一種基于結(jié)構(gòu)函數(shù)的系統(tǒng)等價簡化的方法

李 霞，侯 兵，侯雪梅

LI Xia1,HOU Bing2,HOU Xue-mei3

（1. 河南財經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)計系，鄭州 450002；2. 華北水利水電學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，鄭州 450011；3. 解放軍信息工程大學(xué) 理學(xué)院 電子系，鄭州 450001）

0 引言

系統(tǒng)是由一些基本部件組成的完成某種指定功能的整體，系統(tǒng)的概念是相對的，例如一個核電站可以看成一個系統(tǒng)，而其中的安全保護裝置看成它的一個部件，但是如果單獨研究安全保護裝置，則它又可以看成一個系統(tǒng)。

系統(tǒng)部件之間的組合形式是多種多樣的，可以是并聯(lián)、串聯(lián)或者其它一些復(fù)雜的組合形式。很多情況下，總假定系統(tǒng)的部件之間是相互獨立的，現(xiàn)實中，部件之間往往是不獨立的，而Copula作為一種刻畫隨機變量之間相依性的方法，近幾年受到許多統(tǒng)計學(xué)者的關(guān)注.它的出現(xiàn)使隨機變量之間的相依性刻畫逐漸趨于完善，Copula理論不僅可以用于概率、統(tǒng)計和隨機過程中，而且它在其它領(lǐng)域應(yīng)用也非常廣泛.這里就是在新的結(jié)構(gòu)函數(shù)定義[1]基礎(chǔ)上，將Copula方法應(yīng)用到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的研究當(dāng)中去。

1 背景知識

對于一個系統(tǒng)，首先關(guān)注的是它的結(jié)構(gòu)，在可靠性理論中，從0和1兩個狀態(tài)出發(fā)給出了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的定義。

定義1.1[2]：對任意的結(jié)構(gòu)向量x={x1,x2,...,xn}，其中xi表示各部件所處的狀態(tài)，取值分別為0和1，若用ξ(x)記系統(tǒng)的狀態(tài)，則它是{0,1}n→{0,1}上的一個函數(shù)，并稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù).

由定義，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)ξ(x)是連接系統(tǒng)狀態(tài)和部件狀態(tài)的一個函數(shù).在定義中，只涉及到正常和失效兩種狀態(tài)，失效是一種最簡單的狀態(tài)。若系統(tǒng)失效，則系統(tǒng)的可靠度以及累積失效率都為0；但若系統(tǒng)正常，此時只知道系統(tǒng)的狀態(tài)為1，而可靠度以及累積失效率這些表征系統(tǒng)的量卻無從知曉，為了全面描述系統(tǒng)所處的狀態(tài)，文獻[1]中從累積失效率出發(fā)引出了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的另一種定義。

定義1.2[1]：若一個系統(tǒng)在 時刻的累積失效率λ(t)可以用

表示出來，則這樣的系統(tǒng)稱為阿基米德單調(diào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，其中Λ(λ1(t),λ2(t),...,λn(t))稱為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)，λi(t),i=1,2,...,n表示各部件在t時刻的累積失效率；θ(t)是[0,+∞)→(-∞,+∞)上的連續(xù)減函數(shù)，稱為結(jié)構(gòu)函數(shù)的生成元；θ[-1](t)為θ(t)的偽-逆，θ0(t)是[0,+∞]→[0,+∞)上的連續(xù)增函數(shù)，并稱θ0(t)為θ(t)的伴隨函數(shù)。

由定義，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)Λ(λ1(t),λ2(t),...,λn(t))是連接部件的累積失效率和系統(tǒng)累積失效率的一個函數(shù)，一個系統(tǒng)或部件在不同時刻的累積失效率一般不同，因此，可以用累積失效率描述系統(tǒng)或部件在不同時刻所處的狀態(tài)，而Λ(λ1(t),λ2(t),...,λn(t))則可以認為是連接部件狀態(tài)和系統(tǒng)狀態(tài)的一個函數(shù)，系統(tǒng)不同，其連接函數(shù)肯定不同，定義中給出了一種特殊的連接形式，并把可以用這種形式來連接的系統(tǒng)稱為阿基米德單調(diào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

copula的概念是sklar在1959年回答M.Frechet關(guān)于多維分布函數(shù)和低維邊緣之間關(guān)系的問題時首次被引入的.

