起重機超靜定桿系結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定分析中的有限元誤判與應對

孟麗霞，陸念力，胡燕東

（哈爾濱工業(yè)大學 機電工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001）

隨著材料科學的迅猛發(fā)展，高強度結(jié)構(gòu)鋼開始廣泛應用于大型起重運輸與工程機械和建筑結(jié)構(gòu)中，此時相對于結(jié)構(gòu)的強度和剛度驗算而言，起重機金屬結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性校核的重要性愈加凸顯.起重機設計規(guī)范中除了要求驗算整體穩(wěn)定的同時，還要求驗算各桿件的局部穩(wěn)定［1］，很多文獻從不同角度對結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)和局部失穩(wěn)的計算方法進行了探討［2，3］.桁架結(jié)構(gòu)向?qū)嵏故浇Y(jié)構(gòu)等效的穩(wěn)定性計算方法、不同結(jié)構(gòu)形式對整體失穩(wěn)和局部失穩(wěn)的影響以及整體穩(wěn)定和局部穩(wěn)定臨界力的關(guān)系等問題受到了普遍關(guān)注［4-7］.

有限元法及其應用軟件是大型復雜桁架結(jié)構(gòu)計算分析的最有效方法.隨著工程中有限元方法的廣泛普及，越來越多的設計人員直接采用有限元法這一先進的計算手段進行機構(gòu)的強度、剛度和穩(wěn)定性分析，大大地提高了計算精度和效率［8］.通常的有限元方法及其應用軟件雖可較好地解決結(jié)構(gòu)強度和剛度分析問題，但對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性極限狀態(tài)的判斷尚無很好的手段.用ANSYS等現(xiàn)有的有限元應用軟件對結(jié)構(gòu)進行穩(wěn)定性分析時，不區(qū)分整體失穩(wěn)和局部失穩(wěn)，只一概而論地稱之為失穩(wěn).對靜定桁架結(jié)構(gòu)而言，單肢失穩(wěn)就意味著整體失穩(wěn)，因為靜定桁架中任何1根桿件的失效，整體將成為幾何可變體系，結(jié)構(gòu)喪失原有穩(wěn)定工作形態(tài)，也因此失去原有的承載能力.對超靜定結(jié)構(gòu)則未必，單肢或局部失穩(wěn)后，結(jié)構(gòu)受力條件會發(fā)生變化，產(chǎn)生局部失穩(wěn)后的載荷重新分配.因此，當采用有限元法對超靜定桁架結(jié)構(gòu)進行穩(wěn)定性分析時，得到的失穩(wěn)臨界力并非真正的結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時的極限載荷，有時整體結(jié)構(gòu)真實失穩(wěn)臨界力遠大于局部失穩(wěn)臨界力.在工程中設計人員更關(guān)心結(jié)構(gòu)實際能夠承受的穩(wěn)定臨界載荷，即整體結(jié)構(gòu)何時出現(xiàn)失穩(wěn)，它是確定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的安全儲備、優(yōu)化結(jié)構(gòu)設計的依據(jù).

1 梁桿系統(tǒng)精確有限元方程及其在穩(wěn)定性分析中的應用

1.1 有限元特征值屈曲分析的理論基礎(chǔ)

結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的能量準則表述為：彈性力學系統(tǒng)總勢能Π的正定二階變分是保證結(jié)構(gòu)靜力穩(wěn)定的必要和充分條件，即：

式中：δ為對勢能Π求變分，即δ2Π表示對Π求二階變分.

在有限單元組成的結(jié)構(gòu)中，若不考慮初始缺陷，結(jié)構(gòu)總勢能表示為

式中：V（e）為單元體積；ε為單元應變列陣；D為單元彈性矩陣；ue為單元位移列陣；Fe為單元節(jié)點載荷列陣.

總勢能關(guān)于節(jié)點廣義位移向量u的二階變分為

由非線性有限元理論得

式中：K0為線性剛度陣；Ku為大位移剛度陣；Kσ為幾何剛度陣；KT為切線剛度陣.

