基于FRFT的對稱三角LFMCW信號檢測與參數(shù)估計

劉 鋒 徐會法*② 陶 然

①(海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系 煙臺 264001)

②(94362部隊 青島 266111)

③(北京理工大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院 北京 100081)

1 引言

調(diào)頻連續(xù)波(FMCW)雷達由于結(jié)構(gòu)簡單、體積小、距離分辨率高、無距離盲區(qū)、成本低、低功耗和低截獲等優(yōu)點，在軍用導(dǎo)航、戰(zhàn)場偵察與地面成像等領(lǐng)域得到越來越廣泛的應(yīng)用[1?3]。而對稱三角線性調(diào)頻連續(xù)波(STLFMCW)信號是 FMCW 雷達中常采用的信號形式[3]。在低信噪比條件下，如何截獲這種低截獲概率雷達信號已成為現(xiàn)代雷達偵察系統(tǒng)迫切需要解決的難題。

文獻[4]分別采用 Wigner Ville分布，Choi-Williams分布，正交鏡像濾波器組和循環(huán)平穩(wěn)分析的方法，對 STLFMCW 信號的檢測與參數(shù)估計進行了研究。Wigner Ville分布由于受交叉項的影響，在低信噪比條件下很難提取信號特征；Choi-Williams分布能夠抑制交叉項的影響，但是它的時頻聚集性有所下降，降低了它的檢測能力；由于正交鏡像濾波器組不具備抑制噪聲的功能，正交鏡像濾波器組檢測算法需要對信號進行消噪處理，其檢測能力取決于對信號的消噪效果，同理，文獻[5]采用正交鏡像濾波器組與高階累積量技術(shù)相結(jié)合的檢測方法；當(dāng)信噪比低為-6 dB時，STLFMCW信號的調(diào)制帶寬在循環(huán)頻域內(nèi)已比較難測量。文獻[6]提出一種基于Wigner-Hough變換的STLFMCW信號特征提取算法，但是，Wigner-Hough變換受交叉項干擾，并且，計算量非常大，該算法需要依次估計每段LFM信號的參數(shù)，才能實現(xiàn)STLFMCW信號的參數(shù)估計，計算十分耗時；同理，Radon-Wigner變換也存在相同的問題[7]。文獻[8]提出一種基于Radon-Ambiguity變換和分數(shù)階 Fourier變換的STLFMCW信號檢測與參數(shù)估計方法，與Wigner-Hough變換相比，把2維搜索降低為1維搜索，降低了運算量，在信噪比為-5 dB時，還能得到較好的參數(shù)估計結(jié)果。

分數(shù)階Fourier變換(FRFT)是一種新的時頻線性變換，十分適合處理LFM信號，沒有交叉項的干擾；隨著變換階數(shù)從0連續(xù)增長到1, FRFT展示出信號從時域逐步變化到頻域的所有變化特征；目前已有多種離散FRFT快速算法，便于工程實踐。因此，本文力圖使用FRFT實現(xiàn)STLFMCW信號在低信噪比條件下的檢測與參數(shù)估計。首先，分析了STLFMCW 信號在 FRFT域的頻譜分布特征，發(fā)現(xiàn)STLFMCW信號包含的各段LFM信號在其對應(yīng)的“最佳”分數(shù)階域內(nèi)具有很好的能量聚集性，形成尖峰；各段LFM信號在頻域內(nèi)會完全重疊，疊加的頻譜幅度較高，在低信噪比條件下，會嚴重影響STLFMCW信號的檢測與參數(shù)估計。本文引入基于廣度優(yōu)先搜索鄰居(BFSN)的聚類算法[9]，提出一種聚類分析與FRFT相結(jié)合的STLFMCW信號檢測與參數(shù)估計方法，根據(jù) STLFMCW 信號在參數(shù)(u, α)平面上的尖峰的分布特征，利用BFSN聚類分析方法搜索 STLFMCW 信號的尖峰，實現(xiàn)信號的檢測與參數(shù)估計。該方法消除了信號尖峰的高度必須大于噪聲幅度的限制，使FRFT在低信噪比條件下對STLFMCW信號仍具有較好的檢測效果。

2 分數(shù)階Fourier變換

信號x(t)的FRFT定義式為

式中FRFT的變換核Kp(t,u)為

由式(3)可以看出，信號x(t)由一組權(quán)系數(shù)為Xp(u)的正交基函數(shù)K?p(t,u)所表征，基函數(shù)為LFM的復(fù)指數(shù)函數(shù)。

3 STLFMCW信號的模型

STLFMCW信號的每個周期包括正、負調(diào)頻率的兩部分LFM信號，其表達式分別為[4]

