數(shù)控非球面超光滑加工機(jī)床空間誤差建模

李顯凌,柳艷杰

(1.中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所應(yīng)用光學(xué)國家重點實驗室,長春 130033;2.黑龍江大學(xué) 建筑工程學(xué)院,哈爾濱150080)

0 引 言

隨著計算機(jī)性能的提高和研拋工藝的發(fā)展,數(shù)控拋光已經(jīng)成為超精密拋光技術(shù)的主流,包括磁流變拋光 (Magnetorheological finishing,M RF)[1]、離子束拋光 (Ion beam figuring,IBF)[2]和射流拋光 (Fluid jet polishing,FJP)[3]等拋光技術(shù)都采用了數(shù)控技術(shù),其基本思想是根據(jù)光學(xué)表面面形檢測的結(jié)果,由計算機(jī)控制加工參數(shù)和加工路徑,完成加工。由于制造、裝配、控制及運動過程中熱變形、摩擦、振動和慣性等各種誤差因素的影響,使得數(shù)控機(jī)床的實際運動軌跡難以同理想軌跡相吻合,造成加工誤差,影響了被加工工件的加工精度,對數(shù)控機(jī)床進(jìn)行誤差補償是提高加工精度的最為經(jīng)濟(jì)、有效的方法,而快速建立起準(zhǔn)確的誤差模型則是實施誤差補償?shù)那疤岷突A(chǔ),因此對數(shù)控機(jī)床進(jìn)行誤差建模研究具有重要意義。

多體系統(tǒng)理論[4]是解決復(fù)雜工程系統(tǒng)運動學(xué)問題和動力學(xué)問題的科學(xué)理論體系,具有很好的通用性和系統(tǒng)性。多體系統(tǒng)理論已在機(jī)器人、機(jī)床、坐標(biāo)測量機(jī)等復(fù)雜機(jī)械的運動分析與控制中得到成功應(yīng)用,并且應(yīng)用領(lǐng)域正在不斷擴(kuò)大。以往的多體系統(tǒng)理論主要用于分析研究理想多體系統(tǒng)。近年來,多體系統(tǒng)理論開始用于分析研究有誤差多體系統(tǒng)。

數(shù)控機(jī)床是一種典型的多體系統(tǒng)[5]?；诙囿w系統(tǒng)理論,以特有的低序體陣列來描述復(fù)雜系統(tǒng),對數(shù)控機(jī)床進(jìn)行誤差分析和建模,不僅能全面考慮影響機(jī)床加工精度的各項因素以及相互耦合情況,而且能夠充分利用現(xiàn)代計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展成果,使建模過程具有程式化、規(guī)范化、約束條件少、易于解決復(fù)雜系統(tǒng)運動問題的優(yōu)點,非常適宜于機(jī)械誤差的計算機(jī)自動建模。

本文根據(jù)數(shù)控超光滑加工機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),運用多體系統(tǒng)運動學(xué)理論的基本原理,使用低序體陣列來描述機(jī)床各部件的關(guān)聯(lián)關(guān)系,使用齊次特征矩陣來表示各部件之間的幾何特征,系統(tǒng)地推導(dǎo)出了有誤差運動的數(shù)控超光滑加工機(jī)床運動學(xué)模型。建立了數(shù)控超光滑加工機(jī)床的空間誤差模型,并給出了具體數(shù)學(xué)表達(dá)式。

1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和低序體陣列

數(shù)控超光滑加工機(jī)床的結(jié)構(gòu)見圖1,整個機(jī)床由回轉(zhuǎn)工作臺C軸和直線運動單元X軸,直線運動單元Z軸、回轉(zhuǎn)運動單元B軸以及電主軸回轉(zhuǎn)運動單元組成,用于球面和非球面光學(xué)元件的超光滑表面加工。

圖1 數(shù)控超光滑加工機(jī)床結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of the CNCsuper-smooth process machine

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是對多體系統(tǒng)本質(zhì)的高度提煉和概括,是研究多體系統(tǒng)的依據(jù)和基礎(chǔ)。用低序體陣列方法描述多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)簡潔方便,是一種適用于計算機(jī)自動描述多體系統(tǒng)的方法,因此本文采用低序體陣列方法描述數(shù)控超光滑加工機(jī)床的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在多體系統(tǒng)分析中,把構(gòu)成拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的單元稱為體,描述體與體的關(guān)聯(lián)關(guān)系的低序體陣列可通過下列定義的低序體運算得到。

多體系統(tǒng)中任意體j的n階低序體定義[4]為:

式(1)～式(4)中,L稱為低序體算子。

當(dāng)L(j)=i時,稱體i是體j的相鄰低序體,體j是體i的相鄰高序體。

圖2為經(jīng)過簡化后數(shù)控超光滑加工機(jī)床的結(jié)構(gòu)示意圖,圖中0為床身、1為工作臺、2為工件、3為X軸導(dǎo)軌、4為Z軸導(dǎo)軌、5為擺動軸、6為電主軸、7為拋光頭。對其進(jìn)行提煉和概括,可以得到如圖3所示的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖。

根據(jù)上述低序體運算公式可以求出各體的各階低序體號,從而構(gòu)成表1所示的低序體陣列,它即是數(shù)控超光滑加工機(jī)床的低序體陣列。

表1 數(shù)控超光滑加工機(jī)床的低序體陣列Table 1 Low-order body arrays of the CNC super-smooth process machine

