空間四面體翻滾機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及仿真實(shí)驗(yàn)

張利格 畢樹生

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院,北京 100191)

彭朝琴

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)

空間四面體翻滾機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)分析及仿真實(shí)驗(yàn)

張利格 畢樹生

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院,北京 100191)

彭朝琴

(北京航空航天大學(xué) 自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院,北京 100191)

對四面體及多面體機(jī)器人的研究現(xiàn)狀進(jìn)行了分析.介紹了空間四面體翻滾機(jī)器人的結(jié)構(gòu),由 6根伸縮臂和 4個(gè)頂部節(jié)點(diǎn)平臺(tái)組成,通過伸縮臂的運(yùn)動(dòng)可以使四面體的重心失穩(wěn),實(shí)現(xiàn)翻滾運(yùn)動(dòng).結(jié)合四面體翻滾機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)形式,給出了翻滾的臨界條件,根據(jù)不同的運(yùn)動(dòng)階段對四面體翻滾機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析.利用 Adams虛擬樣機(jī)技術(shù)對四面體翻滾機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真,并進(jìn)行了樣機(jī)的實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了方法的正確性.該分析結(jié)果可進(jìn)一步用于空間四面體翻滾機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)分析和優(yōu)化設(shè)計(jì).

空間四面體翻滾機(jī)器人;運(yùn)動(dòng)學(xué)分析;臨界條件;運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

空間四面體翻滾機(jī)器人的概念最初由 Ham linand和 Sanderson[1-2]等人提出,它是一種變幾何桁架機(jī)構(gòu)(VGTM,Variable Geometry Truss Mechanisms),由靜定桁架中某些桿件(伸縮桿)的長度可伸縮變化來實(shí)現(xiàn)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng),是多自由度多環(huán)路的新型機(jī)構(gòu).伸縮桿的運(yùn)動(dòng)可以使四面體的形狀發(fā)生變化,重心位置隨之而變,當(dāng)超越其穩(wěn)定區(qū)域時(shí),四面體機(jī)器人失穩(wěn),實(shí)現(xiàn)翻滾運(yùn)動(dòng).通過多個(gè)四面體單元的組合及拆分可以構(gòu)成四重四面體乃至十二重四面體等多面體機(jī)器人系統(tǒng).隨著機(jī)器人重?cái)?shù)的增加,機(jī)器人的自由度會(huì)隨之增加,因而能夠?qū)崿F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)也更為復(fù)雜[3-4].

空間四面體翻滾機(jī)器人較常規(guī)移動(dòng)機(jī)器人具有以下幾個(gè)優(yōu)點(diǎn):①結(jié)構(gòu)上具有對稱性和穩(wěn)定性,四面體單元是最穩(wěn)定的空間構(gòu)型,不存在傾覆問題;②運(yùn)動(dòng)靈活,通過改變運(yùn)動(dòng)形式以適應(yīng)不同的環(huán)境,比如越障、穿越隧道、跨過溝渠等;③結(jié)構(gòu)簡單,便于模塊化,可以組成多種多樣的多面體機(jī)器人形式,在民用、軍用及太空探測領(lǐng)域都有廣闊的應(yīng)用前景.

目前,對空間四面體翻滾機(jī)器人的研究比較少.NASA率先開展了四面體翻滾機(jī)器人樣機(jī)的研究,迄今已經(jīng)有 3代樣機(jī)產(chǎn)生[3-5].現(xiàn)階段只有第 1代樣機(jī)實(shí)現(xiàn)了連續(xù)的翻滾運(yùn)動(dòng),第 2、第 3代樣機(jī)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,運(yùn)動(dòng)控制方法正在研究中.文獻(xiàn)[6]描述了一個(gè)簡易四面體翻滾機(jī)器人的制作方法,驗(yàn)證了四面體機(jī)器人翻滾的可能.國內(nèi)北京交通大學(xué)的朱磊[7]等人吸取 NASA的設(shè)計(jì)靈感,提出了基于四桿機(jī)構(gòu)的空間滾動(dòng)步行移動(dòng)機(jī)構(gòu),對該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析,具有運(yùn)動(dòng)學(xué)模型簡單,方便控制,抗沖擊能力強(qiáng),對稱性好等特點(diǎn).但此機(jī)構(gòu)和四面體翻滾機(jī)器人差別較大,前者是基于四桿機(jī)構(gòu)提出的過約束六桿 SU機(jī)構(gòu),后者是一種桿長可變的桁架機(jī)構(gòu),運(yùn)動(dòng)方式和機(jī)構(gòu)分析方法都有所不同.