可見，總勢能Π的二階變分δ2Π＞0與正定的KT是等價的.因而結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界條件也可以表示為

在彈性穩(wěn)定所涉及的小變形情況下，略去大位移剛度陣Ku，式（5）可表為

Kσ是關(guān)于系統(tǒng)載荷的函數(shù)，由此可解得整體結(jié)構(gòu)的臨界載荷.對于線性屈曲問題，屈曲前的結(jié)構(gòu)處于初始模型的線性平衡狀態(tài)，應力和外載也為線性關(guān)系.如果令結(jié)構(gòu)處于某一載荷狀態(tài)下的幾何剛度矩陣為，則由線性關(guān)系將式（6）改寫為

1.2 基于二階理論的梁單元精確剛度陣

由上述分析可知，有限元法求解穩(wěn)定問題的精度取決于切線剛度陣KT的精確度.文獻［5］運用二階理論給出了梁單元精確剛度陣：

這就是一般有限元軟件中所用的梁單元切線剛度陣.

圖1 2端簡支軸向受壓的鉸支桿Fig.1 Simply supported column with axial force

1.3 典型結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)算例

圖1為2端簡支軸向受壓的鉸支桿，2端承受軸力P作用，分別產(chǎn)生角位移u1，u2.此結(jié)構(gòu)中只有1個單元，由精確剛度式（8）得其剛度陣為

由屈曲條件det K＝0，解得臨界力Pcr＝12EI／l2，與精確解誤差達21.6%.當把構(gòu)件劃分為2個單元時，誤差可減至0.7%.

2 有限元法在超靜定桿系結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定分析中的誤判

如前所述，有限元方法判斷結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的依據(jù)是系統(tǒng)切線剛度陣的行列式值為零.這其中并無局部失穩(wěn)、單肢失穩(wěn)或整體失穩(wěn)的考慮.有限單元法是解決復雜結(jié)構(gòu)分析問題的強有力工具，已成為共識.隨著計算機速度與容量的提高，以及各類結(jié)構(gòu)分析軟件的出現(xiàn)，人們對有限元軟件的信任與依賴越來越大.在ANSYS等成熟的著名商用有限元程序為人們解決了一個又一個復雜的結(jié)構(gòu)分析難題時，除對自身應用軟件建模能力不自信之外，極少有人懷疑有限元方法及分析軟件本身可能帶來的問題.但當涉及梁桿系統(tǒng)超靜定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定分析時，不得不重新冷靜地審視有限元方法本身帶來的問題.

考察圖2a中的二單元超靜定結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，設桿1、桿2的截面積為A1＝A2，截面慣性矩為I2＝3I1，承受軸力N 作用.直接用解析法可得系統(tǒng)的臨界力為

而用有限元方法計算的系統(tǒng)臨界力為

顯然有限元方法計算系統(tǒng)臨界力是錯誤的，因為系統(tǒng)臨界力居然小于桿2單獨的臨界力為

再考察圖2b中的傾角相同、大小均為θ的對稱二桿結(jié)構(gòu)，當二桿截面積相等時，無論截面慣性矩是否相等，由解析法得到的系統(tǒng)臨界力皆為

式（20）中，I為I1，I2中的較小者，顯然與解析法得出的解有差別.

由這2個簡單超靜定結(jié)構(gòu)實例不難發(fā)現(xiàn)，當結(jié)構(gòu)中某根桿件首先失穩(wěn)時，有限元程序即給出整體失穩(wěn)的判斷，這是典型的誤判.

考察圖3中的二單元靜定結(jié)構(gòu)和圖4中的三單元超靜定結(jié)構(gòu)，均承受軸力P作用.設2圖中桿1、桿2的材料參數(shù)相同，均為φ20mm的鋼管，圖4中桿3材料使用φ12mm的鋼管.運用有限元軟件ANSYS和SAP計算，得到圖3的二單元靜定結(jié)構(gòu)屈曲載荷為120.47kN，圖4的三單元超靜定結(jié)構(gòu)屈曲載荷為51.628kN.三單元超靜定結(jié)構(gòu)多了1根構(gòu)件，其他結(jié)構(gòu)與二單元靜定結(jié)構(gòu)相同，可是有限元軟件算出的屈曲載荷居然比二單元靜定結(jié)構(gòu)屈曲載荷低得多，顯然又是誤判.

