Wiener濾波,Kalman濾波和信息融合濾波理論研究進展

鄧自立

(黑龍江大學 電子工程學院 自動化系,哈爾濱 150080)

0 引 言

最優(yōu)濾波解決系統(tǒng)狀態(tài)或信號最優(yōu)估計問題,即由被噪聲污染的觀測信號中過濾噪聲,求未知狀態(tài)或信號在某種性能指標意義下的最優(yōu)估值器。

經(jīng)典Wiener濾波方法[1]是由控制論創(chuàng)始人N.Wiener在20世紀40年代第二次世界大戰(zhàn)期間由于研究火炮控制系統(tǒng)的需要提出的。它是一種頻域方法,其基本工具是譜分解。它的缺點和局限性是要求信號是一維平穩(wěn)隨機過程,濾波器是非遞推的,要求求解Wiener-Hopf方程和存儲全部歷史數(shù)據(jù),計算量和存儲量大,不便于實時應用。雖然推廣的Wiener濾波方法 (多項式方法[2])用傳遞函數(shù)模型描寫信號,可用于處理多維非平穩(wěn)信號,但要求求解互耦的Diophantine方程才能得到信號的遞推Wiener濾波器,且不便于處理狀態(tài)估計和信息融合濾波問題,不能處理時變系統(tǒng)濾波問題。

隨著電子計算機、軍事和空間技術的發(fā)展,R.E.Kalman在20世紀60年代初提出了Kalman濾波方法[3]。它是一種基于狀態(tài)空間模型的時域濾波方法,其優(yōu)點是濾波算法是遞推的,可處理多變量、非平穩(wěn)、時變系統(tǒng)狀態(tài)或信號估計,便于實時應用,克服了Wiener濾波方法的缺點和局限性,并且成功應用于美國阿波羅登月計劃。它的基本工具是Riccati方程,其缺點和局限性是要求模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計是精確已知的,采用不精確的模型設計Kalman濾波器可導致濾波發(fā)散。

現(xiàn)代時間序列分析方法[4-11]作為最優(yōu)濾波新的方法論是由鄧自立在20世紀80年代末以來提出的。它是經(jīng)典時間序列分析[12]與Kalman濾波相互滲透、相互交叉的產(chǎn)物,其基本工具是時間序列自回歸滑動平均 (ARMA)新息模型,其理論基礎是白噪聲估計理論。ARMA新息模型提供了最優(yōu)濾波所需的全部統(tǒng)計信息,它揭示了觀測信號、新息過程、輸入和觀測白噪聲之間的數(shù)量關系,其優(yōu)點是基于ARMA新息模型的在線辨識可處理含未知模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計系統(tǒng)的自校正濾波問題,其局限性是它僅適用于定常系統(tǒng)的濾波問題,不能像Kalman濾波方法可處理時變系統(tǒng)濾波問題?，F(xiàn)代時間序列分析方法是最優(yōu)和自校正濾波的一種新的方法論,不僅可解決定常系統(tǒng)Kalman濾波和Wiener濾波問題,而且還可以解決用Wiener濾波方法和Kalman濾波方法不容易解決的或未解決的許多難題。例如廣義系統(tǒng)狀態(tài)估計[5-6]、時滯系統(tǒng)狀態(tài)估計[5-6]、自校正濾波[7]、自校正信息融合濾波[10-11]、收斂性分析[7,10]等。

現(xiàn)代時間序列分析方法的基本理論 (白噪聲估計理論,穩(wěn)態(tài)最優(yōu)Kalman濾波理論及自校正信息融合濾波理論)以長文 (正規(guī)論文)先后發(fā)表于由國際自動控制學會 (IFAC)主辦的自動控制領域國際權威刊物 《Automatica》上[13-15],受到國際上同行的關注。

信息融合濾波是多傳感器信息融合 (多傳感器數(shù)據(jù)融合[16])與最優(yōu)濾波相交叉的新領域,是近年來最受關注的熱門領域之一,廣泛應用于軍事、國防、戰(zhàn)爭等許多高科技領域,尤其在目標跟蹤、精確制導、遠程打擊、導彈攔截等領域有重要的應用[16]。早在1988年美國國防部就把信息融合技術列為20世紀90年代重點研究開發(fā)的20項關鍵技術之一,且列為最優(yōu)先發(fā)展的A類。

