慣導(dǎo)平臺歷次測試數(shù)據(jù)時間序列建模分析

姜泉璐，汪立新，吳玉彬，楊建業(yè)，呂永佳

（第二炮兵工程學(xué)院304教研室，陜西西安710025）

時間序列是隨時間變化而又相互關(guān)聯(lián)的數(shù)據(jù)序列，通常把按時間順序排列的觀測數(shù)據(jù)序列稱為一個時間序列。由文獻(xiàn)[2]可知，時間是影響慣導(dǎo)平臺穩(wěn)定性的主要因素，隨著時間的推移部分慣導(dǎo)平臺參數(shù)的穩(wěn)定性會發(fā)生比較明顯的變化。因此研究慣導(dǎo)平臺參數(shù)的時間特性是非常必要的。慣導(dǎo)平臺的測試雖然是以一定的時間順序來進(jìn)行的，但受到測試時機(jī)的限制并非等時間間隔的。

慣導(dǎo)平臺具有穩(wěn)定期指標(biāo)，但實(shí)際很難保證在每個穩(wěn)定期內(nèi)都對慣導(dǎo)平臺進(jìn)行測試，得到的數(shù)據(jù)都比較零亂。直接對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，很難找到描述慣導(dǎo)平臺測試數(shù)據(jù)的規(guī)律。同時由于測試次數(shù)較少，也更增加了描述其時間特性的難度。樣條函數(shù)插值[1]不僅能克服以往插值方式局部特性較差，在端點(diǎn)附近精度較差的不足，而且穩(wěn)定性好，并能保持較高的精度，比較適合在慣導(dǎo)平臺測試數(shù)據(jù)時間序列中應(yīng)用。本文將采用樣條函數(shù)插值法來構(gòu)建慣導(dǎo)平臺測試數(shù)據(jù)需時間序列，為建模分析提供基礎(chǔ)。

1 問題描述

慣導(dǎo)平臺的測試是根據(jù)不同需要來進(jìn)行的，測試的時間間隔不固定。在這種情況下，要通過一次插值來產(chǎn)生慣導(dǎo)平臺誤差系數(shù)的時間序列，其誤差必然很大且插值點(diǎn)很不均勻。從文獻(xiàn)[3]可以看出，慣導(dǎo)平臺誤差系數(shù)的正態(tài)性并不是很好，帶有很大的隨機(jī)性。為此，提出了二次修正插值法，通過兩次使用樣條函數(shù)插值法來構(gòu)造慣導(dǎo)平臺測試數(shù)據(jù)的時間序列。第一次插值完成后，對插值結(jié)果進(jìn)行修正，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行第二次插值，從而獲得所需的慣導(dǎo)平臺測試數(shù)據(jù)的時間序列，為其時間序列建模分析創(chuàng)造條件。

2 平穩(wěn)時間序列線性模型

平穩(wěn)時間序列...，Z-2，Z-1，Z0，Z1，Z2，...，一般EZt=μ≠0，為方便起見，令Wt=Zt-μ，顯然EWt=0。于是得到序列

容易驗(yàn)證它仍然是平穩(wěn)時間序列。均值為零具有有理譜密度的平穩(wěn)時間序列可表示為下面三種形式的一種。

1）自回歸模型任何一個時刻t上的數(shù)值Wt可表示為過去p個時刻上數(shù)值Wt-1，Wt-2，...，Wt-p的線性組合加上t時刻的白噪聲，即可表示為：

其中常數(shù)p為模型的階數(shù)。自回歸模型簡記為AR（p）。

2）滑動平均模型Wt可表示成白噪聲{at}在t和t以前q+1個時刻上數(shù)值at，at-1，at-2，...，at-q的加權(quán)和，即可表示為：

其中常數(shù)q為模型的階數(shù)?；瑒悠骄Ｐ秃営洖镸A（q）。

3）自回歸滑動平均模型自回歸滑動平均模型可表示為：

p，q為模型的階數(shù)，自回歸滑動平均模型簡記為ARMA（p，q）。

3 時間序列的平穩(wěn)性檢驗(yàn)

平穩(wěn)性檢驗(yàn)[4－6]主要用來檢驗(yàn)所構(gòu)建的時間序列是否具有不隨時間推移而變化的統(tǒng)計(jì)特性。平穩(wěn)性檢驗(yàn)的方法有參數(shù)檢驗(yàn)法和非參數(shù)檢驗(yàn)法。前者在檢驗(yàn)中需要知道子樣參數(shù)的抽樣分布，而且計(jì)算起來相當(dāng)麻煩，故通常采用后者。非參數(shù)檢驗(yàn)法是在未知子樣參數(shù)抽樣分布情況下的檢驗(yàn)方法。在實(shí)際工作中最常用的是逆序檢驗(yàn)法，其基本原理是：若數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn平穩(wěn)，則分段子序列的均值與方差應(yīng)無顯著差異。

將{yt∶1≤t≤n}按長度M分成K個等長度的子序列（余數(shù)可不用），記為n/M。

其中k，M的選取依數(shù)據(jù)長度n而定。定義

文獻(xiàn)[1]表明：若{yi∶1≤i≤n}具有平穩(wěn)性，則當(dāng)M足夠大獨(dú)立同分布的，且有

統(tǒng)計(jì)量

均近似服從N（0，1）分布。

由此得到{yt∶1≤t≤n}平穩(wěn)檢驗(yàn)的步驟如下：

1）均值平穩(wěn)性檢驗(yàn)的步驟[7]①將{yt∶1≤t≤n}分成k段，每段n/k個數(shù)據(jù)，并相應(yīng)計(jì)算各段均值，得到均值序列{∶1≤i≤k}；②計(jì)算A及u；③由給定置信水平，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布得Za/2；④若|u|＜Za/2，則以置信度1－a認(rèn)為該殘差數(shù)據(jù)序列具有平穩(wěn)性，否則認(rèn)為是不平穩(wěn)的。

