基于威布爾分布并聯(lián)模型的發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性分析方法

古瑩奎，周志博

GU Ying-kui，ZHOU Zhi-bo

（江西理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，贛州 341000）

0 引言

對(duì)車(chē)用發(fā)動(dòng)機(jī)來(lái)講，長(zhǎng)期積累的故障數(shù)據(jù)是龐大的，如何從海量的故障數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)設(shè)備的故障規(guī)律或?qū)Πl(fā)動(dòng)機(jī)的壽命做出合理的預(yù)測(cè)，對(duì)提高其可靠性、降低使用成本有著積極的意義。在進(jìn)行其可靠性分析過(guò)程中，關(guān)鍵問(wèn)題在于如何能夠?qū)ふ掖_切反映系統(tǒng)失效機(jī)理并與失效數(shù)據(jù)的分析結(jié)果相符合的失效分布規(guī)律。常用的方法是將故障或失效數(shù)據(jù)擬合成某種分布形式，在確定出各分布參數(shù)之后，對(duì)失效數(shù)據(jù)進(jìn)行可靠性評(píng)估和預(yù)測(cè)。威布爾分布對(duì)于各種類(lèi)型的可靠性數(shù)據(jù)擬合能力很強(qiáng)，是可靠性分析技術(shù)中使用最為廣泛的一種數(shù)學(xué)模型。文獻(xiàn)[1,2]總結(jié)了多種威布爾模型及其特征，如混合分布模型、分段模型和競(jìng)爭(zhēng)風(fēng)險(xiǎn)模型等。文獻(xiàn)[3]提出了一種混合威布爾分布參數(shù)估計(jì)的L-M算法。文獻(xiàn)[4,5]總結(jié)了多種改進(jìn)威布爾模型及其概率圖特征，并且提出了對(duì)于給定失效數(shù)據(jù)選取相應(yīng)模型的方法。文獻(xiàn)[6]詳細(xì)討論了兩重混合威布爾模型、兩重分段模型和兩重競(jìng)爭(zhēng)風(fēng)險(xiǎn)模型的概率圖特征及其參數(shù)的圖估計(jì)法。文獻(xiàn)[7]提出了一種威布爾分布下平均壽命置信限的評(píng)估方法。本文在在簡(jiǎn)單weibull分析方法的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步采用weibull并聯(lián)模型對(duì)曲柄連桿機(jī)構(gòu)失效數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并采用作圖法估計(jì)分布參數(shù)，更為精確地描述機(jī)構(gòu)壽命周期內(nèi)失效分布曲線(xiàn)，掌握其失效規(guī)律，為發(fā)動(dòng)機(jī)的可靠性指標(biāo)計(jì)算提供必要的統(tǒng)計(jì)信息。

1 威布爾分布的數(shù)學(xué)模型

1.1 標(biāo)準(zhǔn)的威布爾分布模型

標(biāo)準(zhǔn)威布爾分布模型用于描述某零部件在單一失效模式下的故障發(fā)生規(guī)律。若隨機(jī)變量T為服從威布爾分布時(shí)，其失效分布函數(shù)為：

威布爾分布密度函數(shù)和失效率函數(shù)分別為：

式中：γ為位置參數(shù)，表示分布曲線(xiàn)的起始位置，η為尺度參數(shù)，又稱(chēng)為特征壽命，β為形狀參數(shù)，β取不同值時(shí)，威布爾曲線(xiàn)有不同的形狀。β〈1時(shí)，失效率隨著壽命的增長(zhǎng)而下降，適用于描述為早期失效；β=1時(shí)，失效率為常數(shù)，適用于描述浴盆曲線(xiàn)的平坦部分；β〉1時(shí)，失效率隨著壽命的增長(zhǎng)而明顯上升，適用于描述疲勞和磨損失效。當(dāng)γ=0時(shí)為兩參數(shù)威布爾分布，從t = 0時(shí)刻開(kāi)始描述失效狀態(tài)。

1.2 威布爾分布并聯(lián)模型

由兩個(gè)兩參數(shù)威布爾分布形成的并聯(lián)模型的累積失效分布函數(shù)F(t)為：

事實(shí)上對(duì)于兩參數(shù)威布爾分布來(lái)說(shuō)，即使F1(t)精確地等于F2(t)時(shí)，F(xiàn)1(t)=(F1(t))2也不會(huì)退化為一個(gè)單威布爾分布。其可靠性函數(shù)為：