圖2 二單元超靜定結(jié)構(gòu)Fig.2 2-element statically indeterminate structure

圖3 二單元靜定結(jié)構(gòu)圖Fig.3 2-element statically determinate structures

圖4 三單元超靜定結(jié)構(gòu)Fig.4 3-element statically indeterminate structure

有限元工具在面臨超靜定梁桿結(jié)構(gòu)時，出現(xiàn)了誤判.而工程機械結(jié)構(gòu)中又是如此廣泛地使用超靜定梁桿架結(jié)構(gòu)，并如此倚重有限元工具，這是不得不重視的問題.采用有限元方法分析靜定梁桿結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性時，如何克服通用有限元軟件在計算超靜定結(jié)構(gòu)穩(wěn)定臨界力時的“誤判”至關(guān)重要.為此，首先須找出導致誤判的原因.

既然有限元方法判斷結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的依據(jù)是系統(tǒng)切線剛度陣的行列式值為零，那么根源就在系統(tǒng)切線剛度陣的構(gòu)成上.由較為簡單的圖2二單元結(jié)構(gòu)著手，系統(tǒng)的切線剛度陣可表為

系統(tǒng)失穩(wěn)條件式為

從式（12）中可知，這是2個鉸接桿單元剛度陣行列式值的乘積，無論哪個單元剛度陣行列式值先為零，系統(tǒng)都將宣告失穩(wěn)，誤判由此產(chǎn)生.

考察任意2端鉸接桿單元剛度參數(shù)在系統(tǒng)剛度陣的位置，不難得知，單元的端部轉(zhuǎn)動自由度獨立于系統(tǒng)的其他自由度，其轉(zhuǎn)動剛度與系統(tǒng)其他單元剛度不發(fā)生耦合.不失一般性地對系統(tǒng)剛度陣施加不改變整體剛度矩陣行列式值的初等變換，總可獲得形如下式的等效整體剛度矩陣：

由式（24）可見，各鉸接桿單元剛度陣行列式是獨立無關(guān)的，無論哪個單元剛度矩陣的行列式值先為零，系統(tǒng)都將宣告失穩(wěn)，而系統(tǒng)的整體失穩(wěn)則取決于A的行列式.要消除穩(wěn)定性臨界力誤報，就必須找出小于整體失穩(wěn)載荷的失穩(wěn)單元.

3 超靜定桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性誤判消除的單元撤換法

由前述分析可知，超靜定桁架結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定臨界力出現(xiàn)誤判的原因，是有限元方法中當單元剛度矩陣行列式為零（單元失穩(wěn)）時，導致整體剛度矩陣行列式為零，出現(xiàn)整體失穩(wěn)的誤判.因此，1個直接有效的消除誤判方法就是：將單肢失穩(wěn)的單元去除，而在單元2端代之其可承受的歐拉臨界力.例如，作為原超靜定的桁架結(jié)構(gòu)，如圖5a所示，去掉1個多余桿件仍為超靜定結(jié)構(gòu)，如圖5b所示，圖5b再去掉1個多余桿件變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，如圖5c所示，該結(jié)構(gòu)仍可繼續(xù)承載.