1 基于Kalman濾波方法的理論研究進展

本節(jié)綜述了作者應用Kalman濾波方法提出的新理論和新方法。

1.1 統(tǒng)一和通用的白噪聲估計理論

以石油地震勘探為應用背景,J.M.Mendel[17]提出了系統(tǒng)的輸入白噪聲估值器,也叫白噪聲反卷積估值器。但沒有提出系統(tǒng)的觀測白噪聲估值器。文獻 [18,19]提出了定常或時變系統(tǒng)的統(tǒng)一的和通用的白噪聲估計理論,其中不僅包括輸入白噪聲估值器,而且還包括觀測白噪聲估值器。輸入和觀測白噪聲估值器有統(tǒng)一結構,且可統(tǒng)一處理白噪聲濾波、預報和平滑問題。白噪聲估計理論的重要理論意義是用它可解決系統(tǒng)狀態(tài)或信號估計問題[4-11,13]。

1.2 時域Wiener濾波新方法

經(jīng)典Wiener濾波方法是頻域方法。文獻 [21-23]揭示了穩(wěn)態(tài)Kalman濾波與Wiener濾波之間的關系,通過構建等價于狀態(tài)空間新息模型的ARMA新息模型,提出了一種時域Wiener濾波新方法。以ARMA新息模型作為橋梁,由穩(wěn)態(tài)Kal-man估值器可直接構造相應的Wiener狀態(tài)估值器,并且可實現(xiàn)狀態(tài)分量解耦Wiener濾波器[24]。將ARMA信號模型轉化為狀態(tài)空間模型,用所提出的Wiener狀態(tài)估值器可直接設計帶有色觀測噪聲的ARMA信號Wiener濾波器[6,10]。

1.3 最優(yōu)和自校正濾波器的收斂性分析新方法

在系統(tǒng)辨識理論中,參數(shù)估計的收斂性分析的一種著名方法是由L.Ljung[25]提出的常微分方程(ODE)方法,它將收斂性問題轉化為一個常微分方程的穩(wěn)定性問題。在Kalman濾波理論中,文獻[7,10]提出了穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器按實現(xiàn)收斂于相應的最優(yōu)時變Kalman濾波器的動態(tài)誤差系統(tǒng)分析 (DESA)方法。它將按實現(xiàn)收斂性問題轉化為用非齊次差分方程寫的動態(tài)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題;文獻 [10]還提出了穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器均方收斂于時變最優(yōu)Kalman濾波器的動態(tài)方差系統(tǒng)分析 (DVSA)方法。它將均方收斂問題轉化為用一個Laypunov方程寫的動態(tài)方差系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。分別提出和證明了差分方程和Laypunov方程穩(wěn)定性判據(jù)。所提出的DESA方法和DVSA方法是解決Kalman濾波和Wiener濾波收斂性分析的基本工具,它們可解決長期以來沒有解決的自校正濾波器收斂性分析難題;文獻 [15]用DESA方法證明了自校正信息融合Wiener濾波器按實現(xiàn)收斂于相應的穩(wěn)態(tài)最優(yōu)融合Wiener濾波器,文獻[26]用DVSA方法,也稱動態(tài)方差誤差系統(tǒng)分析(DVESA)方法,證明了自校正Riccati方程的收斂性,進而用DESA方法證明了自校正融合Kalman預報器按實現(xiàn)收斂于最優(yōu)融合時變Kalman預報器;文獻[27]用DESA和DVESA方法證明了自校正融合器的收斂性。這些結果構成了自校正融合器收斂性分析理論。

1.4 最優(yōu)加權融合Kalman濾波理論

文獻 [14,28,29]用Lagrange乘數(shù)法分別在線性最小方差意義下提出了按矩陣、按對角陣、按標量加權3種最優(yōu)加權融合準則及融合公式,并提出了多傳感器系統(tǒng)最優(yōu)加權狀態(tài)融合Kalman濾波理論,可處理帶相關噪聲系統(tǒng)[14]、帶不同局部模型 (多模型)系統(tǒng)[14,30]、帶觀測滯后系統(tǒng)[31]及廣義系統(tǒng)[20,32]的多傳感器最優(yōu)分布式融合濾波問題;文獻 [10,33-35]用加權最小二乘法提出了帶相關觀測噪聲或帶相關的輸入噪聲和觀測噪聲的多傳感器系統(tǒng)加權觀測融合Kalman估值器,提出了兩種加權觀測融合算法,并用信息濾波器證明了它們的全局最優(yōu)性,即它們的功能等價于集中式融合Kalman估值器,構成了最優(yōu)加權觀測融合Kalman濾波理論。

