矩陣測度在消除電力系統(tǒng)鐵磁諧振中的應(yīng)用

馮平，王爾智，王維俊

(1.解放軍后勤工程學(xué)院機(jī)械電氣工程系，重慶401311；2.沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院,遼寧沈陽110178）

在110～220kV等中性點(diǎn)接地電力系統(tǒng)中，經(jīng)常發(fā)生斷口電容與電壓互感器形成的鐵磁諧振，給電力系統(tǒng)造成很大的危害。圍繞這種諧振的機(jī)理及消除方法，國內(nèi)外進(jìn)行了廣泛的研究[1，2]。從方法上來看，目前對這種鐵磁諧振問題所主要采用的方法有如下幾種。第一是實(shí)驗(yàn)研究[3，4]。即通過大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到各種經(jīng)驗(yàn)結(jié)論。第二是進(jìn)行數(shù)值模擬和仿真[5，6]。通過建立模型，在大范圍內(nèi)改變參數(shù)，通過計(jì)算機(jī)計(jì)算得到或驗(yàn)證參數(shù)的范圍。第三是理論研究[7，8]。即對這種諧振建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對模型的理論分析，了解這種諧振的機(jī)理，并且尋找消除諧振的方法。這3種方法中，理論分析具有決定性的意義，主要有作圖法[1，8]、諧波平衡法[5，6]、平面相圖法[4]，幅頻法、描述函數(shù)法[1-3]、非線性動態(tài)系統(tǒng)理論[4，7]等。但由于該問題數(shù)學(xué)上的復(fù)雜性，目前采用的都是各種近似的方法，得到的結(jié)論和試驗(yàn)數(shù)據(jù)往往有一定的差距。因此，提出和發(fā)展新的分析鐵磁諧振的方法，并對該問題進(jìn)行更深入的分析是很有意義的。惟一穩(wěn)態(tài)消諧法是近年出現(xiàn)的消除非線性系統(tǒng)諧振新的分析方法[9]。該方法的基本思想是如果非線性系統(tǒng)存在一個非諧振的正常解,并且該系統(tǒng)具有惟一的穩(wěn)態(tài),則此時對應(yīng)的條件就是系統(tǒng)不發(fā)生諧振的條件。本文將這一方法應(yīng)用在消除中性點(diǎn)接地電力系統(tǒng)鐵磁諧振的分析中，以矩陣測度為工具，得到了相應(yīng)的消諧條件。

1.等效電路及其數(shù)學(xué)模型

中性點(diǎn)接地電力系統(tǒng)鐵磁諧振的模型如圖1所示[10]。

圖1 鐵磁諧振等效電路

基準(zhǔn)值為[11]：對所研究的220kV系統(tǒng)，三相電壓vbase=220kV，單相電壓vbase=127kV，單相視在功率Sbase=100V·A，角頻率ωbase=314 rad/s，阻抗的基準(zhǔn)值為Rbase=16 MΩ，Cbase=1（Rbase×ωbase）=1/（5.06×1010）F?；ジ衅鞔沛溑c電流關(guān)系由一個三階代數(shù)方程表示如下：

式中：ψ為互感器磁鏈，此處a=3.42，b=0.41。

對應(yīng)于圖1，按照圖中的參考方向，可以得到電路的狀態(tài)方程為：

歸一化后電路的微分方程為：

可證明，電路至少存在一個以T為周期的解[12]。對于式（2），設(shè)其任意2個有界解為：

并令：

于是可以得到增量狀態(tài)方程為：

考慮式（4）的一般形式：

顯然，如果式(5)的零解X=0是全局漸進(jìn)穩(wěn)定的，即：

則圖1所示電路的穩(wěn)態(tài)惟一，即系統(tǒng)的不諧振條件。

2 電路惟一穩(wěn)態(tài)的條件求取[9]

惟一穩(wěn)態(tài)消諧法的基本思想是如果非線性系統(tǒng)存在一個非諧振的正常解,并且該系統(tǒng)具有惟一的穩(wěn)態(tài),則此時對應(yīng)的條件就是系統(tǒng)不發(fā)生諧振的條件。按照這一方法，對于圖1和狀態(tài)方程（3），大量實(shí)驗(yàn)和運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)表明其有多個穩(wěn)態(tài)解，其中最常見的穩(wěn)態(tài)解，就是沒有發(fā)生諧振時，對應(yīng)于系統(tǒng)正常工作狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)解。系統(tǒng)的其他非正常的穩(wěn)態(tài)解，則是由于擾動，引起C與L之間的鐵磁諧振造成的穩(wěn)態(tài)解。顯然這些非正常的穩(wěn)態(tài)解對于系統(tǒng)是有害的，如果能夠使經(jīng)擾動后的非正常穩(wěn)態(tài)解趨于正常的穩(wěn)態(tài)解，即使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解惟一，那就可以達(dá)到消除系統(tǒng)鐵磁諧振的目的。

