基于軌跡靈敏度技術(shù)的PSS和SVC協(xié)調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)*

劉明波 黃義隆 林舜江

(華南理工大學(xué)電力學(xué)院∥廣東省綠色能源技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣東廣州510640)

電力系統(tǒng)穩(wěn)定器(PSS)是一個附加于發(fā)電機(jī)勵磁控制器的輔助環(huán)節(jié)，其作用是提高發(fā)電機(jī)和整個電力系統(tǒng)的阻尼能力，抑制低頻振蕩，加速功率振蕩的衰減［1］.隨著電力電子器件和非線性控制理論的發(fā)展，靜止無功補(bǔ)償器(SVC)已經(jīng)廣泛用來提高系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性和大干擾穩(wěn)定性［2］，SVC的主要作用是為電網(wǎng)提供電壓支撐［3］.但是，多臺SVC和PSS的不協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)往往會導(dǎo)致電力系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定或者不能充分發(fā)揮其作用的狀況.電力系統(tǒng)各元件形成一個密不可分的整體，將各元件單獨(dú)研究忽視了它們之間的聯(lián)系，已不能滿足現(xiàn)代電力系統(tǒng)穩(wěn)定控制的需要.因此，實(shí)現(xiàn)SVC和PSS之間的協(xié)調(diào)控制，是目前電力系統(tǒng)設(shè)計(jì)中迫切需要解決的問題［4］.文獻(xiàn)［5］中提出了基于多目標(biāo)進(jìn)化算法的PSS和SVC協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)，考慮了它們之間的協(xié)調(diào)運(yùn)行，但該方法收斂速度較慢.文獻(xiàn)［6］中采用遺傳算法來協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)PSS和SVC，然而該方法沒有充分考慮SVC對電壓穩(wěn)定的影響，且容易出現(xiàn)早熟收斂和收斂性差的情況.近年來，軌跡靈敏度技術(shù)［7］逐漸受到關(guān)注，已成為研究電力系統(tǒng)穩(wěn)定問題的重要工具［8］.文獻(xiàn)［9-11］中分別以擾動后發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速衰減最快為目標(biāo)，采用軌跡靈敏度技術(shù)設(shè)計(jì)PSS和統(tǒng)一潮流控制器參數(shù)，有效地提高了系統(tǒng)的小干擾和大干擾穩(wěn)定性.

文中探討PSS和SVC的多目標(biāo)協(xié)調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，以各臺發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速平方的時域累加值和加裝SVC節(jié)點(diǎn)故障后的電壓變化量平方的時域累加值構(gòu)建兩個目標(biāo)函數(shù)，并將其加權(quán)后建立最終的目標(biāo)函數(shù)，在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中加入了阻尼功角振蕩和降低電壓波動的因素，在增強(qiáng)系統(tǒng)功角穩(wěn)定性的同時，有效地降低故障后的電壓波動.同時，采用軌跡靈敏度技術(shù)計(jì)算轉(zhuǎn)速和電壓變化量對PSS參數(shù)和SVC控制器參數(shù)的梯度，從而獲得目標(biāo)函數(shù)對各參數(shù)的梯度，并采用共軛梯度法優(yōu)化各參數(shù).軌跡靈敏度技術(shù)的應(yīng)用可以對梯度信息進(jìn)行實(shí)時跟蹤，有利于提高收斂速度，實(shí)現(xiàn)PSS與SVC的協(xié)調(diào)控制在復(fù)雜的大電網(wǎng)中的應(yīng)用.

1 電力系統(tǒng)模型

1.1 勵磁系統(tǒng)及PSS模型

勵磁系統(tǒng)及PSS模型［11］如圖1所示，勵磁系統(tǒng)忽略勵磁電源的動態(tài)行為，采用一階模型.PSS模型由一個放大環(huán)節(jié)、一個隔直環(huán)節(jié)、兩個超前滯后環(huán)節(jié)和一個限幅環(huán)節(jié)組成.其動態(tài)表達(dá)式如下:

式中:ω為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速;Ef為勵磁電壓;Ka和Ta為勵磁環(huán)節(jié)的增益和時間常數(shù);Vref為基準(zhǔn)電壓;Vt為機(jī)端電壓;Vs為PSS的輸出信號;K為PSS的放大倍數(shù);T1、T2、T3、T4、Tw為PSS的時間常數(shù);X1、X2為PSS模型的中間輸出量.