1.5 基于Riccati方程的自校正融合Kalman濾波理論

當多傳感器系統(tǒng)含有未知模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計時,它們的在線一致的估值可應用系統(tǒng)辨識方法[25]得到。將它們的在線估計帶入到當模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計已知時的最優(yōu)Kalman融合器中便引出自校正 Kalman濾波器[7]。文獻 [5,26-27,36-38]分別提出了自校正狀態(tài)融合和觀測融合Kalman濾波器或Wiener濾波器,并且應用DESA方法和DVESA方法證明了它們的收斂性,即在按實現(xiàn)意義下它們分別收斂于相應的最優(yōu)融合器。關鍵問題是證明自校正Riccati方程[39]的收斂性;文獻[39]用DVESA方法證明了一般的自校正Riccati方程按實現(xiàn)收斂于最優(yōu) Riccati方程。按隨機過程的一個實現(xiàn)收斂性新概念是在文獻 [15]中首次提出的,它比按概率1收斂性弱。它的重要方法論意義在于：將隨機收斂問題轉化為一個確定性的普通極限問題。上述結果構成了自校正信息融合Kalman濾波理論。這一理論的直接應用是設計自校正融合信號濾波器[40]。

以上是作者關于Kalman濾波方法和Kalman濾波理論的研究進展。

2 現(xiàn)代時間序列分析方法的理論研究進展

本節(jié)綜述了作者用現(xiàn)代時間序列分析方法提出的最優(yōu)和自校正濾波新方法和新理論。

2.1 基于ARMA新息模型的穩(wěn)態(tài)最優(yōu)白噪聲估計理論

白噪聲估計理論是現(xiàn)代時間序列分析方法的理論基礎、關鍵技術和基本工具。文獻 [13]對定常隨機系統(tǒng)提出了基于ARMA新息模型的統(tǒng)一的穩(wěn)態(tài)最優(yōu)白噪聲估計理論。它在統(tǒng)一框架下處理輸入和觀測白噪聲濾波、預報和平滑問題。它完全不同于文獻 [18-19]基于Riccati方程的白噪聲估計理論。這種基于ARMA新息模型的白噪聲估值器可應用于設計ARMA信號Wiener濾波器[41],也可用于設計廣義系統(tǒng)Wiener或 Kalman狀態(tài)估值器[42-43],還可用于設計廣義系統(tǒng)信息融合Wiener狀態(tài)估值器[44]。

2.2 穩(wěn)態(tài)Kalman濾波新方法

文獻 [14]提出了基于ARMA新息模型的穩(wěn)態(tài)Kalman濾波新方法,其中首先基于ARMA新息模型求穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器增益陣,然后用Lyapunov方程求濾波誤差方差陣。它的優(yōu)點是當系統(tǒng)含有未知參數(shù)和噪聲統(tǒng)計時,可通過在線辨識ARMA新息模型設計自校正Kalman濾波器[7,45]。這種穩(wěn)態(tài)Kalman濾波新方法完全不同于采用經(jīng)典Kalman濾波方法的穩(wěn)態(tài) Kalman濾波方法[6],其中首先用求解Riccati方程得到穩(wěn)態(tài)預報誤差方差陣,然后求穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器增益陣。用類似于1.2節(jié)的方法可引出相應的新的時域Wiener濾波方法[10]。

2.3 統(tǒng)一的、通用的時域Wiener濾波新方法

文獻 [44,42,46,47,5,6,10]基于ARMA新息模型、白噪聲估值器和觀測預報器提出了統(tǒng)一的、通用的Wiener狀態(tài)濾波方法,可統(tǒng)一處理正常系統(tǒng)和廣義系統(tǒng)[44,46-48]、帶觀測滯后系統(tǒng)[48]、多傳感器系統(tǒng)[10]的最優(yōu)濾波和信息融合濾波問題?？稍诮y(tǒng)一框架下解決狀態(tài)或信號濾波、預報和平滑問題,克服了用經(jīng)典Kalman濾波方法處理廣義系統(tǒng)和時滯系統(tǒng)狀態(tài)估計時遇到的困難。它不同于1.2節(jié)和2.2節(jié)提出的基于穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器的時域Wiener濾波方法,它們要求計算穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器增益,因而它們不便于處理廣義系統(tǒng)和時滯系統(tǒng)濾波問題。這種時域Wiener濾波方法也克服了頻域Wiener濾波方法不便于處理狀態(tài)估計問題的困難。