何謂copula？ copula是連接多維分布函數(shù)和一維邊緣分布函數(shù)的函數(shù)。換句話說，copula是一個多維分布函數(shù)，并且其邊緣分布函數(shù)是服從(0,1)區(qū)間上的均勻分布的。

定義1.3[3]：copula是一個[0,1]2→[0,1]的函數(shù)，且滿足

1）C(u,0)=C(0,v)=0，C(u,1)=u，C(1,v)=v

可以驗證copula是一個定義在[0,1]×[0,1]上的二維分布函數(shù)，其邊緣分布是[0,1]上的均勻分布。對于多維的可類似推廣得到。

1941年，Widder給出了完全單調(diào)函數(shù)的定義.

定義1.4[4]：函數(shù)f(x)在它的定義域中是完全單調(diào)的，如果它滿足：

1）f(x)的任意階導(dǎo)數(shù)都存在；

2）f(x)的所有階導(dǎo)數(shù)符號依次發(fā)生改變.

在此定義基礎(chǔ)上，Schweizer and Sklar引出了一個生成元φ(t)能生成任意維Copula的充分必要條件。

定理1.1[5]：設(shè)φ是[0,1]→[0,+∞)上連續(xù)嚴格降函數(shù)，即φ(0)=+∞，φ(1)=0，用φ-1表示φ的逆函數(shù)，若Cn=φ-1(φ(u1)+φ(u2)+...+φ(un))是[0,1]n→[0,1]上函數(shù)，則Cn對任意的n≥2都為Copula的充分必要條件是φ-1在 [0,+∞]上是完全單調(diào)的。

實際中所用到的Copula維數(shù)一般都是確定的，因此下面定理更為常用。

定理1.2[6]：設(shè)φ(t)是[0,1]→[0,+∞)上連續(xù)降函數(shù)，且φ(1)=0，用φ[-1](t)表示φ(t)的偽-逆函數(shù)，若φ[-1](t)的m階導(dǎo)數(shù)存在，且符號發(fā)生改變，即對所有k=0,1,2,...,m，則此時稱φ[-1](t)在[0,+∞)是m-單調(diào)的，且Cn=φ[-1](φ(u1)+φ(u2)+...+φ(un))對于所有2≤n≤m是一個Copula。

定理中，由φ[-1](t)所生成的CopulaCn=φ[-1](φ(u1)+φ(u2)+...+φ(un))被稱為阿基米德Copula.這里只給出二維阿基米德Copula的定義。

定義1.5[7]：設(shè)φ(t)是[0,1]→[0,+∞]上的連續(xù)、嚴格降的凸函數(shù)，且φ(t)=0，設(shè)φ[-1](t)是φ(t)的偽-逆函數(shù)，則C(u,v)=φ[-1](φ(u)+φ(v))被稱為阿基米德Copula。其中φ(t)被稱為Copula C的生成元，特殊地，若φ(0)=∞，則φ(t)稱為嚴格生成元，這種情況下φ[-1](t)=φ-1(t)，且C(u,v)=φ[-1](φ(u)+φ(v))被稱為嚴格的阿基米德Copula。

本文利用定義1.2中提出的結(jié)構(gòu)函數(shù)的定義并結(jié)合copula的有關(guān)性質(zhì)給出了一種系統(tǒng)等價簡化的方法，為系統(tǒng)的研究提供了基礎(chǔ)。

2 主要結(jié)果

定義2.1：設(shè)Λ1(t)、Λ2(t)分別表示系統(tǒng)L1和L2在 t時刻的累積失效率，若對任意t∈[a,b]，其中0≤a〈b≤+∞，都有Λ1(t)=Λ2(t)，則稱系統(tǒng)L1和L2在時刻a與時刻b之間是等價的.

定理2.1：設(shè)系統(tǒng)L是一個阿基米德單調(diào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，即系統(tǒng)在t時刻的累積失效率為λ(t)=θ[-1](θοθ0(λ1(t))+θοθ0(λ2(t))+θοθ0(λn(t)))，假設(shè)θ0(t)是[0,+∞)→[0,+∞)上嚴格增函數(shù)，1）設(shè)f(t)=-1n(1-t)，若(θοf(t))[-1]在[0,+∞)上是n-單調(diào)的，θ(t)是 [0,+∞)→[0,+∞)上單調(diào)減函數(shù)，且θ(+∞)=0，則此系統(tǒng)可等價為一個n個部件所組成的并聯(lián)系統(tǒng)；2）設(shè)g(t)=-1n(t)，若(-θοg(t))[-1]在[0,+∞)上是n-單調(diào)的，θ(t)是[0,+∞)→(0,+∞]上單調(diào)減函數(shù)，且θ(0)=0，則此系統(tǒng)可等價為一個n個部件所組成的串聯(lián)系統(tǒng).

