功能梯度Timoshenko梁的靜力彎曲分析

付俊強(qiáng),龔云

(1.洛陽(yáng)理工學(xué)院機(jī)械工程系,河南洛陽(yáng)471023,2.焦作師范高等?？茖W(xué)校基建處,河南焦作454002)

均質(zhì)材料Timoshenko梁的研究已有許多文獻(xiàn)報(bào)道,Timoshenko[1]首先研究了各向均勻梁的剪切變形效應(yīng);龔善初[2]應(yīng)用最小余能原理的理論和方法,對(duì)Timoshenko梁進(jìn)行了動(dòng)力分析;劉吉源[3]分析了在軸向力作用下的Timoshenko梁的橫向振動(dòng)頻率特性;馬連生[4]利用Euler-Bernoulli梁理論、Timoshenko梁理論和Reddy三階梁理論的特征值問(wèn)題的相似性,研究了不同梁理論之間特征值的關(guān)系。近年來(lái),人們從不同角度開(kāi)展了FGM結(jié)構(gòu)力學(xué)方面的研究,Ma和Wang[5-6]基于經(jīng)典理論,用打靶法求解了周邊簡(jiǎn)支和周邊固支功能梯度材料圓薄板在橫向荷載作用下的大撓度彎曲問(wèn)題,以及在徑向均布機(jī)械荷載作用下的后屈曲行為;Shen[7]采用二次攝動(dòng)技術(shù)求解了四邊簡(jiǎn)支功能梯度復(fù)合材料矩形板在熱/機(jī)荷載作用下的非線性彎曲問(wèn)題;WOO[8]基于經(jīng)典理論,推導(dǎo)了橫向載荷和溫度場(chǎng)作用下FGM矩形板和淺殼大撓度Fourier級(jí)數(shù)形式的解析解。

本文基于 Timoshenko梁理論,推導(dǎo)了功能梯度材料梁的彎曲控制方程,通過(guò)理論推導(dǎo)和相似性分析證明,將功能梯度Timoshenko梁?jiǎn)栴}的求解轉(zhuǎn)化為均勻材料梁的求解,從而為功能梯度梁的彎曲分析提供便捷的途徑。

1 求解方法

考慮一厚度為h、長(zhǎng)度為l、橫截面積為A的矩形截面FGM梁,材料的彈性模量只沿厚度方向呈梯度變化,梁上作用有橫向均布載荷q,建立坐標(biāo)系如圖1。

Timoshenko梁理論克服了Euler梁理論的局限性,粗略地考慮了橫截面內(nèi)的剪切變形。它的基本假定是：橫截面在變形中始終保持平面,但在彎曲變形之后,橫截面不再與中軸線垂直,而是形成了一定的轉(zhuǎn)角,該轉(zhuǎn)角是由彎曲應(yīng)力引起的轉(zhuǎn)角和由剪應(yīng)力引起的轉(zhuǎn)角共同組成。它不僅考慮了彎曲變形,也考慮了由剪應(yīng)力引起的剪切變形,且假定剪應(yīng)力沿橫截面等值分布,這種變形理論也稱為一階剪切變形理論。需強(qiáng)調(diào)的是,該理論必須進(jìn)行剪切修正,這個(gè)修正系數(shù)不僅與材料和幾何參數(shù)有關(guān),還與載荷及邊界條件有關(guān)。

Timoshenko梁變形理論下梁的幾何方程為

式中 u0、w0—軸線上一點(diǎn)的位移;φ—橫截面轉(zhuǎn)角;ε和γ—橫截面上的線應(yīng)變和剪應(yīng)變。

橫截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力為

式中G—剪切彈性模量;k—校正因子;E=E (z)—彈性模量,沿厚度呈梯度變化。

假設(shè)彈性模量按下列冪函數(shù)變化

式中Eb=E(h/2),Et=E(-h/2),它們分別為上、下表面的彈性模量。

對(duì)于功能梯度材料,彈性常數(shù)滿足

由式(2)可得橫截面的等效內(nèi)力

將式(3)代入式(6),并令α=K-1,K= Et/Eb,積分可得

顯然,對(duì)于均勻材料有Eb=Et=E,α=0,這時(shí)就有A1=EA,B1=0,D1=EI。其中I= bh3/12為橫截面的慣性矩。力形式的平衡方程為

將式(5)代入式(8),得到位移形式的平衡方程

對(duì)式(10)求一次導(dǎo)數(shù),并結(jié)合式(9)可得關(guān)于轉(zhuǎn)角的獨(dú)立方程

對(duì)式(11)無(wú)量綱變換,得到無(wú)量綱化的微分方程

由式(10)可以求得

上式積分則可得撓度。式中第二項(xiàng)是對(duì)Euler梁理論的修正,如果梁為細(xì)長(zhǎng)的,則δ2=(h/l)2很小,該項(xiàng)即可被忽略,則變形為滿足直法線假設(shè)的Euler梁理論。

如果材料為均勻的,則φ1=1,φ2=0,φ3= 1/12,c=1。這時(shí)方程(13)和(14)變?yōu)?/p>

如果我們已求得均勻Timoshenko梁的轉(zhuǎn)角φ＊,則非均勻Timoshenko梁的轉(zhuǎn)角為

由式(16)知均勻梁與非均勻梁的無(wú)量綱撓度之間的關(guān)系為

積分后可得非均勻Timoshenko梁的無(wú)量綱撓度函數(shù)。

2 結(jié)論

1)將功能梯度材料Timoshenko梁在靜載荷作用下的彎曲變形解用相同尺寸、相同載荷作用下均勻材料Timoshenko梁的彎曲變形解乘以非均勻系數(shù)來(lái)表示。

2)將求解非均勻Timoshenko梁的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解均勻材料Timenshenko梁和非均系數(shù)的問(wèn)題,從而使得問(wèn)題大大簡(jiǎn)化。

3)由于方程都是線性的,這種相似轉(zhuǎn)化可以推廣到無(wú)量綱彎矩、轉(zhuǎn)角和剪力的計(jì)算,而且對(duì)于任意的載荷工況和邊界條件都適應(yīng)。

[1]TIMOSHENKO S P.On the correctionfor shear of the differential equation for transverse vibrations of prismatic bars[J]. PhilMag,1941,744-746.

[2]龔善初.幾何參數(shù)對(duì)Timoshenko梁固有頻率的影響[J].武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào),2005,29(3)：473-475.

[3]劉吉源,戈新生,陳立群.軸向力作用下Timoshenko梁的橫向振動(dòng)[J].北京機(jī)械工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào),2000,15 (3)：56-59.

[4]馬連生,歐志英,黃達(dá)文.不同梁理論之間簡(jiǎn)支梁特征值的解析關(guān)系[J].工程力學(xué),2006,23(10)：91-95.

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