2 威布爾參數(shù)估計(jì)的回歸分析方法

回歸分析是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中建立在對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行大量試驗(yàn)和觀察的基礎(chǔ)上，解決變量之間關(guān)系的一種方法。線(xiàn)性回歸是描述兩個(gè)變量之間關(guān)系的最簡(jiǎn)單模型。對(duì)于給定訓(xùn)練樣本集，{(xi,yi),i=1,2,...,n}其中，xi為輸入值，yi為對(duì)應(yīng)的目標(biāo)值，n為樣本數(shù)，設(shè)f(x)為通過(guò)對(duì)樣本集的學(xué)習(xí)而構(gòu)造的回歸估計(jì)函數(shù)：

利用樣本集求出回歸系數(shù)w和b，常用的方法是最小二乘法。

威布爾分布的失效分布圖并不是線(xiàn)性關(guān)系，為了用回歸分析法解決問(wèn)題，可以將它們變換成線(xiàn)性關(guān)系。對(duì)威布爾分布的失效分布函數(shù)進(jìn)行如下變換：

用最小二乘法計(jì)算A和B的估計(jì)值，然后計(jì)算β、η的估計(jì)值。

回歸分析方法比較簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)編程。為檢驗(yàn)回歸分析的準(zhǔn)確程度，可以進(jìn)行線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn)。線(xiàn)性相關(guān)性檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)變量x與y之間是否真正存在線(xiàn)性相關(guān)性。線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)為：

線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)越接近于1，x與y之間的線(xiàn)性關(guān)系越強(qiáng)，即回歸分析的準(zhǔn)確程度越高。

3 曲柄連桿機(jī)構(gòu)失效數(shù)據(jù)威布爾分析方法

曲柄連桿機(jī)構(gòu)作為柴油機(jī)的重要組成部件，對(duì)柴油機(jī)的性能及可靠性起著極其重要的作用，一旦出現(xiàn)問(wèn)題就會(huì)造成整機(jī)的癱瘓甚至報(bào)廢，這將直接影響設(shè)備的運(yùn)轉(zhuǎn)甚至導(dǎo)致十分嚴(yán)重的后果。對(duì)曲柄連桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行壽命周期內(nèi)可靠性試驗(yàn)及失效分布分析是掌握其失效規(guī)律與提高其可靠性的重要途徑和方法。以6108ZQ機(jī)曲軸止推片為對(duì)象，探討其失效規(guī)律。

3.1 曲軸止推片的失效數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

收集使用過(guò)程中的各失效故障數(shù)據(jù)、維修記錄數(shù)據(jù)、反饋信息以及發(fā)動(dòng)機(jī)試驗(yàn)中的各種失效的詳細(xì)數(shù)據(jù)。表1是曲軸止推片的故障統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，為了便于從總體上了解曲軸止推片的故障分布規(guī)律變化曲線(xiàn)，繪制了分段失效分布圖，如圖1所示。

表1 6108ZQ柴油機(jī)曲軸止推片失效分布統(tǒng)計(jì)表

從圖1中可以看出，在早期階段（里程數(shù)小于5000km），失效率相對(duì)較高，主要是因?yàn)榍S止推片在這一階段處于磨合期，存在一些裝配配合與磨合問(wèn)題，導(dǎo)致曲軸止推片發(fā)生磨損、調(diào)整不當(dāng)?shù)裙收?。?00000km以后，失效率相對(duì)變高，主要故障原因呈現(xiàn)為曲軸止推片的異常磨損和斷裂。此外，從失效率曲線(xiàn)可以看出，該失效率比較符合浴盆曲線(xiàn)的特征，因而可用威布爾分布對(duì)曲軸止推片的失效數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

圖1 分段失效分布圖

3.2 曲軸止推片失效數(shù)據(jù)的威布爾分析

對(duì)失效數(shù)據(jù)按失效里程先后順序排序后，由公式(7)可得：

其中：i表示該失效數(shù)據(jù)的排序編號(hào)，ti表示第i次失效的里程（km），F(xiàn)(ti)表示第i次失效對(duì)應(yīng)的失效概率，n為所取臺(tái)機(jī)總數(shù)。

將變換后的失效數(shù)據(jù)繪制的WPP圖上，如圖2所示。

圖2 失效數(shù)據(jù)的WPP圖

采用回歸分析法求所擬威布爾分布參數(shù)，由公式(9)～(11)可求得簡(jiǎn)單威布爾分布參數(shù)由該簡(jiǎn)單威布爾分布函數(shù)擬合的失效數(shù)據(jù)圖如圖3所示。