式中A為幅度，fc為載頻，ΔF為調(diào)制帶寬，T=2tm為調(diào)制周期。信號的正、負調(diào)頻率分別為 μ=ΔF/tm和 ?μ=?(ΔF/tm)。兩個周期的 STLFMCW 信號的時頻分布圖如圖1所示。

圖1 兩個周期的STLFMCW信號的時頻分布圖

假設(shè)雷達偵察接收機實際接收到的雷達信號模型為

其中s(t)由式(4)決定，w(t)是均值為零、方差為的高斯白噪聲，信號的輸入信噪比為

4 STLFMCW信號的FRFT

由于FRFT可以理解為角為α的時頻面旋轉(zhuǎn)，根據(jù)該性質(zhì)，分析STLFMCW信號在FRFT域的頻譜分布特征。關(guān)于FRFT的數(shù)值計算，本文采用文獻[10,11]提出的計算方法，信號的量綱歸一化采用文獻[12]提出的離散尺度變換法。設(shè)信號的觀察時間為Td，則信號的時域區(qū)間為[?Td/2,Td/2]。如圖2所示，兩個調(diào)制周期的STLFMCW信號的時頻分布及其在FRFT域的投影。在圖2中，α01,α02,α03和α04分別為STLFMCW信號包含的4段LFM信號的“最佳”分數(shù)階旋轉(zhuǎn)角，在其對應(yīng)的FRFT域內(nèi)，STLFMCW信 號 呈 現(xiàn) 能 量 尖 峰 ，umax01,umax02,umax03和umax04分別為4段LFM信號的尖峰的u坐標值。該STLFMCW信號在參數(shù)(u, α)平面上的4個尖峰的坐標存在如下關(guān)系：

圖2 兩個周期的STLFMCW信號的時頻分布在FRFT域上的投影

f01,f02,f03和f04分別為STLFMCW信號包含的4段LFM信號在f軸上的截距，也是利用FRFT得到的信號的初始頻率[8]，并且f01=f04,f02=f03。

經(jīng)上述分析可知，STLFMCW信號的每段LFM信號在其“最佳”分數(shù)階域內(nèi)都會呈現(xiàn)出能量尖峰，并且各個尖峰的高度相同；正調(diào)頻率部分s1(t)與s3(t)的“最佳”分數(shù)階旋轉(zhuǎn)角相同，即它們的尖峰在平面(u, α)上的α軸坐標相同，它們在u軸上的距離為

負調(diào)頻率部分s2(t)與s4(t)也具有相同的性質(zhì)；s1(t)與s4(t)對應(yīng)的尖峰在平面(u, α)上的u軸坐標相同，并且兩個尖峰在α軸上各自到 α=π /2的距離相等，s2(t)與s3(t)之間也具有相同的性質(zhì)。這些特征可以作為檢測和識別STLFMCW信號的依據(jù)?？山梃b基于FRFT的LFM信號檢測與參數(shù)估計的原理[13]，實現(xiàn)STLFMCW信號的檢測與參數(shù)估計。

由圖2可知，STLFMCW信號在各個FRFT域的頻譜幅度為其包含的各段LFM信號在u軸上的頻譜幅度疊加值，并且，STLFMCW信號的各段LFM信號的頻譜在f軸上完全重疊。這會導(dǎo)致如下現(xiàn)象：STLFMCW信號在頻域或靠近頻域的FRFT域的頻譜疊加幅度大于或接近于其“最佳”分數(shù)階旋轉(zhuǎn)角α01和α02時的信號尖峰的高度。尤其是在低信噪比條件下，觀測信號包含的周期數(shù)較多，以及信號的帶寬較小時，這種現(xiàn)象更易發(fā)生。顯然，這個問題降低了FRFT在低信噪比條件下檢測STLFMCW信號的能力，影響信號的參數(shù)估計精度。

仍以一段包含兩個調(diào)制周期的STLFMCW信號為例，仿真分析其頻譜幅度在FRFT域的分布特征，如圖3所示。該信號的各個參數(shù)分別為ΔF=40 MHz,

圖3 STLFMCW信號的FRFT 3維圖

在圖3中，STLFMCW信號在平面(u,α)上形成4個高度相近的尖峰，并且，在4個尖峰中間也形成一個高度較高的信號能量尖峰，即為信號在頻域(α /(π /2)=1時)內(nèi)頻譜疊加所形成的尖峰。因此，STLFMCW信號與多分量LFM信號也有所不同，不能簡單地采用檢測多分量LFM信號的方法來檢測STFMCW信號，而應(yīng)該采取措施克服由STLFMCW信號自身的頻譜疊加所造成的問題。