圖1 勵磁系統(tǒng)及PSS模型Fig.1 Excitation system and PSS model

1.2 SVC模型

圖2為附加阻尼控制的SVC框圖［5］.圖中Δu為輸入信號;KS為阻尼控制器的放大倍數(shù);T1，S、T2，S、T3，S、T4，S、Tw，S為阻尼控制器的時間常數(shù).其動態(tài)表達(dá)式如下:

式中:B為SVC的等效電納;Ka，S、Ta，S分別為控制器增益及時間常數(shù);Vref，S為基準(zhǔn)電壓;VSVC為SVC節(jié)點(diǎn)電壓;Vs，S為SVC控制器的輸出信號.

圖2 附加阻尼控制的SVC模型Fig.2 SVC model with damping control

2 軌跡靈敏度計(jì)算

軌跡靈敏度［7］是通過研究系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)對某些參數(shù)或初始條件甚至系統(tǒng)模型的靈敏度來定量分析這些因素對動態(tài)品質(zhì)的影響.軌跡靈敏度是隨時間變化的，屬于動態(tài)靈敏度.

多機(jī)電力系統(tǒng)的動態(tài)過程可以用一組微分代數(shù)方程來描述:

式中:x為一組n維的系統(tǒng)狀態(tài)變量;y為一組m維的系統(tǒng)代數(shù)變量;α為PSS和SVC的待優(yōu)化參數(shù);下標(biāo)帶0表示該變量的初值，下同.

式(3)的解為x(t)=φ(x0，α，t)，y(t)=ψ(y0，α，t)，對系統(tǒng)的微分方程求積分后，再對α求偏導(dǎo)數(shù)，得

式中:fx=?f(x，y，α)/?x，fy=?f(x，y，α)/?y，fα=?f(x，y，α)/?α.因?yàn)閤0獨(dú)立于α，所以?x0/?α=0;當(dāng)α=α0時，軌跡靈敏度可表示為

同理，求系統(tǒng)代數(shù)方程對α的導(dǎo)數(shù)，得

對軌跡靈敏度系統(tǒng)(6)－(7)應(yīng)用隱式梯形積分公式，整理可得

通過解線性方程可求得xα0(t+Δt)、yα0(t+Δt).

3 協(xié)調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型與求解

3.1 優(yōu)化模型

優(yōu)化PSS參數(shù)的目的是使PSS為各種機(jī)電振蕩模式提供最佳阻尼，系統(tǒng)受擾動后能以最快的速度恢復(fù)到穩(wěn)定運(yùn)行點(diǎn).優(yōu)化SVC控制器參數(shù)的目的是穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)電壓，使故障后節(jié)點(diǎn)電壓盡快恢復(fù)到可接受范圍，附加阻尼控制環(huán)節(jié)阻尼系統(tǒng)振蕩.基于上述考慮，PSS和SVC協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)的多目標(biāo)函數(shù)如下:

式中:t0為仿真開始時刻;t1為故障消除時刻;T為仿真時間;n為系統(tǒng)發(fā)電機(jī)臺數(shù);N為優(yōu)化的PSS臺數(shù);M為優(yōu)化的SVC臺數(shù);ˉωi為在慣性中心框架下第i臺發(fā)電機(jī)的轉(zhuǎn)速，

coiJ，i機(jī)的慣性時間常數(shù).

為了綜合考慮PSS參數(shù)和SVC控制器參數(shù)對PSS與SVC協(xié)調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)的影響，將兩個目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)，形成最終的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):

式中:μ1、μ2分別為J1、J2的權(quán)重系數(shù);J1表征了各臺發(fā)電機(jī)之間的功角搖擺程度，J1越小，各臺發(fā)電機(jī)越接近同步運(yùn)行;J2表征了各SVC節(jié)點(diǎn)電壓幅值的波動程度，J2越小，各節(jié)點(diǎn)電壓的波動越小.由于J1、J2的數(shù)值可能不在同一數(shù)量級上，如果權(quán)重系數(shù)選擇不合適，則可能會優(yōu)化PSS的效果，但對SVC的優(yōu)化效果卻不明顯，甚至惡化SVC的效果，也可能兩者的優(yōu)化效果相反.故選擇合適的J1和J2的權(quán)重系數(shù)非常重要，應(yīng)盡量使J1和J2的權(quán)值在同一數(shù)量級上.