2.4 基于ARMA新息模型的最優(yōu)融合濾波理論

該理論包括：多傳感器白噪聲反卷積融合估值器[10,54-55];多通道ARMA信號信息融合Wiener濾波器[31];多傳感器信息融合Wiener狀態(tài)估值器[10];基于ARMA新息模型求穩(wěn)態(tài)Kalman濾波器增益的最優(yōu)加權狀態(tài)融合和觀測融合Kalman濾波理論[10,14];廣義系統(tǒng)降階和非降階融合估值器[10,20,32,44]。

2.5 最優(yōu)Wiener反卷積濾波理論

當系統(tǒng)狀態(tài)或信號被通過一個動態(tài)系統(tǒng)觀測時,則系統(tǒng)狀態(tài)或信號就成為動態(tài)觀測系統(tǒng)的輸入。估計觀測系統(tǒng)的輸入稱為反卷積濾波,在通訊系統(tǒng)、石油地震勘探、無損傷檢驗、信號處理等領域有重要應用背景。白噪聲反卷積 (即輸入白噪聲估計理論)已在文獻 [13,17-19,54-56]被提出。對于系統(tǒng)狀態(tài)或ARMA信號反卷積濾波,文獻 [5,6,57-60]系統(tǒng)地提出了基于ARMA新息模型、利用白噪聲估值器的最優(yōu)反卷積濾波理論,其中對于帶白色和有色觀測噪聲的多通道ARMA信號,文獻 [5,6]提出了4種Wiener反卷積濾波算法。文獻 [59-60]對帶有色觀測噪聲的多通道ARMA信號提出了Wiener反卷積濾波器。文獻 [58]對帶多重觀測滯后和帶有色觀測噪聲系統(tǒng)提出了Wiener狀態(tài)反卷積濾波器。它們均可統(tǒng)一處理反卷積濾波、預報和平滑問題。

2.6 多傳感器信息融合辨識方法

當多傳感器系統(tǒng)含有未知模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計時,為了設計自校正信息融合濾波器,需要在線辨識它們。這是系統(tǒng)辨識的一個新領域。對于辨識ARMA模型,傳統(tǒng)系統(tǒng)辨識方法[25]有兩個局限性：①辨識不帶觀測噪聲的ARMA模型;②只限于辨識帶單個傳感器的ARMA模型。文獻 [49,38,40-41,26]利用相關方法、遞推增廣最小二乘 (RELS)法,遞推輔助變量(RIV)法等對于帶白色觀測噪聲,或帶有色觀測噪聲,或帶公共干擾白色或有色噪聲的單通道或多通道多傳感器ARMA信號,當模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計未知時提出了信息融合多段辨識算法：第一段,基于每個局部傳感器辨識自回歸 (AR)參數(shù),得到AR參數(shù)局部估值器;第二段,用相關方法得到未知噪聲統(tǒng)計的局部估值器;第三段用Gevers-Wouters算法[10]得到滑動平均 (MA)參數(shù)局部估值器?？勺C明這些局部估值器是一致的。用取局部估值器的平均值方法提出了信息融合模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計估值器,它可看成是當未知局部估值統(tǒng)計信息時的最小二乘融合器[26]?？勺C明它也是一致的,且具有較強的魯棒性和可信度。利用局部估值統(tǒng)計信息 (估值誤差方差和互協(xié)方差)的信息融合辨識方法有待于進一步研究。因為在系統(tǒng)辨識理論中目前尚沒有很好解決求參數(shù)估計誤差方差問題[25]。