5 信號的檢測與參數(shù)估計

對于 STLFMCW 信號的檢測與參數(shù)估計，包括其包含的多段LFM信號的檢測與參數(shù)估計。由文獻[13]可知，各段LFM信號由FRFT得到的參數(shù)估計表達式為

其中k=1,2,… ,N,N為STLFMCW信號包含的LFM信號的段數(shù)，分別為各段LFM信號的調(diào)頻率與初始頻率(各段 LFM 信號在f軸上的截距)。又由文獻[8]可知，STLFMCW信號的帶寬為

由式(11)可得

信號的調(diào)制周期與載頻分別為

上述式中的符號含義同圖2中的符號。

式(14)-式(17)表明利用本文提出的參數(shù)估計算法只需要在參數(shù)(u,α)平面上選擇兩個具有相同α坐標的尖峰(即觀察信號必須至少包含兩段同調(diào)頻的LFM信號，當(dāng)這兩段LFM信號均為完整的半個調(diào)整周期時，檢測效果最好)就可以實現(xiàn)STLFMCW信號的參數(shù)估計，否則，無法估計STLFMCW信號的調(diào)制帶寬。信號的觀測時間Td可以包含多個調(diào)制周期，或者信號邊緣是非完整周期，這對信號檢測與參數(shù)估計沒有影響，因為在選擇信號尖峰時，選擇兩個相鄰的最大尖峰，其它舍去。但是，當(dāng)Td取多個調(diào)制周期時，檢測算法的計算量會增大，當(dāng)Td取兩個調(diào)制周期時可以保證兩段完整的LFM信號。

為了克服STLFMCW信號的多段LFM信號頻譜疊加給FRFT檢測信號帶來的問題，本文引入了基于廣度優(yōu)先搜索鄰居(BFSN)的聚類算法[9]，對STLFMCW信號在(u,α)平面上的多個尖峰進行聚類分析，然后，剔除由信號頻譜疊加造成的奇異類，實現(xiàn)STFMCW信號的正確檢測，進而提高FRFT在低信噪比條件下檢測STLFMCW信號的能力。因為BFSN聚類算法不需要預(yù)先輸入分類的個數(shù)，適合用于數(shù)量未知的多個信號尖峰的檢測，而且還具有實現(xiàn)簡單、計算復(fù)雜度低，以及容易設(shè)定最佳參數(shù)等優(yōu)點。

由于信號的能量尖峰包含了它的所有信息，所以可以尋找一個合理的平面，截取信號尖峰，只以信號尖峰作為聚類輸入集，其它數(shù)據(jù)舍去，這樣可以減小BFSN聚類算法的輸入樣本數(shù)，提高算法的運算效率，又不會影響信號的參數(shù)估計。

5.1 平面切割

本文采用基于最大值的平面切割法，處理過程如下：

步驟 1 對信號依次進行 α ∈ [0,π]的 FRFT，令Z=|FRFT(u,α)|2，設(shè)其行數(shù)為n，列數(shù)為l,Z的矩陣元素為zij，其中1≤i≤n, 1≤j≤l。

步驟 2 由于STLFMCW信號的各段LFM信號的能量相等，則對應(yīng)的各個信號尖峰的高度相等，即使在低信噪比下，它們的高度相差也不會太大。因此，可以選擇一個合理的高度因子m，以m·max(|FRFT(u,α)|2)作為切割平面的高度，對平面(u,α)上的信號尖峰進行切割，獲得聚類分析輸入集X。聚類分析的輸入集X為

選取高度因子m的方法如下：

由于STLFMCW信號包含的各段LFM信號的時寬、帶寬和載頻相同，所以各段LFM信號在參數(shù)(u,α)平面上的尖峰的高度相同，如圖3中的4個信號尖峰所示。由文獻[14]可知，各段LFM信號的尖峰的高度值為

其中F為信號的最大頻率，N為信號的采樣點數(shù)。當(dāng)信號附有高斯白噪聲時，信號x(t)的峰值在點 (umax,α0)處發(fā)生隨機起伏，并具有一定的起伏方差。的均值為

式(22)給出了信號尖峰的相對起伏幅度與信噪比的關(guān)系，隨著信噪比的降低，尖峰的相對起伏幅度不斷增大；同時，可以看出，尖峰的相對起伏幅度由F,N, SNRin和α0決定。相應(yīng)地，為了切割到所有的信號尖峰，m值應(yīng)隨著信噪比的降低而減??；同時，由式(20)可知，如果m值取的太小，切割到噪聲尖峰的概率也會增大，這樣會增大聚類分析的計算量，所以m應(yīng)該取一個折中的值。