3.2 約束條件處理

令向量α表示所有有待優(yōu)化的參數(shù)，式(10)可以簡寫為αmin≤α≤αmax.用ρi表示向量α中的第i個元素，ρmaxi、ρmini分別表示向量αmax和αmin中的第i個元素.通過非線性變換［11］，有

式中:bi表示向量β中的第i個元素，其初始值的取值范圍為.由式(14)可知，b在［－∞，i+∞］內(nèi)變化時，ρi的取值范圍為.因此有約束的非線性問題(12)可以轉(zhuǎn)化為無約束的非線性問題minJ(β).目標(biāo)函數(shù)(12)對參數(shù)α求導(dǎo)數(shù)，得到梯度信息表達(dá)式為

式中:VSVCj，x、VSVCj，y是VSVCj在x-y坐標(biāo)下的分量.目標(biāo)函數(shù)(12)對向量β中任意元素bi求導(dǎo)數(shù)，可得

3.3 計(jì)算步驟

采用共軛梯度法來求最優(yōu)解.該方法是在仿真的每一時步中將已有的梯度信息和搜索方向作線性組合，得到新的搜索方向d，并沿著搜索方向應(yīng)用一維優(yōu)化的方法得到最優(yōu)步長η，最后得到每一時步的參數(shù)優(yōu)化解.利用共軛梯度法優(yōu)化PSS參數(shù)和SVC控制器參數(shù)的具體步驟如下:

(1)選擇PSS和SVC控制器的初始參數(shù)α(0)=，應(yīng)用式(13)得 β(0);選擇收斂精度ε，令k=0.

(2)利用α(0)解軌跡靈敏度方程得?J(α(0))/?α，g(0)=?J(β(0))/?β;令d(0)=－g(0).

(3)以η=0為初始點(diǎn)，選擇h=1，應(yīng)用外推內(nèi)插法確定η(k)的搜索區(qū)間［a(k)，b(k)］.

(4)在［a(k)，b(k)］內(nèi)沿著d(k)方向應(yīng)用黃金分割法進(jìn)行一維優(yōu)化后得η(k).

(5)β(k+1)=β(k)+η(k)d(k)，由式(14)得α(k+1).

(6)利用 α(k+1)解軌跡靈敏度方程得?J(α(k+1))/?α，g(k+1)=?J(β(k+1))/?β;

4 仿真分析

4.1 3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的接線如圖3所示.故障條件設(shè)為8號母線上0.2s時刻發(fā)生三相短路故障，0.3s時刻故障消失.仿真時間為10 s，仿真步長設(shè)為h= 0.01s.發(fā)電機(jī)采用三階模型，為了抑制增幅性低頻振蕩和阻尼聯(lián)絡(luò)線大擾動后的低頻振蕩，在3臺發(fā)電機(jī)上都安裝了PSS，在4號節(jié)點(diǎn)上裝設(shè)SVC，PSS和SVC控制器的初始參數(shù)設(shè)置如表1所示，優(yōu)化后的控制器參數(shù)值如表2所示，優(yōu)化參數(shù)的取值范圍是根據(jù)IEEE Std 421.2—1990的典型范圍適當(dāng)放寬后得到的.優(yōu)化1、2、3號機(jī) PSS和 SVC控制器參數(shù)后的搖擺曲線如圖4所示，優(yōu)化前后節(jié)點(diǎn)4的電壓如圖5所示，優(yōu)化前后機(jī)電模式特征根的變化如圖6所示.圖6中ξ為阻尼比，ω為復(fù)數(shù)特征根的虛部，σ為復(fù)數(shù)特征根的實(shí)部.

圖3 3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.3 3-machine 9-bus system

表1 PSS和SVC控制器參數(shù)Table 1 Parameters of PSS and SVC

表2 3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)優(yōu)化后的PSS和SVC控制器參數(shù)Table 2 Parameters of PSS and SVC after optimization of 3-machine 9-bus sgstem

圖4 3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)優(yōu)化前后1、2和3號發(fā)電機(jī)的搖擺曲線Fig.4 Swing curves of Generators 1，2 and 3 before and after optimization of 3-machine 9-bus sgstem

圖5 優(yōu)化前后節(jié)點(diǎn)4的電壓Fig.5 Voltage at Bus 4 before and after optimization

優(yōu)化參數(shù)的取值范圍如下:

從圖4和5中可以看出，優(yōu)化后的PSS和SVC控制器不僅能有效地阻尼大干擾引起的系統(tǒng)振蕩，而且能降低故障后的電壓波動，使發(fā)電機(jī)功角和節(jié)點(diǎn)電壓盡快恢復(fù)到正常水平.從圖6可以觀察到，優(yōu)化后系統(tǒng)的機(jī)電模式特征值大幅度向復(fù)平面的左半平面移動，阻尼比等也顯著增大，說明了基于軌跡靈敏度技術(shù)的PSS和SVC控制器參數(shù)的協(xié)調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)對于提高系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性也有顯著作用.