2.7 基于ARMA新息模型的自校正融合濾波理論

對于帶單個傳感器系統(tǒng),文獻 [7]系統(tǒng)地提出了含未知參數(shù)和噪聲方差系統(tǒng)的自校正濾波理論。它包括自校正白噪聲估值器、自校正Kalman濾波器、自校正Wiener濾波器及其在跟蹤系統(tǒng)中的應用,并用DESA方法證明了它們的收斂性。對于多傳感器系統(tǒng),當系統(tǒng)含未知參數(shù)和/或未知噪聲統(tǒng)計時,基于ARMA新息模型的在線辨識,文獻 [13,15,36,41,50-53]分別提出了自校正加權狀態(tài)融合和加權觀測融合Kalman濾波器或Wiener濾波器,并且應用DESA方法和DVESA方法證明了自校正融合器的收斂性,構成了基于現(xiàn)代時間序列分析方法的自校正信息融合濾波理論。

同1.5節(jié)的基于Riccati方程的自校正融合濾波理論相比較,1.5節(jié)要求辨識原始系統(tǒng)的未知參數(shù)和噪聲統(tǒng)計,但基于ARMA新息模型的自校正融合濾波器有時只需要辨識ARMA新息模型的參數(shù)和新息的方差,而避免了辨識原始系統(tǒng)的所有參數(shù)和噪聲統(tǒng)計,例如文獻 [41,53]就是這種情形。

3 結論及展望

本文綜述了解決濾波問題的3種方法論：Kalman濾波方法、Wiener濾波方法及現(xiàn)代時間序列分析方法,并且綜述了Wiener濾波、Kalman濾波和信息融合濾波理論的研究進展。作者關于現(xiàn)代時間序列分析方法出版了8部專著[4-11],在濾波領域在國內外發(fā)表了500余篇學術論文。由以上綜述可得到如下結論：

1)現(xiàn)代時間序列分析方法是不同于 Kalman濾波和Wiener濾波方法的一種新的方法論,應用它引出一系列新方法、新理論和新的研究方向,其中包括白噪聲估計理論,穩(wěn)態(tài) Kalman濾波新方法,時域Wiener濾波新方法,多段信息融合辨識方法,最優(yōu)和自校正融合濾波理論及收斂性分析理論。

2)上述3種方法論各有其優(yōu)缺點和局限性,各有自己的適用范圍和基本工具?，F(xiàn)代時間序列分析方法的基本工具是ARMA新息模型、白噪聲估值器和 Lyapunov方程;Kalman濾波方法的基本工具是Riccati方程;Wiener濾波方法的基本工具是譜分解和Diophantine方程。白噪聲估計理論是現(xiàn)代時間序列分析方法的特色之一。從科學方法論觀點,用白噪聲估計理論解決隨機系統(tǒng)狀態(tài)或信號估計問題是一種 “化整為零”的方法,即一種局部與整體轉化方法。這是因為一個用白噪聲激勵的線性離散隨機系統(tǒng)的狀態(tài)或信號總可表為在不同時刻白噪聲的值和觀測信號的值的線性組合。因而狀態(tài)或信號估計問題就轉化為白噪聲估計和觀測信號估計問題。Kalman濾波方法適于處理時變系統(tǒng)濾波問題,不便于處理廣義系統(tǒng)和時滯系統(tǒng)濾波問題;現(xiàn)代時間序列分析方法適于處理非時變廣義系統(tǒng)和時滯系統(tǒng)的狀態(tài)估計問題,且適于處理自校正濾波問題,不便于處理時變系統(tǒng)。Kalman濾波適于處理用狀態(tài)空間模型描寫的系統(tǒng),即便于狀態(tài)估計,不便于信號估計,當估計信號時應將其表示為狀態(tài)空間模型和應用增廣狀態(tài)方法。Wiener濾波方法適于處理用傳遞函數(shù)模型描寫的定常系統(tǒng),即便于信號處理不便于狀態(tài)估計。因為ARMA信號本身就是一種傳遞函數(shù)模型,但Wiener濾波方法也不能處理時變系統(tǒng)。而現(xiàn)代時間序列分析方法適用于上述兩種模型描寫的系統(tǒng),它們是相輔相成的。

3)上述3種方法論是相互滲透、相互轉化的。用現(xiàn)代時間序列分析方法解決濾波問題等價于解決穩(wěn)態(tài)Kalman濾波問題或Wiener濾波問題。穩(wěn)態(tài)Kalman估值器等價于相應Wiener估值器,也等價于用現(xiàn)代時間序列分析方法基于ARMA新息模型得到了估值器[10]。構造ARMA新息模型等價于Wiener濾波方法的譜分解[61]。ARMA新息模型也等價于Kalman濾波中的狀態(tài)空間新息模型[62]。

