具有一個(gè)非零公共值的亞純函數(shù)的微分多項(xiàng)式唯一性

徐會(huì)彩，李效敏，李 超

（1.山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同037009；2.中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東青島266100）

1 引言及主要結(jié)果

本文所提到的亞純函數(shù)是指在整個(gè)復(fù)平面上的亞純函數(shù)。設(shè)f與g是復(fù)平面內(nèi)兩個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù).并假定讀者熟悉Nevanlinna理論的基本概念,例如 T（r，f）,m（r，f）,N（r，f）,（r，f）等等,這些概念可在文獻(xiàn)[1]找到。 用E?（0，∞）表示線性測(cè)度有窮的集合,每次出現(xiàn)時(shí)可以不同。余項(xiàng)S（r，f）表示 S（r，f）=o｛T（r，f）｝（r→∞，r?E）。 設(shè) a 是一個(gè)有窮復(fù)數(shù),如果f－a與g－a具有相同的零點(diǎn)且重?cái)?shù)相同,則稱f與g CM分擔(dān)a,如果f－a與g－a具有相同的零點(diǎn)而不計(jì)重?cái)?shù),則稱f與 g IM分擔(dān)a(參看文獻(xiàn) [2])。 如果1／f與1／g CM分擔(dān)0,則稱f與g CM分擔(dān)∞;如果 1／f與1／g IM分擔(dān)0,就稱f與g IM分擔(dān)∞。另外還需要下述定義。

定義1[3]設(shè)p是一個(gè)正整數(shù),并且a∈C∪｛∞｝。以下用表示f的重?cái)?shù)不大于p的a－值點(diǎn)的計(jì)重?cái)?shù)的計(jì)數(shù)函數(shù),表示相應(yīng)的精簡(jiǎn)計(jì)數(shù)函數(shù);用表示f的重?cái)?shù)不小于p的a－值點(diǎn)的計(jì)重?cái)?shù)的計(jì)數(shù)函數(shù),表示相應(yīng)的精簡(jiǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)。假設(shè)k是一個(gè)非負(fù)整數(shù),記號(hào)定義如下:

1976年,楊重駿提出了下述問(wèn)題:

問(wèn)題1[4]假設(shè)f與g是兩個(gè)非常數(shù)的整函數(shù),n是一個(gè)正整數(shù)。如果f與g CM分擔(dān)0,與f(n)與g(n)CM 分擔(dān) 1,并且 2δ（0，f）＞1。

1990年,儀洪勛解決了問(wèn)題1.1,證明了下述定理:

定理1[5]假設(shè)f與g是兩個(gè)非常數(shù)的整函數(shù),n是一個(gè)正整數(shù)。如果f與g CM分擔(dān)0,f(n)與g(n)CM分擔(dān) 1,并且 2δ（0，f）＞1，那么 f=g或者 f(n)g(n)=1。

1997年,I.Lahiri提出了下述問(wèn)題:

問(wèn)題2[6]如果兩個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)的非線性微分多項(xiàng)式CM分擔(dān)1。

1997年,楊重駿和華歆厚研究了問(wèn)題2,證明了下述定理:

定理2[7]假設(shè)f與g是兩個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),n是一個(gè)正整數(shù)且滿足n≥11。如果f(n)f′與f(n)f′CM分擔(dān)1,那么f與g滿足下述兩種情形之一:

(1)f=tg其中t是一個(gè)常數(shù),且滿足tn=1;

(2)f=c1ecz，g=c2e－cz，其中 c，c1和 c2是非零常數(shù),且滿足（c1c2）n+1c2=－1。

2002年,方明亮證明了下述結(jié)果,在整函數(shù)條件下研究了問(wèn)題2,證明了下述定理:

定理3[8]假設(shè)f與g是兩個(gè)非常數(shù)的整函數(shù),n，k是兩個(gè)正整數(shù)且滿足n≥2k+4。如果（fn）(k)與（gn）(k)CM分擔(dān)1,那么f與g滿足下述兩種情形之一:

(1)f=tg其中t是一個(gè)常數(shù),且滿足tn=1;

(2)f=c1ecz，g=c2e-cz，其中 c，c1和 c2是非零常數(shù),且滿足（－1）k（c1c2）n（nc）2k=1。

定理4[8]假設(shè)f與g是兩個(gè)非常數(shù)的整函數(shù),n，k是兩個(gè)正整數(shù)且滿足n≥2k+8。如果（fn（f－1））k與（gn（g－1））kCM分擔(dān)1,那么f=g。

