大絕對(duì)百分比誤差，增加了最大絕對(duì)百分比誤差在10%以內(nèi)的預(yù)測(cè)點(diǎn)的個(gè)數(shù)。因此，該方法是有效可行的。

表1 兩種預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)誤差比較Tab.1 Comparison of forecasting errors on Friday（2007－5－18）by two methods

表2 兩種預(yù)測(cè)方法的平均絕對(duì)百分比誤差比較Tab.2 Comparison of the mean absolute percentage errors by two methods %

4 結(jié)論

本文在電價(jià)時(shí)間序列的分解和分離基礎(chǔ)上，對(duì)從電價(jià)中分離出來的趨勢(shì)分量、周期分量和隨機(jī)分量采用不同的預(yù)測(cè)方法，來實(shí)現(xiàn)對(duì)原電價(jià)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)。在隨機(jī)分量的預(yù)測(cè)中，采用了泛化能力較強(qiáng)的最小二乘支持向量機(jī)方法。在真實(shí)電價(jià)數(shù)據(jù)上進(jìn)行的仿真測(cè)試結(jié)果表明，本文提出的基于時(shí)間序列分解的電價(jià)分析和預(yù)測(cè)方法是有效的，能夠顯著提高電價(jià)預(yù)測(cè)的精度。

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