由于空間四面體翻滾機(jī)器人獨(dú)特的運(yùn)動(dòng)方式,其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析方法也不同于目前傳統(tǒng)機(jī)器人的分析方法.NASA雖然成功研制了第 1代樣機(jī),但是并未見到相關(guān)的理論分析研究.為此,本文結(jié)合四面體翻滾機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)形式,將一個(gè)翻滾周期分為 4個(gè)階段:①翻滾前變形;②翻滾;③觸地;④回復(fù)原狀.對四面體機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析.最后對機(jī)器人進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真和數(shù)據(jù)對比,研制的樣機(jī)也成功完成了翻滾實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了方法的正確性.

1 空間四面體機(jī)器人結(jié)構(gòu)介紹

圖 1為本文研究的空間四面體翻滾機(jī)器人的結(jié)構(gòu)簡圖,它由 6根伸縮臂和 4個(gè)頂部節(jié)點(diǎn)平臺(tái)組成,各伸縮臂的原始長度相同.4個(gè)節(jié)點(diǎn)平臺(tái)將6根伸縮臂以虎克鉸連接,節(jié)點(diǎn)和伸縮臂都可以自由運(yùn)動(dòng).每個(gè)伸縮臂由一個(gè)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng),采用繩傳動(dòng)機(jī)構(gòu),通過電動(dòng)機(jī)的正反轉(zhuǎn)使之按照一定規(guī)律做大行程往復(fù)式伸縮運(yùn)動(dòng),通過調(diào)整伸縮臂的個(gè)數(shù)和其伸縮比,產(chǎn)生不同的運(yùn)動(dòng)模式,實(shí)現(xiàn)空間四面體翻滾機(jī)器人的不同步態(tài).

圖 1 空間四面體翻滾機(jī)器人的結(jié)構(gòu)圖

2 翻滾臨界條件

空間四面體翻滾機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)模式有多種,本文選擇其中一種運(yùn)動(dòng)模式進(jìn)行分析,見圖 2.DB和 DC兩臂不伸長 lDC=lDB=l0;AD臂伸長后的桿長 lAD=l1,BC臂伸長后的桿長 lBC=l2;AB,AC兩臂伸縮時(shí)以同一速度伸長,伸長后的桿長 lAB=lAC=l3.四面體將會(huì)發(fā)生以△ADM為鏡面的對稱變形(M為 BC的中點(diǎn)),變形到一定程度,重心偏離穩(wěn)定區(qū)域[8-9],四面體將繞 BC軸發(fā)生翻滾,運(yùn)動(dòng)過程見圖 2.這種情況下,△ADM各邊長為

圖 2 翻滾過程示意圖

假設(shè)組成空間四面體翻滾機(jī)器人的各構(gòu)件質(zhì)量均勻分布,四面體與地面接觸的△BCD就是其對應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)域,可以確定,當(dāng)滿足下面條件時(shí),四面體將發(fā)生翻滾:△ADM的中心 G(即四面體的重心)在地面上的投影 P與 M點(diǎn)重合或落在DM的延長線上,即 GP⊥DM.故有如下幾何關(guān)系:

根據(jù)以上條件,可以得到此時(shí)各桿長應(yīng)滿足如下關(guān)系:

式(5)即為到達(dá)翻滾臨界條件時(shí)各桿長應(yīng)滿足的關(guān)系.

4根伸縮臂等速同步伸長是上述運(yùn)動(dòng)形式的一種特殊情況,可得翻滾臨界條件:

式中,ls為伸縮臂等速伸長后的桿長.

