PowerCube模塊化機器人工作空間計算

石 磊,許明恒,鄧維鑫,劉 波

(1.西南交通大學 機械工程學院,四川 成都 610031;2.西南科技大學 制造科學與工程學院,四川 綿陽 621010)

隨著機器人技術的深入發(fā)展,現(xiàn)代機器人朝著模塊化、智能化、微型化、仿生化方向發(fā)展[1,2].其中,模塊化機器人可利用一些不同尺寸和性能的可交換的連桿和關節(jié)模塊組合成特定構(gòu)型,能夠方便組裝和拆卸.作為一種新型機器人,模塊化機器人已引起眾多研究者的興趣.具有代表性的PowerCube模塊化機器人是德國AMTEC公司生產(chǎn)的產(chǎn)品,它將運動控制、PID(Proportion Integration Differentiation,PID)控制及大功率電子設備集成到運動模塊,可大大減少重復性的設計工作,具有精度高、噪聲低、運行平穩(wěn)、組裝靈活和應用簡單等特點,在軍事、航天、船舶、環(huán)境檢測等領域都有廣闊的應用前景[3].在模塊化機器人設計、運動規(guī)劃及動力學控制過程中,工作空間是1個需要考慮的重要問題.研究者們在該領域做了大量的工作.趙杰采用降維搜索和二分法計算工作空間邊界點,確定機器人工作空間多連域截面封閉曲線,實現(xiàn)了可重構(gòu)模塊化串聯(lián)機器人工作空間的自動計算[4].蔡蒂根據(jù)噴涂機器人工作情況,采用蒙特卡洛法分析其工作空間并通過機器人正向運動學方程求解得到機器人末端點的集合,從而有效地得到6自由度噴涂機器人的可達工作空間[5].工作空間的確定概括起來主要有3種方法:圖解法、解析法和數(shù)值法.近年來,隨著三維建模軟件的不斷發(fā)展,仿真法被用來求解機器人工作空間.仿真法是在對機器人的結(jié)構(gòu)進行建模的基礎上,利用仿真的形式跟蹤手臂末端軌跡,從而繪制和計算出機器人工作空間[6].雖然工作空間的確定方法不少,但研究者們大多采用單一的工作空間確定方法,無法保證機器人工作空間研究的正確性.

基于上述認識,本文運用D-H坐標系理論為基礎建立了PowerCube模塊化機器人的運動學模型,并開展了正向運動學分析.在比較現(xiàn)有的機器人工作空間求解方法的基礎上,分別利用解析法和數(shù)值法繪制和計算出機器人的工作空間.

1 PowerCube模塊化機器人運動學分析

PowerCube模塊化機器人由各類通用模塊和連接附件組裝而成.根據(jù)工作和環(huán)境的需要,選用不同的模塊可以得到所需的機器人.文獻[7]給出了一種構(gòu)型的PowerCube模塊化機器人,如圖1所示.該機器人是由旋轉(zhuǎn)模塊、手腕模塊和夾持模塊等組成的冗余度機器人.當鎖定第三個模塊時候,構(gòu)成6自由度機器人.該機器人前3個模塊主要用于確定手腕參考點的位置,后3個模塊的軸線交于一點即手腕參考點,用于確定手腕的方位.

圖1 PowerCube模塊化機器人Fig.1 PowerCube modular robot

圖2 PowerCube模塊化機器人各連桿坐標系Fig.2 Coordinate system of link of modular robot

1.1 連桿坐標系和連桿參數(shù)

坐標系的設定采用D-H方法,桿件編號從基座至末端執(zhí)行器依次為0,1,…,6,t.如圖2所示建立模塊化機器人的連桿坐標系.圖中的L2,L3,Lt由實際測量可得到各自大小,分別為L2=287mm,L3=315mm,Lt=226mm.根據(jù)所建立的連桿坐標系確定模塊化機器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)和運動參數(shù),如表1所示.

表1 連桿參數(shù)Tab.1 Parameter of link

表1 中,ai-1為zi-1與zi的公垂距 ;αi-1為 zi-1與 zi的交錯角;di為 xi-1到 zi的交點到Oi的距離 ;θi(i=1,2,…,6)為各模塊的關節(jié)變量.

1.2 運動學方程

運動學方程表示末端執(zhí)行器的位姿與各關節(jié)變量之間的關系.根據(jù)連桿坐標系和連桿參數(shù),可以得到模塊化機器人的運動學方程為

機器人末端坐標系描述機器人末端位姿.它的原點在末端執(zhí)行器上某點,方向由正交矢量n、方位矢量o和接近矢量a來描述,位置由位置矢量p來描述.將連桿參數(shù)代入式(1)和式(2),得到模塊化機器人的末端相對于基坐標系的位姿,可表示為

2 工作空間描述

模塊化機器人的工作空間是指末端執(zhí)行器的夾持中心E在空間活動的最大范圍,即末端執(zhí)行器的夾持中心所掠過的空間.設末端坐標系的原點為夾持中心,則夾持中心的位置矢量 p可以由運動學方程和末端坐標系的位姿表達式得到:

式中:xE,yE,zE為夾持中心在基坐標系下的坐標;qi(i=0,1,…,6)為模塊化機器人的廣義坐標.

