Rayleigh波頻散曲線兩種計(jì)算方法的對(duì)比

秦波,曹艷梅,夏禾

(北京交通大學(xué)土木建筑工程學(xué)院,北京100044)

1887年,Rayleigh首先發(fā)現(xiàn)了Rayleigh波的存在并揭示了其在彈性半空間介質(zhì)中的傳播特性。20世紀(jì)50年代初,人們又發(fā)現(xiàn)了Rayleigh波的頻散特性,隨之開始了利用天然地震記錄中的Rayleigh波探測(cè)地球內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究。目前關(guān)于瑞雷波的研究主要集中在兩大方面：一是瑞雷波的正演,即利用層介質(zhì)參數(shù),通過土體的傳遞矩陣來計(jì)算瑞雷波的頻散特性(瑞雷波的相速度與頻率之間的關(guān)系)[1-4];二是瑞雷波的反演,即利用現(xiàn)有的儀器測(cè)定瑞雷波的波速,提取瑞雷波的頻散曲線,對(duì)地基土的參數(shù)等進(jìn)行反演解釋[5-6]。由于瑞雷波的頻散關(guān)系是一個(gè)隱式關(guān)系,正演中關(guān)于理論頻散曲線的推導(dǎo)不易求解,對(duì)此國(guó)內(nèi)外的研究人員提出了一些用在正演中的研究方法,如直角坐標(biāo)系下的Thomson-Haskell傳遞矩陣法[7],Knopoff算法[8]、Schwab算法[9],柱面坐標(biāo)系下的δ矩陣算法和快速標(biāo)量算法[1-3]以及薄層剛度法[4]等。本文主要對(duì)目前采用比較多的兩種方法—快速標(biāo)量法和薄層剛度法進(jìn)行分析比較,通過算例分析給出每種方法的優(yōu)缺點(diǎn)以及適用范圍,為更好地進(jìn)行Rayleigh波的正演和反演等研究提供合理的研究方法。

1 快速標(biāo)量法

快速標(biāo)量法是由張碧星[10]、凡友華[1-3]等在無量綱實(shí)數(shù)傳遞矩陣算法和快速矢量傳遞算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)提出的。為降低有效數(shù)字的損失以及快速矢量傳遞算法的計(jì)算量,用標(biāo)量的傳遞形式重新組織傳遞過程。

按下式定義五個(gè)標(biāo)量x1,x2,x3,x4,x5

式中Vi—第i層介質(zhì)參數(shù)。

式中 vSi、vPi—第 i層介質(zhì)的橫波波速和縱波波速;ν—Rayleigh波波速。

按照各層的介質(zhì)參數(shù)從第n層到第1層對(duì)5個(gè)標(biāo)量依次進(jìn)行傳遞,每次傳遞的程序?yàn)?/p>

式中k和h分別表示Rayleigh波沿水平自由界面?zhèn)鞑シ较蛏系牟〝?shù)和層厚度,a=cos(γPkh),b= cos(γSkh),d=sin(γSkh)/γS,e=sin(γPkh)/γP,r =,s=,g=1-γ=v2/(2)。

得到第一層介質(zhì)對(duì)應(yīng)的5個(gè)標(biāo)量,令此時(shí)的行x3為x3(1),則頻散方程為

可以看出,快速標(biāo)量算法通過將矩陣轉(zhuǎn)化為標(biāo)量運(yùn)算,可以大大提高頻散曲線的計(jì)算速度。但其不能進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算,因此不能更好地考慮介質(zhì)阻尼對(duì)模態(tài)的影響。

2 薄層剛度法

薄層剛度法是Lysmer和Wass在研究Love波時(shí),將分層細(xì)化成很多薄層。Kausel和Roesset將此方法推廣至分層介質(zhì)中P-SV波場(chǎng)研究,將層剛度矩陣中的三角函數(shù)(若含有復(fù)數(shù),則為超越函數(shù))進(jìn)行了化簡(jiǎn),三角函數(shù)或超越函數(shù)運(yùn)算最容易導(dǎo)致數(shù)字損失,從這一點(diǎn)講,薄層剛度法并不比傳遞矩陣優(yōu)越。然而當(dāng)三角函數(shù)值很小時(shí)(若為復(fù)數(shù),則要求復(fù)數(shù)的模很小),三角函數(shù)則可用簡(jiǎn)單的代數(shù)表示。

根據(jù)泰勒級(jí)數(shù),無論 x是實(shí)數(shù)還是復(fù)數(shù),當(dāng) x趨近于x0時(shí)

當(dāng)x很小時(shí),正余弦三角函數(shù)分別近似為

薄層剛度法層剛度矩陣中的三角函數(shù)一般表示為krαd和krβd,其中rα,rβ由下式給定求出

式中k—Rayleigh波沿水平自由界面?zhèn)鞑シ较蛏系牟〝?shù);VRm、VPm,d—第m層Rayleigh波相速度、縱波波速和薄層的厚度。

由于rα,rβ的值有限,要使krαd,krβd很小,kd =2π d/λ必須很小,即波長(zhǎng)相對(duì)分層厚度很大時(shí),分層剛度矩陣可以表示為

式中 λ、μ—地基土的 Lamé常數(shù);ρ—土體密度。

上式表明,將層厚劃分為很多薄層,層厚相對(duì)波長(zhǎng)很小時(shí),這些薄層的剛度矩陣就可以用代數(shù)形式表示。將位移矢量以層排列方式轉(zhuǎn)化為以水平向、豎直向排列方式,即將U=[u0,w0,u1,w1,…un-2,wn-2,un-1,wn-1]T改寫為