2）方差平穩(wěn)性檢驗(yàn)的步驟步驟同1的均值性平穩(wěn)檢驗(yàn)步驟，只是{yt∶1≤t≤n}分段后計(jì)算每段的方差，得到方差序列{∶1≤i≤k}，在計(jì)算B及v，并進(jìn)行檢驗(yàn)。

4 二次修正插值法

4.1 第一次修正插值[8-9]

針對慣導(dǎo)平臺標(biāo)定結(jié)果具有穩(wěn)定期這一要求，以其穩(wěn)定期為時間單位，采用三次樣條函數(shù)插值法，對慣導(dǎo)平臺歷次標(biāo)定結(jié)果進(jìn)行第一次插值，以歷次標(biāo)定結(jié)果作為插值的基本點(diǎn)，對于穩(wěn)定期內(nèi)有多次測試的，取其平均值作為基本點(diǎn)。然后，以穩(wěn)定期為單位選擇插值點(diǎn)進(jìn)行插值。這種方法比較符合慣導(dǎo)平臺測試數(shù)據(jù)變化的特點(diǎn)，對插值點(diǎn)的準(zhǔn)確性進(jìn)行檢驗(yàn)的方法是以基本點(diǎn)為依據(jù)，以穩(wěn)定期內(nèi)的指標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)，對插值點(diǎn)進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，最終獲得一個以穩(wěn)定期為基本時間單位的時間序列。稱此時間序列為基本時間序列。

4.2 第二次修正插值

第二次插值的目的是為了擴(kuò)大樣本容量，解決小樣本建模的問題。通過第一次樣條函數(shù)插值之后，獲得了慣導(dǎo)平臺歷次測試數(shù)據(jù)的一個基本時間序列，其樣本容量相對較小。按照目前慣導(dǎo)平臺的實(shí)際情況，所獲得時間序列的容量一般很小，要用一個很小容量的樣本進(jìn)行建模，無法得到一個準(zhǔn)確、完整的模型，也無法準(zhǔn)確預(yù)測慣導(dǎo)平臺誤差系數(shù)的變化趨勢。為此，文提出了第二次修正插值，即在第一次插值所得的時間序列的基礎(chǔ)上進(jìn)行再插值，用于擴(kuò)大樣本容量。插值的原理依然是三次樣條函數(shù)插值法。第二次插值時以第一次插值所得時間序列的元素作為基本點(diǎn)，在相鄰的兩個基本點(diǎn)之間進(jìn)行等點(diǎn)數(shù)插值，插值點(diǎn)的個數(shù)可根據(jù)建模所需樣本容量來選取，一般要使第二次插值所得的時間序列的樣本容量大于50。插值結(jié)果將用第一次修正插值的方法進(jìn)行檢驗(yàn)和修正，以保證任意相鄰的兩個基本點(diǎn)之間的插值結(jié)果滿足穩(wěn)定期穩(wěn)定性要求。

5 應(yīng)用舉例

現(xiàn)以某慣性平臺的誤差數(shù)D1為例來構(gòu)建慣性平臺測試數(shù)據(jù)的時間序列，該慣導(dǎo)平臺3年共測試14次，其中第一年3次，第二年6次，第三年2次，第四年3次，由歷次測試數(shù)據(jù)構(gòu)成的序列稱為原始時間序列，如表1所示。在4年的時間內(nèi)，共得到11個基本點(diǎn)。

在基本點(diǎn)的基礎(chǔ)上用三次樣條函數(shù)法進(jìn)行第一次插值，插值結(jié)果如表2所示。共得到3個插值點(diǎn)，這3個點(diǎn)與基本點(diǎn)一共14個點(diǎn)，就構(gòu)成了某慣性平臺￥誤差系數(shù)的基本時間序列。

表1 原始時間序列Tab.1Original time series

表2 基本時間序列Tab.2Basal time series

在基本時間序列的基礎(chǔ)上用同樣的方法進(jìn)行第二次插值，在每相鄰的兩個基本點(diǎn)之間插入3插值點(diǎn)，得到一個樣本容量為53的二次插值時間序列。基本點(diǎn)、插值點(diǎn)對應(yīng)的曲線圖如圖1所示。

圖1 插值前后比較示意圖Fig.1Interpolation before-and-after schemes

圖1為插值前后比較示意圖，“*”為基本點(diǎn)，“＋”為插值結(jié)果。橫軸上的“*”為繪圖輔助點(diǎn)，沒有任何意義。

預(yù)測結(jié)果與實(shí)際結(jié)果比較圖如圖2所示。預(yù)測結(jié)果與測試的變化趨勢很接近。將測試結(jié)果和預(yù)測結(jié)果按時間順序合并在一起可按其變化趨勢來判斷誤差系數(shù)穩(wěn)定性，能夠體現(xiàn)慣導(dǎo)平臺性能的變化趨勢。

6 結(jié)論

提出的二次修正插值法為慣導(dǎo)平臺誤差系數(shù)的時間序列建模提供了一種研究方法和途徑，特別是非等時間間隔小樣本條件下的建模，具有較好的工程應(yīng)用價值。利用該方法可以達(dá)到兩個目的：其一是能科學(xué)分析慣導(dǎo)平臺的長期穩(wěn)定性，有效地較少測試次數(shù)；其二是和射前標(biāo)定技術(shù)相結(jié)合以延長慣導(dǎo)平臺的穩(wěn)定期，并利用一次通電特性提高慣導(dǎo)平臺的使用精度。

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