超靜定結(jié)構(gòu)中某些桿件依次失穩(wěn)，被代之以相應的單肢歐拉臨界力，直至結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu).這個具有預加載荷的靜定結(jié)構(gòu)的臨界失穩(wěn)載荷，即為原系統(tǒng)的臨界力.單元撤換法的思路是很簡潔、直觀的，對簡單結(jié)構(gòu)可人為分析判斷.但事實上實施起來并非易事，對高次超靜定的復雜結(jié)構(gòu)尤為如此.其難度在于，如何在眾多的桿件中依次找出先行失穩(wěn)的桿件，將其去除并代之以桿當前的軸力（即單元的歐拉臨界力）.顯然只能通過編程進行系統(tǒng)判斷.雖然現(xiàn)有的通用商業(yè)有限元軟件ANSYS，SAP84等在解決超靜定桁架穩(wěn)定性分析上存在誤判的功能缺陷問題，但其程序組織、數(shù)學模型與力學模型的組裝和求解功能的強大與成熟是眾所公認的.因此，需合理利用ANSYS的程序內(nèi)核，引入單肢失穩(wěn)判斷和處理方法，在ANSYS平臺上構(gòu)建新的有限元分析力學模型，進而求解新的系統(tǒng)臨界力，依次消除各階次超靜定引起的誤判，得到系統(tǒng)真正的彈性穩(wěn)定臨界力.

圖5 超靜定結(jié)構(gòu)桿單元撤除法示例Fig.5 Demonstration of element replacement in statically indeterminate structure

4 基于ANSYS平臺的桿系結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析軟件開發(fā)

如前所述，采用有限元軟件計算所得的超靜定桁架結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)臨界力未必是表征結(jié)構(gòu)失穩(wěn)臨界狀態(tài)的受力情況.為了得到這類桁架結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的臨界載荷，對通用的有限元分析軟件進行二次開發(fā)在工程中有很大的實際意義.超靜定結(jié)構(gòu)在整體沒有失穩(wěn)之前桿件變形可用小撓度理論分析［9］，認為桿件的失穩(wěn)是一類失穩(wěn)來簡化計算.當桁架結(jié)構(gòu)出現(xiàn)單肢失穩(wěn)時，如果繼續(xù)增加載荷，失穩(wěn)的桿件單元所受的內(nèi)力保持臨界值，并不會因外載增加而增加，此時，其他單元將分擔全部增加的載荷.所以，從受力特性上來說，此時的結(jié)構(gòu)已經(jīng)發(fā)生變化，要繼續(xù)分析結(jié)構(gòu)是否還有承載能力，必須對有限元分析模型進行相應的改動，建立起與實際結(jié)構(gòu)受力相同的等效結(jié)構(gòu)模型.本文基于ANSYS環(huán)境進行二次開發(fā)，在進行穩(wěn)定分析過程中對結(jié)果進行分析，判斷ANSYS得到的臨界狀態(tài)是否為單肢失穩(wěn)臨界狀態(tài)，并進一步建立等效分析模型，繼續(xù)穩(wěn)定性分析，直到得到結(jié)構(gòu)整體失穩(wěn)時的臨界載荷.本文開發(fā)的程序流程如圖6所示.

圖7所示的交叉腹桿式塔式建筑起重機，每一面塔身腹桿交叉對稱布置，受力量值大體相等，拉壓相反.由于腹桿較纖細，桿件長細比很大，在有限元分析中很快就出現(xiàn)失穩(wěn).實際上把壓桿去除后，另一受拉腹桿仍可單獨提供結(jié)構(gòu)的安全工作.運用本文提供的方法和分析程序，很好驗證了這一點.

圖6 基于ANSYS的桿系穩(wěn)定性分析程序流程Fig.6 Program flowchart of stability analysis of truss structure based on ANSYS

圖7 大長細比交叉腹桿式塔式起重機的計算簡圖Fig.7 Calculation model of tower crane with large slenderness ratio and crossed flank rod

5 結(jié)論

格構(gòu)式桁架結(jié)構(gòu)如塔身、吊臂是塔式起重機及施工升降機等起重設備的主要組成部分，它們的穩(wěn)定性關(guān)乎整機工作的安全性.桁架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性分析由于其復雜性需借助有限元軟件實現(xiàn)，通過對桿系結(jié)構(gòu)穩(wěn)定理論和有限元穩(wěn)定理論的深入分析運用，解決了有限元軟件分析超靜定桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性出現(xiàn)誤判的問題，完善了有限元軟件在桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性分析中的應用，為工程應用提供了有益的參考和借鑒.

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