從圖中可以看出，失效數(shù)據(jù)在WPP中明顯不分布在一條直線(xiàn)附近，即失效數(shù)據(jù)不太符合簡(jiǎn)單的威布爾分布，也就是說(shuō)“t1,t2,...,tn來(lái)自某個(gè)威布爾分布母體”的假設(shè)不成立。因此，對(duì)失效數(shù)據(jù)采用簡(jiǎn)單的威布爾模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)以及分布擬合是不太合理的。由此對(duì)曲軸止推片失效數(shù)據(jù)選擇由兩個(gè)兩參數(shù)威布爾分布形成的并聯(lián)模型進(jìn)行擬合。

圖3 簡(jiǎn)單威布爾擬合的圖形

采用威布爾并聯(lián)模型建模，并采用WPP法估計(jì)參數(shù)，其步驟為：

1）將圖3擬合的圖形兩端各畫(huà)一條切線(xiàn)，令LR和LL分別表示右切線(xiàn)和左切線(xiàn)，βR和βL分別表示右切線(xiàn)和左切線(xiàn)的斜率，如圖4所示。

圖4 WPP參數(shù)估計(jì)分析

由圖4可知，βR=0.5747，βL=4.2。

2）由于βL＞2βR，所以有[1]：

可得：β1=0.5747，β2=3.6253。

3）令I(lǐng)n(ηk)和In(ηL)分別是LR和LL在x軸上的截距，由圖可知，In(ηR)=8.95，In(ηL)=7.9。又由于：

可得：η1=7703.1，η2=2283.6。

4）通過(guò)WPP參數(shù)估計(jì)，獲得曲軸止推片失效分布函數(shù)為：

表2給出了簡(jiǎn)單威布爾模型和威布爾并聯(lián)模型在取不同失效數(shù)據(jù)范圍下的偏差SSE和ASE的對(duì)比，其表達(dá)式分別為式(13)和(14)。

表2 簡(jiǎn)單威布爾模型和威布爾并聯(lián)模型對(duì)比

圖5 簡(jiǎn)單威布爾模型與并聯(lián)模型失效點(diǎn)對(duì)比

圖5顯示了簡(jiǎn)單威布爾模型與威布爾并聯(lián)模型對(duì)失效數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合程度。從圖中可以清晰的看出威布爾并聯(lián)模型在大部分的失效階段對(duì)實(shí)際失效數(shù)據(jù)點(diǎn)的貼近程度都高于簡(jiǎn)單威布爾分布模型，這充分說(shuō)明采用威布爾并聯(lián)模型對(duì)曲軸止推片壽命周期內(nèi)失效數(shù)據(jù)進(jìn)行分析是優(yōu)于簡(jiǎn)單威布爾分布模型的。

4 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸止推片失效數(shù)據(jù)的分析，證明采用簡(jiǎn)單Weibull失效分布不能較好的擬合失效數(shù)據(jù)點(diǎn)，特別是在早期和中期故障階段。因此，采用并聯(lián)Weibull失效分布模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。給出了兩種參數(shù)估計(jì)的方法，并詳細(xì)描述了使用WPP作圖法分析求解的過(guò)程。結(jié)果表明，采用并聯(lián)Weibull能較好的擬合失效數(shù)據(jù)，偏差大大低于簡(jiǎn)單Weibull失效模型。

[1] 蔣仁言.威布爾模型族－特性、參數(shù)估計(jì)和應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,1998.

[2] Bucar T,Nagode M,Fajdiga M.Reliability approximation using finite Weibull mixture distributions[J].Reliability Engineering & System Safety,2004,87(3)：241-251.

[3] 凌丹,黃洪鐘,張小玲,蔣工亮.混合威布爾分布參數(shù)估計(jì)的L_M算法[J].電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),2008,37(4)：634-636.

[4] Murthy D N P,Bulmer M,Eccleston J A.Weibull model selection for reliability modeling[J].Reliability Engineering& System Safety,2004,86(3)：257-267.

[5] Pham H,Lai C D.On recent generalizations of the Weibull distribution[J].IEEE Transactions on Reliability,2007,56(3)：454-458.

[6] Jiang R Y,Murthy D N P.Reliability modeling involving two Weibull distributions[J].Reliability Engineering &System Safety,1995,47(3)：187-198.

[7] 李學(xué)京.威布爾分布下平均壽命置信限的評(píng)估方法研究[J].應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì),2010,26(1)：47-56.