3 翻滾前變形的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

根據(jù)空間四面體機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和運(yùn)動(dòng)方式,建立如圖 3所示的坐標(biāo)系,基于頂點(diǎn) D(翻滾前不動(dòng))的慣性坐標(biāo)系{O0}和頂點(diǎn)坐標(biāo)系{O1}.坐標(biāo)系 O1x1y1z1的 z1軸與△ABC平面垂直,y1軸與△ABC的中線 AM重合,x1軸根據(jù)右手定則確定.由此可見,z1與 z0之間的夾角 α就是兩平面 ABC和平面 BCD之間的二面角.

圖 3 四面體翻滾機(jī)器人坐標(biāo)系

從頂點(diǎn)坐標(biāo)系 O1x1y1z1到慣性坐標(biāo)系 O0x0y0z0的變換矩陣為

其中

3.1 Jacobi矩陣

假設(shè)空間四面體翻滾機(jī)器人的構(gòu)件 i質(zhì)心位置、姿態(tài)分別用 Ωi,Φi表示,Ωi,Φi和各伸縮臂的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)變量為非線性函數(shù),可以表示為

將其對時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)可得構(gòu)件 i質(zhì)心速度vi和角速度 ωi:

對時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)得到構(gòu)件i質(zhì)心速度 ai和角速度εi:

JT,i和 JR,i分別稱之為構(gòu)件 i的平動(dòng)部分 Jacobi矩陣和轉(zhuǎn)動(dòng)部分 Jacobi矩陣.

3.2 頂部節(jié)點(diǎn)的 Jacobi矩陣

以頂部節(jié)點(diǎn) A為例,首先求得 A在慣性坐標(biāo)系下的質(zhì)心位置和姿態(tài):[θ1,0,0,1]T,其中zA=Δz.于是有

根據(jù)式(10)、式(11),對 PA,φA分別求關(guān)于l1,l2,l3的偏導(dǎo)數(shù),得到固定構(gòu)件 D1和活動(dòng)構(gòu)件U1的平動(dòng) Jacobi矩陣 JA,v和轉(zhuǎn)動(dòng) Jacobi矩陣JA,w,即有速度

加速度

同樣方法可以求得節(jié)點(diǎn)平臺(tái) B和 C的 Jacobi矩陣 JB,v,JB,w,JC,v,JC,w和相應(yīng)的速度、加速度.

3.3 伸縮臂 AD,DB,DC,BC的 Jacobi矩陣

四面體翻滾機(jī)器人的伸縮臂由固定構(gòu)件 Di和活動(dòng)構(gòu)件 Ui兩個(gè)部分構(gòu)成,伸縮臂 AD的固定構(gòu)件 D1和活動(dòng)構(gòu)件 U1的質(zhì)心坐標(biāo):

構(gòu)件 Di,Ui的質(zhì)心姿態(tài)相同,有

其中,ld,lu分別為固定構(gòu)件的長度和活動(dòng)構(gòu)件的長度,6根伸縮臂相同.

根據(jù)式(10)、式(11),求得 D1和 U1的 Jacobi矩陣

同樣方法可求得 DB,DC,BC伸縮臂的固定構(gòu)件 Di和活動(dòng)構(gòu)件 Ui的 Jacobi矩陣.

3.4 伸縮臂 AB,AC的 Jacobi矩陣

伸縮臂 AB的固定構(gòu)件 D5和活動(dòng)構(gòu)件 U5在頂點(diǎn)坐標(biāo)系下的質(zhì)心坐標(biāo):

D5和 U5的質(zhì)心姿態(tài)相同,有

坐標(biāo)變換到慣性坐標(biāo)系下有

根據(jù)式(10)、式(11),求得 D5和 U5的 Jacobi矩陣 Jd5,v,Ju5,v,Jd5,w,Ju5,w.同樣方法求得 AC的固定構(gòu)件 D6和活動(dòng)構(gòu)件 U6的 Jacobi矩陣.

四面體翻滾機(jī)器人回復(fù)階段的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法可以參考翻滾前的方法,下文將不再贅述.