5.2 信號尖峰的聚類

由于篇幅所限，本文對BFSN聚類算法的原理不再敘述，見文獻[9]。信號尖峰的聚類過程為

步驟 1 求出聚類分析輸入集X。

步驟 2 求相異度矩陣。設(shè)聚類分析輸入集X的對象數(shù)量為n,xi和xj(1 ≤i,j≤n)為其中的任意兩個對象，它們在(u,α)平面上的坐標分別為(ui, αi)和(uj, αj)。定義d(xi,xj)為對象xi和xj之間近似性的量化表示。因為對象xi和xj在(u,α)平面上為兩個點，其近似性由兩點之間的距離大小決定，所以用歐幾里德距離估算d(xi,xj)。n個對象兩兩之間的近似性的表現(xiàn)形式為一個n×n維的矩陣，該矩陣為對角元素是1的對稱矩陣，稱其為相異度矩陣。

步驟 3 從輸入集X中某任意對象出發(fā)，基于廣度優(yōu)先和距離參數(shù)r，依次搜索該對象的直接鄰居和間接鄰居。具體實現(xiàn)，本文使用隊列算法，即找出隊首元素的所有鄰居，把它們從隊尾壓入，然后將隊首彈出，該算法實現(xiàn)方便。

其中，直接鄰居和間接鄰居的概念分別為：(1)直接鄰居，給定對象b及距離參數(shù)r，對于任意對象x，若d(b,x)≤r，則稱x為b的直接鄰居，對象b所有直接鄰居的集合稱為b的全部直接鄰居，記為Db；(2)間接鄰居，設(shè)n個對象x1,x2,… ,xn?1,xn滿足xn僅是xn?1的鄰居，x1僅是x2的鄰居，xk是xk?1和xk+1(1 ＜k＜n)的鄰居，則x3,x4,… ,xn都是x1的間接鄰居。對象b所有間接鄰居的集合稱為b的全部間接鄰居，記為Ib。

步驟 4 判斷所有找到的直接鄰居和間接鄰居是否滿足設(shè)定的類門限參數(shù)λ，如果滿足，則將它們合并，從而完成一類聚類。

步驟 5 重復(fù)步驟 3和步驟 4，完成所有對象的聚類。

其中，距離參數(shù)r用于控制聚類時類和類之間的距離，參數(shù)λ可以用來控制聚類的形狀。

5.3 信號檢測的實現(xiàn)步驟

STLFMCW 信號檢測與參數(shù)估計的實現(xiàn)步驟如下：

步驟 1 對信號分別求旋轉(zhuǎn)角 α ∈ [0,π ]的FRFT，得Z=|FRFT(u,α)|2。

步驟 2 用式(18)對Z進行平面切割，獲得BFSN聚類算法的輸入集：

步驟 3 利用BFSN聚類算法對輸入集進行聚類分析，得到聚類結(jié)果。

步驟 4 刪除奇異，設(shè)聚類分析獲得N個類，每個類包含的所有元素的α坐標的平均值為 αk,k=1,2,… ,N，如果αk近似等于π/2，則將該類作為奇異類，將其刪除，即當(dāng)為一個限制條件，本文選取 σ=0.05，雷達偵察接收機可以根據(jù)擔(dān)負的任務(wù)合理選擇一個值。

步驟 5 對刪除奇異類的聚類結(jié)果進行排序，按照各個類對應(yīng)的信號尖峰的高度由大到小的順序進行排序。

步驟 6 選擇兩個類作為 STLFMCW 信號包含的同調(diào)頻率的兩段LFM信號對應(yīng)的尖峰。選擇依據(jù)和方法如下：

選擇依據(jù)：由第3節(jié)可知，STLFMCW信號包含的調(diào)頻率相同的兩段LFM信號的尖峰在平面(u,α)上具有相同的α坐標，并且，調(diào)頻率相反的兩段LFM信號的尖峰在軸 α=π /2的兩側(cè)，并且它們各自到 α=π /2的距離相等。

選擇方法：對經(jīng)過步驟5排序后的類，采用窮舉的方法，從第1個類開始，逐個類進行比較，尋找兩個類，如果兩個類的α坐標相同，則暫時選擇這兩個類；下一步，進行校正處理：如果還存在第3個類與選擇的兩個類分別在 α=π /2軸的兩側(cè)，并且到 α=π /2軸的距離近似相等，則終止窮舉，最終選擇這兩個類，否則，繼續(xù)窮舉，重新選擇兩個類，直至能夠滿足上面的兩個條件；如果無法找到能夠滿足上面兩個條件的兩個類，則最終選擇兩個具有相同α坐標，并且信號尖峰較高的類。