圖6 3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)優(yōu)化前后機(jī)電模式特征根的變化Fig.6 Eigenvalues corresponding to electromechanical modes before and after optimization of 3-machine 9-bus system

4.2 10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線如圖7所示，故障條件為3號母線上0.2s時刻發(fā)生三相短路故障，0.3s時刻故障消失.仿真時間為 10 s，仿真步長設(shè)為h=0.01s.發(fā)電機(jī)采用三階模型，為了抑制增幅性低頻振蕩和阻尼聯(lián)絡(luò)線大擾動后的低頻振蕩，根據(jù)機(jī)電模式λi和狀態(tài)量Δωi(j=1，2，…，n)的相關(guān)因子，選擇PSS的安裝地點(diǎn)，在1號機(jī)(節(jié)點(diǎn)39)和10號機(jī)(節(jié)點(diǎn)30)上安裝PSS，在5號節(jié)點(diǎn)上安裝SVC，PSS和SVC的參數(shù)設(shè)置和參數(shù)約束條件與3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)相同，表3為優(yōu)化后的控制器參數(shù)值.

圖7 10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)Fig.7 10-machine 39-bus system

表3 10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)優(yōu)化后的PSS和SVC控制器參數(shù)Table 3 Parameters of PSS and SVC after optimization of 10-machine 39-bus system

3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)J由初始值8.850×10－5經(jīng)第1次優(yōu)化后下降為5.391×10－5，經(jīng)第2次優(yōu)化后降為3.088×10－5，再經(jīng)第3次優(yōu)化后，目標(biāo)函數(shù)變化很小，已達(dá)到收斂精度(ε取10－7).10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)中經(jīng)兩次優(yōu)化后目標(biāo)函數(shù)值明顯下降，從初始值2.055×10－4減小為1.440× 10－4，并在第3次優(yōu)化后下降很小，達(dá)到收斂精度，可以看出，該方法在更復(fù)雜的多機(jī)系統(tǒng)中，相同收斂精度下優(yōu)化次數(shù)并沒有明顯增大，優(yōu)化次數(shù)均為3.這主要是因?yàn)橐胲壽E靈敏度技術(shù)后得到了目標(biāo)函數(shù)對于待優(yōu)化參數(shù)的較準(zhǔn)確導(dǎo)數(shù)值，再用共軛梯度法根據(jù)這些實(shí)時變化的梯度信息對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，可以加快優(yōu)化求解的收斂速度，更好地逼近目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值.從兩個系統(tǒng)的優(yōu)化次數(shù)可以看出，軌跡靈敏度技術(shù)的引入使PSS與SVC的協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)可以在多機(jī)系統(tǒng)中得到很好的應(yīng)用.

圖8為系統(tǒng)優(yōu)化前后的搖擺曲線圖，圖9為優(yōu)化前后節(jié)點(diǎn)5的電壓圖.從圖8、9中可以看出，文中方法在復(fù)雜的多機(jī)系統(tǒng)中同樣能有效地阻尼系統(tǒng)振蕩，提高暫態(tài)穩(wěn)定性，并降低故障后節(jié)點(diǎn)電壓的波動，使電壓盡快恢復(fù)到正常范圍.圖10為優(yōu)化前后機(jī)電模式特征根的變化圖，從圖中可以看出大部分機(jī)電模式特征根向復(fù)平面的左半平面移動，這種現(xiàn)象可以用文獻(xiàn)［12］中提到的借阻尼現(xiàn)象來解釋，文中方法提供給機(jī)電模式的阻尼比大部分是從非機(jī)電模式中轉(zhuǎn)移而來，僅小部分是從其它機(jī)電模式中轉(zhuǎn)移而來，但總的來說，這種方法增大了系統(tǒng)機(jī)電模式的阻尼比，從而提高了系統(tǒng)的小干擾穩(wěn)定性.