4 翻轉(zhuǎn)階段

圖 2給出了空間四面體翻滾機(jī)器人從伸縮臂開始伸長到實(shí)現(xiàn)翻滾的示意圖,可繞底面△BCD的任意一邊為軸進(jìn)行翻轉(zhuǎn).以繞 BC軸為例進(jìn)行翻滾階段的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析,設(shè)桿 BC的向量為

節(jié)點(diǎn) A和 D的期望翻滾路徑可以表示如下:

其中 i=A,D.旋轉(zhuǎn)矩陣

其中,φ是翻滾時(shí)刻△ABC與水平面的夾角;γ=1-cosφ是節(jié)點(diǎn) i的初始位置;是節(jié)點(diǎn) i的需要位置.通過選擇不同的翻滾軸,可以規(guī)劃出四面體機(jī)器人行進(jìn)的不同路徑.

圖 4 空間四面體翻滾機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡

圖 4是繞不同軸翻滾時(shí)空間四面體翻滾機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡,可以看出,四面體在運(yùn)動(dòng)過程中可以隨時(shí)改變行進(jìn)方向,具有非常大的靈活性,所以說它對非結(jié)構(gòu)化的環(huán)境具有很強(qiáng)的適應(yīng)性.

5 觸地階段

將四面體翻滾機(jī)器人簡化為剛體,因此可以將整個(gè)機(jī)構(gòu)的質(zhì)量集中在一點(diǎn),如圖 5.設(shè)觸地時(shí)地面的沖擊力為 R,列寫牛頓方程和歐拉方程:

其中,r是質(zhì)心(mC)到 nA的位置矢量;mC是將四面體翻滾機(jī)器人簡化為剛體后的質(zhì)量;nC是質(zhì)心的位置矢量;IC,wC,αC分別是與之對應(yīng)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,轉(zhuǎn)動(dòng)角速度,加速度.

圖 5 空間四面體翻滾機(jī)器人觸地時(shí)的動(dòng)態(tài)模型

將四面體頂部節(jié)點(diǎn)觸地的過程看作是一個(gè)線性彈簧-阻尼系統(tǒng)[10-11],如圖 5,有

其中,k和 c是彈簧和阻尼矩陣;δi是落地節(jié)點(diǎn)與地面接觸時(shí)的微小位移;頂部節(jié)點(diǎn)的接觸力 R與位移 δ和對應(yīng)的速度·δ成正比.

ii

6 仿真與實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法的有效性,建立了四面體翻滾機(jī)器人的仿真模型,按照上面所述的運(yùn)動(dòng)模式,使模型在水平面完成翻滾的動(dòng)作.仿真模型的參數(shù)如下:伸縮臂原始長度 l0=1 000mm,固定構(gòu)件長度 ld=900mm,活動(dòng)構(gòu)件長度 lu=960mm.伸縮臂的初速度為零,四根伸縮臂等速伸長,運(yùn)動(dòng)規(guī)律如下:0～2 s,勻加速伸長,加速度a=150mm/s2;2～3s,勻速伸長,a=0;3～4s,勻減速伸長,a=-300mm/s2;4 s～te,自由落體.

仿真結(jié)果表明,空間四面體翻滾機(jī)器人能夠按照上述運(yùn)動(dòng)模式實(shí)現(xiàn)翻滾動(dòng)作,如圖 6.在 t=4.0s時(shí)刻,到達(dá)翻滾臨界條件,伸縮臂的長度約為 1715mm,與幾何翻滾臨界條件基本一致.稍有差別的原因除了仿真模型和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建模誤差外,主要是由于文中給出的翻滾臨界條件只是從幾何學(xué)的角度考慮,暫時(shí)還沒有考慮動(dòng)力學(xué)的影響.現(xiàn)階段都是在伸縮臂運(yùn)動(dòng)速度比較小的情況下翻滾,但當(dāng)在運(yùn)動(dòng)速度增大的情況下,動(dòng)力學(xué)的影響將加大,下階段工作將對此展開深入研究.