證明：設(shè)系統(tǒng)中各部件的壽命分布函數(shù)分別為Fi(t)=1-e-λi(t)，且令λ'i(t)=θ0(λi(t))，F(xiàn)'i(t)=-1-e-λi'(t)=1-e-θ0(λi(t))=1-e-θ0(-1n(1-Fi(t)))，這里i=1,2,...,n。由于θ0(t)是[0,+∞)→[0,+∞)上的嚴格增函數(shù)，則Fi'(0)=0，F(xiàn)i'(+∞)=1，且Fi'(t)在[0,1]上是非降函數(shù)，因此Fi'(t)是一個分布函數(shù).這樣系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)可以改寫為λ(t)=θ[-1](θλi'(t))+...+θ(λn'(t)))（*）

1）由已知θ(t)是[0,+∞)→[0,+∞)上單調(diào)減函數(shù)，且θ(+∞)=0，令φ(t)=θ(-1n(1-t))，則φ(t)是[0,1]→[0,+∞)上減函數(shù)，且φ(1)=φ(+∞)=0，由θ(t)=φ(1-e-1)得θ[-1](t)=-1n(1-φ[-1](t))。把θ(t)=φ(1-e-1)以及θ[-1](t)=-1n(1-φ[-1](t))代入（*）式得

由已知(θοf(t))[-1]，其中f(t)=-1n(1-t)是n-單調(diào)的，故φ[-1](t)是n-單調(diào)的，又由1中定理1.1可知φ[-1](φF1'(t))+φ(F2'(t))+...+φ(Fn'(t)))可構(gòu)造出一個n維Copula Cn，則λ(t)=-1n(1-Cn(F1'(t),F2'(t)+...+Fn'(t)))。

現(xiàn)給出另一系統(tǒng)L'，假若此系統(tǒng)由n個部件并聯(lián)而成，n個部件的壽命分別用Xi表示，壽命分布函數(shù)分別用F'i(t)表示，i=1,2,...,n，若n個部件壽命之間具有Copula Cn，則系統(tǒng)L'在t時刻累積失效率為：

故系統(tǒng)L和系統(tǒng)L'等價，其中L'是部件壽命之間具有Cn的并聯(lián)系統(tǒng).

2）θ(t)是[0,+∞)→(-∞,0]上單調(diào)減函數(shù)且θ(0)=0，令φ(t)=-θ(-1nt)，則φ(t)是[0,1]→[0,+∞]上減函數(shù)，且φ(t)=0，由θ(t)=-φ(e-t)得θ[-1](t)=-1nφ[-1](-t)，把θ(t)=-φ(e-t)以及θ[-1](t)=-1nφ[-1](-t)代入（*）式得

由已知(-θοg(t))-1，其中g(shù)(t)=-1n(t)是n-單調(diào)的，故θ[-1](t)是n-單調(diào)的。又由1中定理1.1可知φ[-1](φF1'(t))+φ(F2'(t))+...+φ(Fn'(t)))可構(gòu)造出一個n維Copula Cn，λ(t)=-1nCn(1-F1'(t),1-F2'(t)...1-Fn'(t))

現(xiàn)給出另一系統(tǒng)L'，此系統(tǒng)由n個部件串聯(lián)而成，且n個部件的壽命分別用Xi表示，壽命分布函數(shù)分別用Fi'(t)表示，i=1,2,...,n，若n個部件壽命之間具有（表示Cn的生存Copula[7]），則系統(tǒng) L'在t時刻累積失效率為：

故系統(tǒng)L和系統(tǒng)L'等價，其中L'是n個部件串聯(lián)所組成的系統(tǒng)，且部件壽命之間具有其中Cn是一個n-維Copula.

3 應(yīng)用

命題3.1：由nm個獨立部件所構(gòu)成的串-并聯(lián)系統(tǒng)L中，若每個并聯(lián)子系統(tǒng)中部件個數(shù)都是n，且m個子系統(tǒng)中所有部件的壽命分布分別對應(yīng)相同，即Fij(t)=Fj(t)，i=1,2,...,m；i=1,2,...,n現(xiàn)驗證此類系統(tǒng)在某種情況下可等價為一個并聯(lián)系統(tǒng).

證明：由于系統(tǒng)L是阿基米德單調(diào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，即系統(tǒng)L在t時刻累積失效率為：

這里不妨設(shè)m=2，下面驗證ξ(t)=1-(1-e-t)2是n-單調(diào)的。

由ξ(t)=1-(1-e-t)2=2e-t-e-2t，則ξ'(t)=-2e-t(1-e-t)，ξ''(t)=2e-t(1-2e-t) ，ξ'''(t)=-2e-t(1-22e-t),… ,ξ(n)(t)=(-1)n2e-t(1-2n-1e-t)。

若要保證ξ(t)是n-單調(diào)的，需1-2n-1e-t≥0，即t≥(n-1)1n2。故當(dāng)t∈[(n-1)1n2,+∞]時，由2n個獨立部件所構(gòu)成的串-并聯(lián)系統(tǒng)和另一并聯(lián)系統(tǒng)等價。

說明：

1）在串-并聯(lián)系統(tǒng)中，每個并聯(lián)子系統(tǒng)部件個數(shù)都是n，且兩個子系統(tǒng)中所有部件壽命分布分別對應(yīng)相同，另外，n個部件之間是相互獨立的.

