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    H∞與滑模融合控制算法在磁懸浮系統(tǒng)中的應(yīng)用

    2014-07-07 01:50:22李丹丹何榮卜張彩紅
    關(guān)鍵詞:六盤水磁懸浮魯棒性

    李丹丹,何榮卜,張彩紅

    1.六盤水師范學(xué)院礦業(yè)工程系,貴州六盤水 553004

    2.六盤水供電局城區(qū)供電分局,貴州六盤水 553004

    H∞與滑模融合控制算法在磁懸浮系統(tǒng)中的應(yīng)用

    李丹丹1,何榮卜2,張彩紅1

    1.六盤水師范學(xué)院礦業(yè)工程系,貴州六盤水 553004

    2.六盤水供電局城區(qū)供電分局,貴州六盤水 553004

    磁懸浮系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中會(huì)出現(xiàn)模型攝動(dòng)和各種外界干擾,提高磁懸浮系統(tǒng)的魯棒性非常重要,給出了磁懸浮系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型;結(jié)合H∞控制和滑??刂频膬?yōu)點(diǎn),給出一種H∞控制和滑??刂频娜诤纤惴?,把該算法應(yīng)用在磁懸浮系統(tǒng)中;通過Matlab仿真,驗(yàn)證了該算法能有效抑制磁懸浮系統(tǒng)中存在的確定性和不確定性干擾,從而使控制系統(tǒng)的性能得到提高。

    磁懸浮;積分滑模;魯棒;H∞控制

    1 引言

    磁懸浮技術(shù)在交通、冶金、機(jī)械、電器、材料等方面有廣闊應(yīng)用前景。其中最為重要的應(yīng)用有磁懸浮列車、磁懸浮軸承、高速磁懸浮電機(jī)、磁懸浮鼓風(fēng)機(jī)、磁懸浮潛水電泵。磁懸浮控制系統(tǒng)要求其在運(yùn)行過程中必需能夠在種種不確定因素下仍能保持較好的性能,所以對(duì)磁浮系統(tǒng)設(shè)計(jì)魯棒性較好的控制器非常必要。滑模變結(jié)構(gòu)控制作為一種魯棒控制方法,僅僅對(duì)滿足匹配條件的內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)和外部擾動(dòng)具有良好的魯棒性限制了該方法在實(shí)際方面的應(yīng)用[1-2]。因而要克服系統(tǒng)中的非匹配不確定性,必須結(jié)合其他的控制方法構(gòu)造具有魯棒性的滑??刂葡到y(tǒng),文獻(xiàn)[3]將系統(tǒng)中的不確定性轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI約束條件,進(jìn)而設(shè)計(jì)滑模面,一旦系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)滑模面,就能實(shí)現(xiàn)對(duì)不確定性的不變性,但是這種方法只能解決一部分非匹配不確定性問題,并且對(duì)不確定性的限制也比較苛刻。文獻(xiàn)[4]提出了一種自調(diào)整的切換控制算法,該算法在某種程度上改善了滑??刂破鞯牟蛔?,但是上述相當(dāng)一部分控制策略其算法復(fù)雜、動(dòng)態(tài)性能較差,這與滑模變結(jié)構(gòu)控制簡(jiǎn)單、靈活的特點(diǎn)并不一致。這些不足通常使得在實(shí)際應(yīng)用中遇到很大的困難。在文獻(xiàn)[5]中給出了一個(gè)很好的控制器設(shè)計(jì)策略:把積分滑模控制和魯棒控制結(jié)合在一起可以有效地保證系統(tǒng)在不匹配不確定下仍然穩(wěn)定。所以本文應(yīng)用這種設(shè)計(jì)思想,設(shè)計(jì)了磁懸浮系統(tǒng)的H∞和積分滑模融合控制器。該控制器由兩部分組成:積分滑??刂破骱虷∞控制器。由于積分滑??刂谱饔玫囊?,匹配器由不確定性被完全抵消,剩下的非匹配不確定性由H∞控制器進(jìn)行處理。從而即能保證閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性,同時(shí)又能滿足一定的H∞性能指標(biāo),實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的優(yōu)化控制,最后通過仿真驗(yàn)證了所提算法的有效性。

    2 磁懸浮系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立

    單自由度磁懸浮系統(tǒng)是研究磁懸浮技術(shù)很好的平臺(tái),它主要有鐵芯、線圈、光電源、位置傳感器、放大及補(bǔ)償裝置、數(shù)字控制器和控制對(duì)象鋼球等元件組成,系統(tǒng)的構(gòu)成如圖1所示。

    圖1 磁懸浮控制系統(tǒng)構(gòu)成

    磁懸浮系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)平衡方程為:

    其中,F(xiàn)(x,i)=-N2μ0si(t)2/4x2(t),μ0=4π×107(H/m);s(m2)為鐵芯的極面積;N為電磁鐵線圈匝數(shù);x(m)為小球質(zhì)心到電磁鐵磁極表面的瞬時(shí)氣隙;i(A)為電磁鐵繞組中的瞬時(shí)電流。