圖 6 空間四面體翻滾機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果

圖 7 空間四面體翻滾機(jī)器人樣機(jī)實(shí)驗(yàn)

圖 7是開發(fā)的空間四面體翻滾機(jī)器人原理樣機(jī),通過實(shí)驗(yàn)可以看出,機(jī)器人能夠按照預(yù)設(shè)的運(yùn)動(dòng)路徑實(shí)現(xiàn)翻滾動(dòng)作,并且回復(fù)原狀,完成一個(gè)翻滾周期的運(yùn)動(dòng).下一步動(dòng)作可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)需要選擇翻滾軸,并且方向、步長、高度等都可以靈活掌握.與同等大小的其他類型機(jī)器人相比,具有結(jié)構(gòu)簡單、穩(wěn)定性高、運(yùn)動(dòng)靈活等諸多優(yōu)點(diǎn),在危險(xiǎn)場合作業(yè)、軍事偵察、太空探測等領(lǐng)域都有廣闊的應(yīng)用前景.

7 數(shù)據(jù)分析

圖 8a為用文中方法得到的四面體翻滾機(jī)器人頂部節(jié)點(diǎn) A在高度方向(z方向)的位置曲線,圖 8b為與之對應(yīng)的仿真模型的位置曲線.

圖 9a為用文中方法得到的四面體翻滾機(jī)器人頂部節(jié)點(diǎn) A在 z方向的速度曲線,圖 9b為與之對應(yīng)的仿真模型的速度曲線.

圖8 頂部節(jié)點(diǎn) A在z方向的位置曲線

圖9 頂部節(jié)點(diǎn) A在z方向的速度曲線

可以看出,仿真曲線與理論曲線基本一致,仿真模型較好地反映了實(shí)際模型,證明本文提出的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法的正確性.在某些地方,曲線有些微小差異,主要是由于仿真模型和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的建模誤差(仿真模型中在 t=4.8 s時(shí)頂點(diǎn)觸地).

圖 10為頂部節(jié)點(diǎn)撞擊地面時(shí)的受力圖.可以看出,翻滾時(shí)刻節(jié)點(diǎn)速度大將導(dǎo)致撞擊地面時(shí)的沖擊力增大,驗(yàn)證了觸地階段的分析模型.據(jù)此,可以得到合理控制翻滾時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)速度,頂部節(jié)點(diǎn)選擇彈性材料包裹,可以達(dá)到減小沖擊力的目的.本文設(shè)計(jì)的四面體翻滾機(jī)器人的頂部節(jié)點(diǎn)采用橡膠包裹,起到了很好的減震作用.

圖 10 頂部節(jié)點(diǎn)撞擊地面時(shí)的受力對比圖

8 結(jié) 論

1)介紹了空間四面體翻滾機(jī)器人的結(jié)構(gòu),結(jié)合運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),分階段進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析;

2)利用 Adams虛擬樣機(jī)平臺(tái)建立了空間四面體翻滾機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型,通過仿真驗(yàn)證了本文所提運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法的正確性,該運(yùn)動(dòng)學(xué)模型能準(zhǔn)確反映空間四面體翻滾機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)情況;

3)進(jìn)行了空間四面體翻滾機(jī)器人的樣機(jī)實(shí)驗(yàn),也驗(yàn)證了上述理論分析的正確性:

4)本文研究對此類型機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)分析、優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制具有重要的參考價(jià)值.

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(編 輯:文麗芳)

Motion analysis and simulation of tetrahedral rolling robot

Zhang Lige BiShusheng

(School of Mechanical Engineering and Automation,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

Peng Zhaoqin

(School of Automation Science and Electrical Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

The research status of tetrahedral robot was analyzed.The mechanism of tetrahedral rolling robot was introduced.The robot comprises of six extension struts and four node flats.When the center of gravity(COG)of tetrahedron exceeds the stability region,the robot will roll.Kinematic model in different motion phase was analyzed according to the structure and motion characteristic of the tetrahedral robot,and the rolling critical condition was formulated.The simulation model was built by virtual flats oft ware Adams,and the effectiveness of the method was testified through simulation and experiment.The results provide important reference for the dynamic analysis,optimization design and control of the tetrahedral rolling robot.

tetrahedral rolling robot;kinematic analysis;rolling critical condition;motion simulation

TP 242

A

1001-5965(2011)04-0415-06

2010-01-21

張利格(1978-),女,北京人,博士后,zhanglige@buaa.edu.cn.