2）等價后的并聯(lián)系統(tǒng)中，每個部件壽命的分布函數(shù)和串-并聯(lián)系統(tǒng)中部件的壽命分布函數(shù)存在關(guān)系并且并聯(lián)系統(tǒng)中， n個部件壽命之間具有其中Cn是由所生成的 維Copula。

利用同樣方法，可以驗證m取其它值的情況.

命題3.2：由nm個獨立部件所構(gòu)成的并-串聯(lián)系統(tǒng)L中，若每個串聯(lián)子系統(tǒng)中部件個數(shù)都是n，且m個子系統(tǒng)中所有部件的壽命分布分別對應(yīng)相同，即Fij(t)=Fj(t)，i=1,2,...,m，j=1,2,...,n，現(xiàn)驗證此類系統(tǒng)在某種情況下可等價為一個串聯(lián)系統(tǒng).

解：由于系統(tǒng)L是阿基米德單調(diào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)[1]，即系統(tǒng)L在t時刻累積失效率為：

根據(jù)命題3.1的討論結(jié)果，若m=2，且t∈[(n-1)1n2,+∞]時，φ[-1](t)=1-(1-e-t)2是n-單調(diào)的，故當(dāng)t∈[(n-1)1n2,+∞]時，由2n個獨立部件所構(gòu)成的并-串聯(lián)系統(tǒng)可等價為一并聯(lián)系統(tǒng)。

說明：

1）在并-串聯(lián)系統(tǒng)中，每個串聯(lián)子系統(tǒng)部件個數(shù)都是n，且兩個子系統(tǒng)中所有部件壽命分布分別對應(yīng)相同，另外，n個部件之間是相互獨立的.

2）等價后所成的串聯(lián)系統(tǒng)中，每個部件的壽命分布函數(shù)和并-串聯(lián)系統(tǒng)中部件的壽命分布函數(shù)存在關(guān)系并且串聯(lián)系統(tǒng)中，n個部件壽命之間具有其中Cn是由所生成的n維Copula。

利用定理2.1還可以把部件之間不獨立的一些復(fù)雜系統(tǒng)進行結(jié)構(gòu)簡化.

顯然(θ(-1n(1-t)))[-1]不僅是n-單調(diào)，而且是完全單調(diào)的，故此系統(tǒng)可等價為一并聯(lián)系統(tǒng)，如圖所示：

其中圖中等價后所得的并聯(lián)系統(tǒng)中，每個部件的壽命分布函數(shù)和并-串聯(lián)系統(tǒng)中每個部件壽命分布函數(shù)存在關(guān)系i=1,2,...,n，且n個部件壽命之間具有Copula Cn，其中Cn是由所生成的 維Copula。

利用同樣的方法可以把更多的阿基米德單調(diào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)等價為結(jié)構(gòu)較為簡單的系統(tǒng)。通過系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)函數(shù)直接可以把系統(tǒng)簡化，這一點充分體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)函數(shù)構(gòu)造方法的優(yōu)越性。

等價系統(tǒng)的尋找一直是一件比較困難的事情，文中提出的方法通過具體例子展示了其可行性，但是由于目前對阿基米德單調(diào)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的研究剛剛開始，還沒能夠更多的尋找出屬于這種特殊系統(tǒng)的系統(tǒng)類型，這一點在很大程度上限制了等價方法的應(yīng)用.因此，尋找更多的屬于這種系統(tǒng)的系統(tǒng)類型是今后的主要工作。

[1] 李霞,侯兵.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)函數(shù)的一種新的構(gòu)造方法[J].華北水利水電學(xué)院學(xué)報,2009(3).

[2] 曹晉華,程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論[M].北京：高等教育出版社,2006,143-144

[3] Sklar,A."Functions de repartition an dimensions et leurs marges",Publ.Inst.Statist.Univ.Paris 8,229-231,1959.

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[5] Schweizer,B.and Sklar,A.Probabilistic Metric Spaces (North-Holland,New York)[M].1983.

[6] Feller,W.An Introduction to Probability Theory and Its Applications[M]Vol.Ⅱ,2nd Ed.(John Wiley and Sons,New York),1971.

[7] Roger B.Nelsen. An Introduction to Copulas [M].1998.