式中u、w—分層界面處的水平位移分量和豎向位移分量;0—自由界面;i—第i層界面(i=1,2,3,…,n-1)。

薄層剛度矩陣相應(yīng)改寫為

將薄層剛度矩陣集成得到總剛度矩陣

從上式可以看出,二次特征值方程的求解可以轉(zhuǎn)化為求解方程的一次特征值問題,求解方程的特征值就可以得到相應(yīng)的Rayleigh波波數(shù)。

和直角坐標(biāo)系下的算法(Thomson-Haskell的傳遞矩陣法、Knopoff改進(jìn)算法)以及柱面坐標(biāo)系下的算法(δ矩陣算法,快速標(biāo)量法)方法不同,薄層剛度法采取了化簡(jiǎn)的形式,將三角函數(shù)進(jìn)行了化簡(jiǎn),提高了數(shù)字計(jì)算速度。用泰勒級(jí)數(shù)代替三角函數(shù),并且根據(jù)每層的層剛度矩陣來組集總剛度矩陣,得到關(guān)于剛度矩陣的行列式,通過求解該行列式的特征值,得到波長(zhǎng)值,他們和Rayleigh波的相速度是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,這種算法的優(yōu)點(diǎn)就是求解速度快,方程為顯式,關(guān)系對(duì)應(yīng)明確。

雖然三角函數(shù)或超越函數(shù)容易導(dǎo)致數(shù)字損失,但當(dāng)它用代數(shù)表示后,利用剛度矩陣可以直接求出矩陣的特征值,速度快精度高,并且可以通過復(fù)數(shù)求解來考慮阻尼效應(yīng)。

3 算例

分別采用快速標(biāo)量法和薄層剛度法計(jì)算分析對(duì)分層土介質(zhì)模型Rayleigh波的頻散性。

3.1 兩層土介質(zhì)模型

以中軟場(chǎng)地土為例,地基土參數(shù)見表1。土層假設(shè)為兩層,層厚度依次為2m,半無限空間(近似以100m計(jì)),計(jì)算頻率范圍400Hz。

分別采用快速標(biāo)量法和薄層剛度法計(jì)算其頻散曲線如圖1所示。

表1 兩層土介質(zhì)模型參數(shù)Tab.1 Parameters of two-layer soil model

圖1中列出了0至350Hz頻率范圍內(nèi)的前六階模式對(duì)應(yīng)的頻散曲線。從圖中可以看出,對(duì)于Rayleigh波的前三階模態(tài),兩種方法的計(jì)算結(jié)果除了在上一階模態(tài)的截止頻率附近計(jì)算差異較大外,在隨后的頻率范圍內(nèi),二者并無差異。

3.2 三層土介質(zhì)模型

第二種地基土模型選用中硬場(chǎng)地土,土層假設(shè)為三層,層厚度依次為2m,5m,半無限空間(近似以100m計(jì)),計(jì)算頻率范圍400Hz。

分別采用快速標(biāo)量法和薄層剛度法計(jì)算其頻散曲線如圖2所示。

圖2中列出了0至350Hz范圍內(nèi)三層土介質(zhì)模型的頻散曲線?？梢杂^察出,在50Hz內(nèi),尤其對(duì)于基階模式,快速標(biāo)量法圖形有一些不規(guī)則,但高階模態(tài)和薄層剛度法差異不大。在高頻區(qū),各階模態(tài)兩種算法計(jì)算的頻散曲線并無差別。

比較圖1和圖2,可以看出：

1)Rayleigh波相速度范圍趨于層剪切波速最小最大值之間,兩類方法計(jì)算的頻散曲線結(jié)果比較接近,總體趨勢(shì)一致,差異不是很大。

2)在50Hz之后,頻率越大,兩類方法計(jì)算結(jié)果越接近,尤其是基階模態(tài),兩者的差異性最小。

3)相速度越小,兩類方法計(jì)算結(jié)果越接近。

表2 三層土介質(zhì)模型參數(shù)Tab.2 Parameters of three-layer soil model

4)采用快速標(biāo)量法計(jì)算的Rayleigh波相速度比薄層剛度法計(jì)算的值大,但是隨著頻率的增大,二者的差異逐漸減小。

5)在頻率較小時(shí),尤其是在50Hz內(nèi),當(dāng)相速度趨于層剪切波速最大值時(shí),快速標(biāo)量法的曲線不規(guī)則,并出現(xiàn)多條曲線。相反,薄層剛度法則趨于層剪切波速最大值。因此,在零頻率附近薄層剛度法的計(jì)算效果優(yōu)于快速標(biāo)量法。

6)對(duì)于瑞雷波相速度最小值,兩類方法差異性不大,均接近層剪切波速最小值。

4 結(jié)論

1)快速標(biāo)量法計(jì)算頻散曲線的速度比較快,并且它避免了一些不必要的虛數(shù)運(yùn)算,大大提高了計(jì)算的穩(wěn)定性。

2)與快速標(biāo)量法相比,薄層剛度矩陣法可做復(fù)數(shù)運(yùn)算,可以更好地考慮介質(zhì)阻尼對(duì)模態(tài)傳播特性影響,此外薄層剛度矩陣法可避免傳遞矩陣連乘導(dǎo)致的數(shù)值不穩(wěn)定,但該方法要求所細(xì)化的薄層厚度要遠(yuǎn)小于波長(zhǎng),因此計(jì)算速度會(huì)受到一定的限制。

3)經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)在低頻階段薄層剛度法計(jì)算效果優(yōu)于快速標(biāo)量法,在高頻區(qū)域二者差別不大。

4)與快速標(biāo)量法相比,薄層剛度法進(jìn)行簡(jiǎn)化后,可以利用特征值求出頻率波速對(duì)應(yīng)關(guān)系,計(jì)算簡(jiǎn)便。

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