現(xiàn)代時間序列分析方法作為一種最優(yōu)和自校正濾波新的方法論,是富有生命力的,尚有許多問題需要進一步研究,有許多理論需進一步開發(fā),有許多新領域需進一步探索,特別是在多傳感器信息融合估計領域,它具有重要的方法論意義。存在問題和進一步研究方向為：

1)廣義系統(tǒng)信息融合濾波理論。文獻 [5]提出了帶單個傳感器且不帶觀測滯后的廣義系統(tǒng)非遞推狀態(tài)估計理論,其中包括4種非遞推狀態(tài)估計算法。在此基礎上應用現(xiàn)代時間序列分析方法應進一步開發(fā)帶觀測滯后、帶有色觀測噪聲的廣義系統(tǒng)多傳感器信息融合Wiener濾波理論;文獻 [44]僅基于其中一種無觀測滯后的非遞推狀態(tài)估計算法提出了相應的解耦Wiener狀態(tài)融合器;文獻 [20,32]僅給出了在兩種典范型下廣義系統(tǒng)降階信息融合器。應進一步研究在其他典范型下的廣義系統(tǒng)降階融合器,還應進一步研究非廣義系統(tǒng)信息融合濾波理論。

2)多傳感器信息融合系統(tǒng)辨識理論。經(jīng)典系統(tǒng)辨識理論[25]的前提是系統(tǒng)不帶傳感器或只帶單個傳感器,因而對系統(tǒng)模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計不存在信息融合估計問題。但對多傳感器系統(tǒng),基于每個傳感器均可得到系統(tǒng)未知參數(shù)和噪聲統(tǒng)計的局部估值器。如何組合或加權這些局部估值器得到最優(yōu)融合估值器,其精度比每一個局部估值器的精度高,就成為多傳感器系統(tǒng)辨識理論的基本問題。這是一個新的研究領域,雖然文獻 [40,41,49,52]提出用局部估計的算術平均作為融合估值,但其精度有待于進一步改進。因為融合估值沒有用到局部估值誤差方差陣和互協(xié)方差陣的統(tǒng)計信息。然而求模型參數(shù)和噪聲統(tǒng)計估計誤差方差和互協(xié)方差的問題目前尚未很好地解決[25]。應進一步探求用DESA方法和DVESA方法解決某些模型參數(shù)估計遞推算法的按實現(xiàn)收斂性問題。新近文獻 [63]用DESA方法證明了多變量偏差補償遞推最小二乘算法按實現(xiàn)收斂性。為了設計自校正信息融合濾波器,有待于進一步開發(fā)在噪聲環(huán)境下的多傳感器系統(tǒng)快速收斂辨識算法。目前遞推增廣最小二乘法 (RELS)、遞推輔助變量法 (RIV)等常用算法收斂速度有待于進一步提高。應進一步加強辨識算法統(tǒng)計 (參數(shù)估計方差、協(xié)方差)特性研究,這是解決最優(yōu)信息融合參數(shù)估計問題所必須的信息。

3)協(xié)方差交叉融合魯棒Kalman和Wiener濾波理論。為了實現(xiàn)最優(yōu)加權融合器要求已知局部估計的互協(xié)方差陣。但是在許多理論和應用問題中,局部估計互協(xié)方差是未知的[25],或計算互協(xié)方差公式非常復雜,計算量大[30-31]。為了避免求局部估計互協(xié)方差,文獻 [16,64,65]利用凸組合矩陣加權方法提出了協(xié)方差交叉融合方法,它不要求計算局部估計互協(xié)方差,它給出了不依賴于未知互協(xié)方差的融合估計的方差的上界,其精度比每個局部估計精度高,因而關于未知互協(xié)方差具有魯棒性。但其缺點是求最優(yōu)加權系數(shù)是一個多維非線性最優(yōu)化問題,要求較大計算負擔。可對帶白色或有色觀測噪聲系統(tǒng)或帶觀測滯后系統(tǒng),用Kalman濾波方法或現(xiàn)代時間序列分析方法求系統(tǒng)狀態(tài)或信號局部估值器及其方差陣,然后可用協(xié)方差交叉融合方法設計魯棒融合估值器[66-68]。這是一個新的研究方向。

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