    磁懸浮系統(tǒng)的電磁學(xué)方程為:

    其中,L(x(t),i(t))=N2μ0s/2i(t);R(Ω)為電磁鐵的等效電阻。

    考慮系統(tǒng)中的不確定性因素,取狀態(tài)變量[x1x2x3]= [x x˙i]系統(tǒng)非線性狀態(tài)方程為:

    應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)展開的方法得到磁懸浮系統(tǒng)的線性化模型為[6]:

    若取狀態(tài)變量為:Δx=x-x0;Δx˙=x˙;Δi=i-i0;[x1x2x3]=[Δx Δx˙Δi],可得系統(tǒng)線性化的狀態(tài)方程為:

    3 控制器的設(shè)計(jì)

    為便于分析,可把磁懸浮系統(tǒng)的狀態(tài)方程(5)寫成標(biāo)稱系統(tǒng)的形式[8]:

    在這里,w中包含了系統(tǒng)匹配的不確定性和不匹配的不確定性,在控制器設(shè)計(jì)之前,先對(duì)系統(tǒng)的不確定性進(jìn)行分解,分別表示出它的匹配不確定性和非匹配不確定性,首先引入如下的定義。

    定義1(單位矩陣)[6]定義一個(gè)特殊的單位矩陣I1= BB++B⊥B⊥+,其中,B+定義為B的左逆矩陣,B+= (BTB)-1BT,定義B⊥∈R3×2,且B+B⊥=0,I1∈R3×3。

    然后,根據(jù)定義1,可以對(duì)式(6)引入如下的矩陣:

    設(shè)控制律u(t)=u0(t)+u1(t)[9],其中控制器u0(t)設(shè)計(jì)用來保證標(biāo)稱系統(tǒng)的性能,是通過積分滑模控制的思想得到的;不連續(xù)的控制u1(t)是為了保證系統(tǒng)狀態(tài)能進(jìn)入滑模面來消除系統(tǒng)匹配的不確定性,是通過H∞控制的思想得到的。設(shè)滑模面函數(shù)為:

    其中,G∈Rm×n是要設(shè)計(jì)的矩陣,需保證GB可逆。為了得到滑模面上的滑動(dòng)模態(tài)方程,采用等效控制的方法[10],對(duì)式(7)求導(dǎo)得:

    其中,ρ是確保閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量能夠進(jìn)入滑模面的增益系數(shù)。

    從系統(tǒng)等效滑動(dòng)模態(tài)方程(9)可以看出,經(jīng)過積分滑??刂破鞯脑O(shè)計(jì),系統(tǒng)匹配的不確定項(xiàng)dm已經(jīng)被消除,等效不確定項(xiàng)deq中只含有非匹配的不確定項(xiàng),它的矩陣系數(shù)N=[I-B(GB)-1G]的選取是接下來設(shè)計(jì)的重點(diǎn),N的選取主要影響以下兩方面問題:

    (1)會(huì)不會(huì)有一個(gè)N*,能讓等效不確定項(xiàng)deq的范數(shù)最小。

    (2)N*的選取會(huì)不會(huì)讓等效不確定項(xiàng)放大,即||deq||是否會(huì)大于||du||。

    經(jīng)過證明可以得到G=B+能使deq的范數(shù)最小且能保證矩陣N*不會(huì)放大非匹配不確定項(xiàng)[12]。因此本文在接下來的設(shè)計(jì)中選擇G=B+,此時(shí)可以得到:

    下面給出u0(t)的設(shè)計(jì)過程。

    引理1對(duì)于系統(tǒng)式(6)和性能指標(biāo)(1)和(2)存在一個(gè)H∞控制器,滿足||TZW||∞<γ當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)對(duì)稱的、半正定的矩陣X滿足Riccati方程:

    且H∞控制律為:

    性能指標(biāo)(1):[A,B]是可穩(wěn)定的,要求所有加權(quán)函數(shù)是穩(wěn)定的;[C1,A]是可檢測(cè)的,確保狀態(tài)的有界性;并且[C1,D11]=[0,I],保證評(píng)價(jià)輸出z和控制量以及狀態(tài)變量之間沒有交叉權(quán),且控制量的權(quán)矩陣是單位矩陣。

    性能指標(biāo)(2):當(dāng)初始條件x(0)=0時(shí),從系統(tǒng)的外部擾動(dòng)輸入w到評(píng)價(jià)輸出z的閉環(huán)傳遞函數(shù)Tzw(s)的H∞范數(shù)達(dá)到極小,也就是求控制器K使γ0=min{||Tzw(s)||∞},若給定γ>γ0求反饋控制器K,使閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定,同時(shí)min||Tzw(s)||∞<γ則稱為H∞次優(yōu)控制問題[13]。

    從式(9)中可以看出,經(jīng)過積分滑模控制器的設(shè)計(jì),磁懸浮系統(tǒng)中匹配的不確定性已經(jīng)被消除,可以保證系統(tǒng)狀態(tài)到達(dá)理想滑動(dòng)模態(tài),所以在設(shè)計(jì)u0(t)時(shí),系統(tǒng)的狀態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

    z(t)是自己構(gòu)造的系統(tǒng)輸出,矩陣C,D分別代表系統(tǒng)狀態(tài)和輸入所占權(quán)重。

    通過解黎卡提方程:

    可以得到磁懸浮控制系統(tǒng)的H∞控制器的狀態(tài)反饋控制律u0(t)為:

    從式(19)可以看出H∞控制器u0(t)隸屬于積分滑模控制器。

    因此,磁懸浮控制系統(tǒng)可以通過控制律式(11)、式(12)保證較好動(dòng)態(tài)性能并且能對(duì)系統(tǒng)匹配的不確定性有較好的魯棒性,通過控制律式(18)能增加系統(tǒng)對(duì)不匹配不確定項(xiàng)的魯棒性,從而優(yōu)化了磁懸浮系統(tǒng)的整體性能。磁懸浮控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

    圖2 H∞和積分滑模控制的融合控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

    圖3 H∞和積分滑??刂频娜诤峡刂葡到y(tǒng)仿真圖

    4 Matlab仿真

    在Simulink下搭建了磁懸浮系統(tǒng)的仿真模型如圖3所示,其中控制器部分和磁懸浮系統(tǒng)模型是用S函數(shù)編寫[14-15]。

    仿真中所用參數(shù)分別為:G=[0,0,1/8.5],ρ=1.25,設(shè)仿真初始值為x=[0.15,1,1]T,系統(tǒng)的不確定性用頻率為2π的正余弦信號(hào)表示,其中d1=cos(2πt),d2= 0.5sin(2πt)。

    圖4是鋼球位置的正弦跟蹤曲線。從圖中可以看出,磁懸浮系統(tǒng)在初始值偏離平衡位置較遠(yuǎn)的距離且存在匹配和非匹配的不確定性仍能準(zhǔn)確跟蹤位置參考值,而且系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)品質(zhì)較好,超調(diào)較小。

    圖4 位置跟蹤曲線

    圖5是跟蹤誤差曲線。從圖中可以看出當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定后跟蹤誤差最大值為0.002 698,由此可以說明H∞控制和積分滑模的融合控制系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)跟蹤性能,系統(tǒng)魯棒性較強(qiáng)。

    圖5 跟蹤誤差曲線

    為了與積分滑模控制器對(duì)比,圖6與圖7分別給出了磁懸浮系統(tǒng)積分滑??刂葡到y(tǒng)與H∞控制和積分滑模的融合控制系統(tǒng)的位置跟蹤誤差曲線。

    圖6 積分滑??刂葡到y(tǒng)的位置跟蹤誤差曲線圖

    圖7 H∞和滑??刂频娜诤峡刂葡到y(tǒng)位置跟蹤誤差曲線圖

    由圖6與圖7可得,H∞和積分滑模的融合控制系統(tǒng)的跟蹤誤差比單獨(dú)的積分滑??刂破鞯母櫿`差有明顯的降低,大大改善了積分傳統(tǒng)的積分滑??刂破鞯男阅?。

    5 結(jié)束語

    通過圖4~圖7的仿真結(jié)果可以看出H∞和積分滑??刂频娜诤峡刂扑惴ú粌H能對(duì)磁懸浮系統(tǒng)中匹配和非匹配的不確定性具有魯棒性,并且能保證閉環(huán)系統(tǒng)具有較好的動(dòng)態(tài)性能,比單一的積分滑??刂葡到y(tǒng)具有更好的控制性能。

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    LI Dandan1,HE Rongbu2,ZHANG Caihong1

    1.Depanrtment of Mining Engineering,Liupanshui Normal University,Liupanshui,Guizhou 553004,China
    2.Liupanshui Power Supply Bureau Branch Office of Urban Area,Liupanshui,Guizhou 553004,China

    Magnetic levitation control system has model perturbation and a variety of outside interference during operation, so,improving the robustness of magnetic levitation system is very important.This paper gives a mathematical model of magnetic levitation system;a fusion algorithm ofH∞and sliding-mode control is discussed;simulation is obtained by Matlab tool.The results show that the algorithm is robust to the uncertainty of the system on the matching and non-matching at the same time.

    magnetic levitation;sliding mode control;robust;H∞

    A

    TP273+.3

    10.3778/j.issn.1002-8331.1305-0198

    LI Dandan,HE Rongbu,ZHANG Caihong.Fusion algorithm ofH∞and sliding-mode control for magnetic levitation systems.Computer Engineering and Applications,2014,50(6):230-234.

    六盤水師范學(xué)院采礦工程特色專業(yè)建設(shè)點(diǎn)(No.LPSSYtszy201101)。

    李丹丹(1989—),女,助教,研究領(lǐng)域:魯棒控制,非線性控制,煤礦機(jī)械故障診斷技術(shù)。E-mail:lidandande163@163.com

    2013-05-16

    2013-08-14

    1002-8331(2014)06-0230-05

    CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版:2013-09-17,http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130917.1058.013.html

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