步驟 7 選擇兩個類中的一個類，求其所有元素的α坐標的平均值，以該平均值作為兩個信號尖峰的坐標 α01=α03。

步驟 8 對兩個信號尖峰的α軸坐標α01和α03做二級搜索，獲得更精確的信號尖峰的坐標 (umax01,α01)與(umax03,α03)，代入式(13)獲得兩段LFM信號的參數(shù)估計值

步驟 9 將得到的參數(shù)估計值分別代入式(14)-式(17)，獲得STLFMCW信號的各個參數(shù)的估計值。

5.4 算法復(fù)雜度

本文算法首先采用平面切割法對信號進行預(yù)處理，只保留信號尖峰的點，使BFSN聚類算法的輸入集G的對象數(shù)N很小。由文獻[9]可知，如果G內(nèi)的對象屬于一個類，算法只需循環(huán)N?1次即可完成聚類；最差的情況，G內(nèi)的對象屬于N個類，時間復(fù)雜度平均為G(N2)。由于N很小，所以聚類算法增加的計算量也很小。與逐次消去法相比，該算法卻能夠同時檢測到所有的信號尖峰，一次完成信號尖峰的檢測，明顯地提高了檢測效率，降低了算法的計算量。

6 仿真驗證

下面取一段包含兩個調(diào)制周期的STLFMCW信號為仿真對象，對本文的算法進行仿真驗證。該信號的各個參數(shù)分別為 ΔF=400 MHz,T=1 μs,fc=120 MHz,Td為[?T,T]，采樣頻率為640 MHz。

設(shè)信號被正確檢測的判斷準則為：信號載頻的估計值的絕對誤差不超過10%，即

當(dāng)一次信號檢測滿足判斷準則時，則認為該次檢測為正確檢測。

為了驗證該算法的性能，利用Monte Carlo法，信噪比從-13 dB開始，以1 dB為步長遞增至3 dB，每個信噪比條件下模擬200次。在仿真中，檢測算法的各個參數(shù)的取值分別為：平面切割中的高度因子m=0.55(經(jīng)大量仿真得知，當(dāng)信噪比大于或等于-13 dB時，m=0.55能夠取得較好的切割效果)，聚類算法中的r=0.05,λ=0.95。其中，信噪比為0 dB時，信號的FRFT模平方的3維圖和聚類分析的結(jié)果圖分別如圖4和圖5所示。不同信噪比條件下，信號帶寬、載頻和調(diào)制周期估計值的均方根誤差(RMSE)如圖6所示，信號的正確檢測概率如圖7所示。

圖4 STLFMCW信號的FRFT 3維圖

圖5 STLFMCW信號的聚類分析結(jié)果圖

圖6 信號帶寬、載頻和調(diào)制周期估計值的均方根誤差

從圖6和圖7可以看出，信噪比為-12 dB時，信號參數(shù)估計值的均方根誤差仍能保持較小，信號的正確檢測概率為50%，隨著信噪比的增加，參數(shù)估計值的均方根誤差變得越小，信號的正確檢測概率越大，從而驗證了該算法的有效性。但是，如果不利用平面切割與聚類分析，以及STLFMCW信號的尖峰在平面(u,α)上的分布特征，只利用STLFMCW信號的尖峰的高度高于噪聲的幅度這一特性，當(dāng)信噪比低于-8 dB時，信號的正確檢測概率已很低。

圖7 信號的正確檢測概率

7 結(jié)論

本文推導(dǎo)了STLFMCW信號在FRFT域的頻譜分布特征，發(fā)現(xiàn) STLFMCW 信號包含的各段LFM信號在其對應(yīng)的“最佳”分數(shù)階域內(nèi)具有很好的能量聚集性；各段 LFM 信號在頻域內(nèi)會完全重疊，并討論了該現(xiàn)象給信號檢測帶來的問題。采用FRFT與聚類分析相結(jié)合的方法，利用STLFMCW信號的尖峰在平面(u,α)上的分布特征，選擇兩個合理的類作為 STLFMCW 信號的尖峰，進而實現(xiàn)信號的檢測與參數(shù)估計。該方法避免了STLFMCW信號包含的各段 LFM 在頻域內(nèi)完全重疊給信號檢測帶來的問題，并且，克服了信號尖峰的高度必須高于噪聲幅度的限制，使FRFT在低信噪比條件下對STLFMCW信號具有較強的檢測能力，同時也提高了檢測效率。同理，該方法也可以應(yīng)用于其它形式的 FMCW 信號的檢測與參數(shù)估計。該算法擴展了信號檢測方法，具有一定的理論和實用價值。

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