用集合的方法,模塊化機器人的工作空間W,可表示為

因此,對1個給定構(gòu)型的機器人,工作空間由廣義坐標qi決定.對于轉(zhuǎn)動副,廣義坐標qi就是其關節(jié)變量θi.

3 工作空間的確定方法

機器人工作空間的確定方法大體上分為圖解法、解析法和數(shù)值法3種.隨著計算機能力的不斷增強,圖解法已日趨淘汰,研究者們越來越傾向于后2種方法.

3.1 蒙特卡羅數(shù)值法

蒙特卡羅方法(又稱隨機模擬方法)與一般數(shù)值計算方法不同,它是以概率統(tǒng)計理論為基礎的1種計算方法,經(jīng)常被用來描述某些隨機的物理現(xiàn)象.采用蒙特卡羅數(shù)值法進行計算可以得到近似的工作空間.夾持中心的位置矢量與關節(jié)變量相關,所有關節(jié)變量在取值范圍內(nèi)隨機取值,由此所得到的末端點隨機值的集合構(gòu)成了機器人的工作空間.

在MATLAB中利用RAND函數(shù)產(chǎn)生隨機值作為一個隨機步長變量,可以得到1組關節(jié)變量值,隨機關節(jié)變量由式(6)求得:

式中:θmini 和θmaxi 分別為第i個關節(jié)變量的最小最大值.

將式(6)代入運動學方程,求得相應末端執(zhí)行器可到達的空間位置點.設定循環(huán)次數(shù)進行計算,利用關節(jié)變量到工作空間的映射關系,產(chǎn)生近似的工作空間的點云數(shù)據(jù).按一定的比例以打點的方式顯示在圖形設備上,可得到模塊化機器人的工作空間.當循環(huán)次數(shù)越多時,計算量越大,近似工作空間與理論工作空間的誤差越小.

設定循環(huán)次數(shù)為10000次,利用蒙特卡羅方法繪制模塊化機器人的近似工作空間云圖,如圖3所示.圖4～6分別表示工作空間在xOy、yOz、xOz 3個平面的投影圖.

圖3 PowerCube模塊化機器人工作空間Fig.3 Workspace of PowerCube modular robot

圖4 xOy平面投影圖Fig.4 xOy projected planform

圖5 yOz平面投影圖Fig.5 yOz projected planform

圖6 xOz平面投影圖Fig.6 xOz projected planform

3.2 分組解析法

分組解析法特別適合于自由度≤6的機器人工作空間的求解.將模塊化機器人的前3桿劃為一組,在第三桿上設置參考點P3,可求得P3在基坐標系中的工作空間的界限曲面.同時,將模塊化機器人的另外3桿劃為另一組,在第六桿上設置參考點P6,最終用求解雙參數(shù)曲面族的包絡面公式求出P6在基坐標系中所形成的工作空間.可見,求工作空間的問題可以歸結(jié)為求曲面族和曲線族的包絡問題[8].

設有曲面∑,其方程為(用向量方程表示)

式中:r是曲面∑的數(shù)學表達式;u,v是曲面的幾何參數(shù).該曲面以β為參數(shù)運動,得曲面族為

利用分組解析法并結(jié)合PRO-E繪制模塊化機器人的工作空間.圖7為工作空間半剖面,圖8為工作空間軸剖線.

圖7 模塊化機器人工作空間半剖面Fig.7 Workspace of modular robot

圖8 工作空間軸剖線Fig.8 Hatching line of workspace

工作空間的極限位置可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學規(guī)劃和優(yōu)化問題來求得,工作空間各極限位置如表2所示.

表2 模塊化機器人工作空間極限位置Tab.2 Limit position of workspace for modular robot

實際計算中,目標函數(shù)里并未出現(xiàn)關節(jié)變量q6,故未列入表中.某些關節(jié)變量在極限位置時的值并不唯一.

4 結(jié)論

通過蒙特卡羅數(shù)值法和分組解析法計算PowerCube模塊化機器人的工作空間,并分別繪制了模塊化機器人的工作空間.比較2種方法所產(chǎn)生的圖形,可以得出:

(1)將圖3和圖7進行比較,可以看出,模塊化機器人的工作空間由一近似的橢球體構(gòu)成.再將圖6和圖8進行比較,可以看出,2種方法所得到的圖形輪廓大體上一致.這說明了各方法分析的正確性,也說明了所繪制的模塊化機器人工作空間的正確性,為模塊化機器人動力學控制和運動規(guī)劃的深入研究打下了基礎.

(2)蒙特卡羅方法算法簡單,表達直觀,但所得到的工作空間圖形輪廓相比之下不很清晰,帶有毛刺.這是因為蒙特卡羅法是采用隨機抽樣組成關節(jié)變量組合來計算三維空間點,與實際的工作空間邊界具有一定的誤差,產(chǎn)生的工作僅僅是近似的工作空間.機構(gòu)的特性不能很好地描述,細節(jié)性的問題很難表示出來.

(3)分組解析法能得到準確、清晰的工作空間.但分組解析法推導過程相對繁瑣復雜,對于自由度大于6的模塊,不宜使用該方法.

因此,在模塊化機器人工作空間計算時,應結(jié)合2種方法的優(yōu)點,才能對模塊化機器人的工作空間有一個全面的了解.

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