2 特征矩陣

在多軸數(shù)控機(jī)床中,各運動單元都有自己的運動軸名,如將工作臺單元取名為w,刀具裝夾單元取名t,除床身單元外,其它各體都有自己的名。為了使表達(dá)更簡化、清晰和直觀,可以將相鄰體之間的運動及運動誤差表達(dá)式的下標(biāo)——相鄰體標(biāo)號“ij”+“s”改用其高序體的運動單元名表示,相鄰體之間的位置及位置誤差表達(dá)式的下標(biāo) “ij”+“p”改用除當(dāng)其高序體為工作臺單元或刀具裝夾單元時用高序體的單元名+“d”表示外,用相鄰體的單元名表示。這樣,參考系也就不必命名。數(shù)控超光滑加工機(jī)床的特征矩陣見表2,其中,若特征矩陣等于 I4×4,則是因為考慮到誤差相對很小(如運動部件的一些靜止誤差)或沒有(如非運動部件的運動誤差)。

3 綜合空間誤差模型

設(shè)刀具成形點在刀具坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為:

那么,刀具成形點在工件坐標(biāo)系內(nèi)的理想成形函數(shù)為:

設(shè)刀具路線為:

則理想運動的刀具成形點的位置約束方程為:

在超光滑加工機(jī)床中,由于進(jìn)給系統(tǒng)有兩個回轉(zhuǎn)運動,為成形過程調(diào)整刀具與光學(xué)元件的相對姿態(tài)提供了條件,因此可以加工復(fù)雜的光學(xué)表面,為此也需要掌握和控制成形過程中的刀具姿態(tài)。為了描述刀具的位姿變化,在刀具上固定一個矢量,令其與刀具一起運動,然后考察該矢量的轉(zhuǎn)動情況。設(shè)刀具上刀柄至刀尖兩點間的矢量 →V在刀具坐標(biāo)系中的表達(dá)式為:

數(shù)控超光滑加工機(jī)床的特征矩陣見表2。

表2 數(shù)控超光滑加工機(jī)床的特征矩陣Table 2 Characteristic matrix of the CNCsuper-smooth process machine

那么在理想運動條件下,矢量→V在工件坐標(biāo)系中的表達(dá)式為:

則理想運動的刀具姿態(tài)約束方程為:

刀具成形點在工件坐標(biāo)系內(nèi)的實際成形函數(shù)為:

實際運動的刀具成形點的位置約束方程為:

在實際運動條件下,矢量 →V在工件坐標(biāo)系中的表達(dá)式為:

則實際運動的刀具姿態(tài)約束方程為:

在實際成形運動中,刀具成形點的實際位置不可避免地會偏離理想位置,產(chǎn)生空間位置誤差。刀具成形點的綜合空間位置誤差即為:

在實際成形運動中,實際刀具姿態(tài)也會不可避免地與刀具理論姿態(tài)存在偏差,這種偏差可以用與的矢量差來描述,這里用表示,因此刀具空間姿態(tài)誤差即為:

式(18)即為超光滑加工機(jī)床的空間誤差模型。

只需將表2中數(shù)控超光滑加工機(jī)床各體的特征矩陣代入空間位置誤差模型的一般表達(dá)式,即可得到數(shù)控超光滑加工機(jī)床空間誤差模型的具體表達(dá)式。在數(shù)控超光滑加工機(jī)床加工控制和誤差補償中的目標(biāo)就是使拋光磨頭(即刀具)中心點的實際位置盡可能地接近理想位置以及拋光磨頭的實際姿態(tài)盡可能地接近理想姿態(tài),亦即E和→E盡可能小。

4 結(jié) 論

基于多體系統(tǒng)運動學(xué)理論,建立了數(shù)控超光滑加工機(jī)床成形系統(tǒng)的低序體陣列,并推導(dǎo)出機(jī)床相鄰體的特征矩陣,它是進(jìn)行機(jī)床精度分析與建模的核心。基于多體系統(tǒng)運動學(xué)理論精度分析理論,詳細(xì)研究了數(shù)控超光滑加工機(jī)床成形運動函數(shù)、成形運動約束、綜合空間誤差的建模過程,給出了具體模型表達(dá)式。基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機(jī)床成形運動和誤差分析和建模方法,全面考慮了影響機(jī)床加工精度的各項因素以及相互耦合情況,以低序體陣列來描述復(fù)雜系統(tǒng),使運動學(xué)建模過程具有程式化、規(guī)范化、約束條件少的特點,易于解決復(fù)雜系統(tǒng)運動問題。

[1]JUNG B,JANG K I,MIN B K,et al.Magnetorheological Finishing Process for Hard Materials Using Sintered Iron-CNT Compound Abrasives[J].International Journal of Machine Tools&Manufacture,2009,(49): 407-418.

[2]CARL ZEISS SMT AG.Ion Beam Figuring for Lithography Optics[J].Nuclear Instruments and M ethods in Physics Research Section B:Beam Interactions with Materials and Atoms,2009,267(8-9):1 390-1 393.

[3]施春燕,袁家虎,伍 凡,等.沖擊角度對射流拋光中材料去除面形的影響分析[J].光學(xué)學(xué)報,2010, 30(2):513-517.

[4]劉又午.多體動力學(xué)的休斯敦方法及其發(fā)展 [J].中國機(jī)械工程,2000,11(6):601-607.

[5]粟時平.多軸數(shù)控機(jī)床精度建模與誤差補償方法研究[D].長沙:國防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2002.