本文將證明下述定理,這個(gè)定理改進(jìn)了定理3,擴(kuò)充了定理4。

定理5假設(shè)f是一個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),n,k是兩個(gè)正整數(shù)且滿足 n＞3k+7。 如果（fn）k與（gn）kCM分擔(dān)1和IM分擔(dān)∞,那么（fn）k（gn）k=1或者（fn）k=（gn）k。

2 幾個(gè)引理

引理1[1]假設(shè)f是一個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),k是一個(gè)正整數(shù),c≠0是一個(gè)有限值,那么

引理 2[9]假設(shè)其中｛ak｝和｛bj｝均為復(fù)數(shù),并且 ap≠0,bq≠0。和fj為兩個(gè)互素的多項(xiàng)式,那么 T（r，F(xiàn)）=max｛p，q｝T（r，y）+O（1）。

引理3[10]假設(shè)F是一個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),k，p是兩個(gè)非常數(shù)的正整數(shù),那么

3 定理5的證明

假設(shè)

以下分兩種情形討論:

情形1假設(shè)H1不恒等于零。

設(shè) z0是（fn）(k)－1 與（gn）(k)－1 的一個(gè)公共單零點(diǎn)。將（fn）(k)－1與（gn）(k)－1 在 z0點(diǎn)的 Taylor展示代入(1)可知,z0是H1的零點(diǎn)。于是由(1)的條件可得

即

同理

由(3),(4)和定理?xiàng)l件可得

再由(2),定理已知條件得

該式代入(5)式可得

同理

由(6)和(7)可得

由此可得n≤3k+7,這與已知條件n＞3k+7矛盾。

情形2假設(shè)H1=0。由(1)可得

由(8)連續(xù)積分兩次可得

其中a和b是兩個(gè)常數(shù),并且a≠0。分三種子情形討論如下:

1.假設(shè)a＝b。如果b=－1,由(9)可得（fn）(k)（gn）(k)=1,于是結(jié)論成立。如果b≠－1,那么(9)可變?yōu)?/p>

由(10)可得

由(11)和引理 1,引理2和引理3可得

同理可得

由(12)和(13)可得

由此可得n≤2k+4,這與已知條件n＞3k+7矛盾。

2.假設(shè)a≠b并且b≠0。如果b=－1,那么(9)變?yōu)?/p>

由于（fn）(k)與（gn）(k)CM分擔(dān)∞,由(14)可得

由(15)和引理 1可得

由此得n≤k+2這與n＞3k+7矛盾。如果b≠－1,那么(9)變?yōu)?/p>

由于（fn）(k)與（gn）(k)CM分擔(dān)∞,由(16)可得(15)。以下類似于上述推導(dǎo)過(guò)程可得n≤k+2這與n＞3k+7矛盾。

3.假設(shè)a≠b并且b=0。由(9)可得

當(dāng)f，g是兩個(gè)非常數(shù)的有理函數(shù)時(shí),（fn）(k)與（gn）(k)均為非常數(shù)的有理函數(shù)。由于（fn）(k)與（gn）(k)CM 分擔(dān)1,如果 1 是（fn）(k)與（gn）(k)的 Picard 例外值,那么結(jié)合(17)可得a=1,于是結(jié)論成立。如果1不是（fn）(k)與（gn）(k)的Picard例外值,存在（fn）(k)與（gn）(k)的公共1-值點(diǎn)z1,使得（fn（z））(k)｜z=z1=1,該式結(jié)合(17)可的a=1于是引理4的結(jié)論成立。以下假設(shè)當(dāng)f，g是兩個(gè)超越亞純函數(shù)。一方面,由 (17)可得

其中P1是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)k的多項(xiàng)式。假設(shè)P1不恒等于零,由(18)和引理2可得

由此得n≤3,這與這與n＞3k+7矛盾。于是P1=0,(18)變?yōu)閍fn=gn,由此得

再由引理 1可得(3)。由(3)可得

由(22)可知（fn）(k)－1 有零點(diǎn)。 注意到（fn）(k)和（gn）(k)CM分擔(dān) ,由(21)可知a=1,于是定理成立。 定理5證畢。

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