為求得系統(tǒng)的惟一穩(wěn)態(tài)，首先給出如下定義：定義1對于2矩陣A=(aij)n×n和B=(bij)n×n，如果aij≥bij，則記A≥B。

定義2[12]對于矩陣A=(aij)n×n如其范數(shù)是：

則其測度定義為：

即：

于是，有如下的定理：

定理1，對于式（5），如果μp（A）＜0，則式（2）有惟一穩(wěn)態(tài)。證明：

顯然，如果μp（A）＜0，則即式（2）有惟一穩(wěn)態(tài)。證畢。

下面根據(jù)定理1，推導(dǎo)消除諧振的條件。對比式（4，5），顯然有：

于是，根據(jù)定理1，得到圖1所示的鐵磁諧振電路不發(fā)生諧振的條件為定理2。

定理2，對于圖1所示電路，其不發(fā)生諧振的條件為：

根據(jù)文獻(xiàn)[6]取參數(shù)(均為標(biāo)幺值)E=1，a=3.42，b=0.41，C=0.5，3.42＜KL＜8.8，角頻率為1，代入定理2，得到當(dāng)R2＞2.0，0＜R1＜0.5時，沒有鐵磁諧振發(fā)生。

3 數(shù)值模擬與討論

下面取不同的參數(shù)，在不同的初始條件下，對電路進(jìn)行模擬仿真，以檢驗(yàn)電路是否發(fā)生諧振。初始條件順序?yàn)椋捍沛湣㈦娙蓦姾?、時間、初始條件按文獻(xiàn)[6]選定。

通過模擬結(jié)果表明，如果電路參數(shù)滿足定理2的條件，則電路無論在何種初始條件下，雖然經(jīng)過非常復(fù)雜的振蕩過程，其穩(wěn)態(tài)都將是惟一的，最終所有解都將趨近正常解，不會出現(xiàn)鐵磁諧振，驗(yàn)證了本文給出的條件的正確性。

如下是其中一組數(shù)據(jù)的振蕩過程。初始條件：ψ0=2.4，q0=1.4，t0=0。

圖2 電路穩(wěn)態(tài)相圖

4 結(jié)束語

本文根據(jù)惟一穩(wěn)態(tài)消諧法基本思想，利用矩陣測度，分析了消除中性點(diǎn)接地電力系統(tǒng)的鐵磁諧振的參數(shù)條件，得到了相應(yīng)的消諧條件。同時通過數(shù)值模擬進(jìn)行驗(yàn)證，表明結(jié)果正確，同時也說明惟一穩(wěn)態(tài)消諧法有效性。

[1] 解廣潤．電力系統(tǒng)過電壓[M].北京：水利電力出版社，1985.

[2] 張緯鈸，高玉明．電力系統(tǒng)過電壓與絕緣配合[M].北京：清華大學(xué)出版社，1988.

[3] 鄭盛瓊，陳維賢，魯鐵成．110～220kV變電所中互感器引起的鐵磁諧振及吸能消諧[J].高壓電器，1996，18(6)：26-30.

[4] HENRIKSEN T.How to Avoid Unstable Time Domain Responses Caused by Transformer Models[J].IEEE Trans.on Power Delivery,2002,17(2)：516-522.

[5] 李興斌，王晨新．?dāng)嗦菲骶鶋弘娙菀鸬蔫F磁諧振分析[J].東北電力技術(shù)，1994，24(9)：39-43.

[6] 賈紅琴．電磁式TA所致鐵磁諧振過電壓分析及抑制[J].高電壓技術(shù)，2000，43(1)：69-70.

[7] 石峰．110～220kV變電站空母線鐵磁諧振的分析[J].湖南電力，2001，15(1)：14-16.

[8] LI Y G,SHI W.A Systematical Method for Suppressing Ferroresonance at Neutral-Grounded Substations[J].IEEE Transactions on Power Delivery,2003，18(3)：1009-1014.

[9] 馮平，王爾智.中性點(diǎn)接地電力系統(tǒng)三相鐵磁諧振理論分析[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2004，23(4)：35-39.

[10] 尤秉禮常微分方程補(bǔ)充教程[M].北京：人民教育出版社，1981.

[11] 馮平.一種混沌分析與抑制方法及其在電力系統(tǒng)鐵磁諧振中的應(yīng)用[D].沈陽工業(yè)大學(xué)博士論文，2010.

[12] 楊開宇.矩陣分析[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1988.