圖8 10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)優(yōu)化前后的搖擺曲線Fig.8 Swing curves before and after optimization of 10-machine 39-bus system

圖9 優(yōu)化前后節(jié)點(diǎn)5的電壓Fig.9 Voltage at Bus 5 before and after optimization

圖10 10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)優(yōu)化前后機(jī)電模式特征根的變化Fig.10 Eigenvalues corresponding to electromechanical modes before and after optimization of 10-machine 39-bus system

5 結(jié)語

文中提出了一種基于時域仿真和軌跡靈敏度技術(shù)相結(jié)合的多目標(biāo)PSS和SVC協(xié)調(diào)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中加入了阻尼功角振蕩和降低電壓波動的因素，在增強(qiáng)了系統(tǒng)功角穩(wěn)定性的同時，有效地降低了故障后的電壓波動.軌跡靈敏度技術(shù)的應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)了對梯度信息的實(shí)時跟蹤，加快了優(yōu)化求解的收斂速度，使目標(biāo)函數(shù)快速逼近最優(yōu)值.在3機(jī)9節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)和10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)上的仿真結(jié)果表明，該方法能有效抑制低頻振蕩，提高暫態(tài)穩(wěn)定性和小干擾穩(wěn)定性，并降低故障后的電壓波動，采用文中方法的PSS和SVC協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)在多機(jī)系統(tǒng)中具有較快的收斂速度.

［1］ Larsen E V，Swann D A.Applying power system stabilizers(Part I):general concepts［J］.IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems，1981，100(6):3017-3024.

［2］ Khodabakhshian A，Hooshmand R，Sharifian R.Power system stability enhancement by designing PSS and SVC parameters coordinately using RCGA［C］∥Proceedings of Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering.St.John's:［s.n.］，2009:579-582.

［3］ Mithulananthan N，Canizares C A.Reeve J，et al.Comparison of PSS，SVC，and STATCOM controllers for damping oscillations power systems［J］.IEEE Transactions on Power System，2003，18(2):786-792.

［4］ 劉玉雷，解大，張延遲.電站系統(tǒng)中PSS與SVC聯(lián)合運(yùn)行的穩(wěn)定分析［J］.電力電容器，2007，28(4):16-20.Liu Yu-lei，Xie Da，Zhang Yan-chi.Stability studies of simultaneous operation of PSS and SVC in electric system［J］.Power Capacitor，2007，28(4):16-20.

［5］ 鄒振宇，江全元，張鵬翔，等.PSS與SVC多目標(biāo)協(xié)調(diào)設(shè)計(jì)［J］.電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(bào)，2005，17(4):66-70.Zou Zhen-yu，Jiang Quan-yuan，Zhang Peng-xiang，et al.Multi-objective coordinated design of PSS and SVC［J］.Proceedings of Electric Power System and Automation，2005，17(4):66-70.

［6］ Fallahi H，Aghamohammadi M R，Parizad A，et al.Enhancing power system oscillation damping using coordination between PSS and SVC［C］∥Proceedings of International Conference on Electric Power and Energy Conversion Systems.Sharjah:［s.n.］，2009:1-7.

［7］ Hiskens I A，Pai M A.Trajectory sensitivity analysis of hybrid systems［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems，2000，47(2):204-220.

［8］ Ghosh A，Chatterjee D.Transient stability assessment of power systems containing series and shunt compensators［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2007，22(3): 1210-1220.

［9］ Yuan S Q，F(xiàn)ang D Z.Robust PSS parameters design using a trajectory sensitivity approach［J］.IEEE Transactions on Power Systems，2009，24(2):1011-1018.

［10］ 張來，房大中，楊曉東.應(yīng)用軌跡靈敏度優(yōu)化設(shè)計(jì)UPFC阻尼控制器參數(shù)［J］.電力系統(tǒng)及其自動化學(xué)報(bào)，2005，17(5):12-17.Zhang Lai，F(xiàn)ang Da-zhong，Yang Xiao-dong.Parameters optimization for UPFC damping controller using trajectory sensitivity［J］.Proceedings of Electric Power System and Automation，2005，17(5):12-17.

［11］ 周保榮，房大中，孫景強(qiáng).基于軌跡靈敏度分析的電力系統(tǒng)穩(wěn)定器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)［J］.電網(wǎng)技術(shù)，2004，28 (19):20-23.Zhou Bao-rong，F(xiàn)ang Da-zhong，Sun Jing-qiang.Tuning of PSS parameters using optimization approach based on trajectory sensitivity analysis［J］.Power System Technology，2004，28(19):20-23.

［12］ 趙書強(qiáng)，常鮮戎，賀仁睦，等.PSS控制過程中的借阻尼現(xiàn)象與負(fù)阻尼效應(yīng)［J］.中國電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2004，24(5):7-11.Zhao Shu-qiang，Chang Xian-rong，He Ren-mu，et al.Borrow damping phenomena and negative damping effect of PSS control［J］.Proceedings of the CSEE，2004，24 (5):7-11.