三相變四相電力變壓器模型與實驗研究

劉光曄，江 睿，鄒 宇

0 引言

在電氣化鐵路牽引供電系統(tǒng)中，通過三相變兩相平衡牽引變壓器供電，可以抑制負序電流對三相電力系統(tǒng)的影響。如果進一步采用高電壓、大容量AT（自耦變壓器）牽引供電系統(tǒng)，則必須增加2臺自耦變壓器。最早的三相變兩相平衡變壓器出現(xiàn)于20 世紀20 年代，接線方式為T 形耦合接線，或稱斯科特（Scott-Teaser）變壓器。隨著電氣化鐵路發(fā)展的需要，到20 世紀70 年代已經(jīng)形成了系列的平衡變壓器接線方案。在眾多的平衡變壓器接線方案中，從本質(zhì)上看，最基本的只有如下3 種類型，即斯科特變壓器、李布郎克（Le Blanc）變壓器與伍德橋（Wood Bridge）變壓器，而其他方案均可由這3 種變壓器派生而來[1]。

四相輸電系統(tǒng)是最接近三相的多相系統(tǒng)，該系統(tǒng)能大大提高輸電線路的輸送功率密度，既具有多相輸電方式的優(yōu)點，又克服了多相輸電所存在的缺點[2]。四相輸電系統(tǒng)應(yīng)用的重大關(guān)鍵設(shè)備是研究與實施三相變四相及其逆變換的電力變壓器。三相變四相電力變壓器用于電氣化鐵路AT 牽引供電系統(tǒng)，可節(jié)省2 臺自耦變壓器，既節(jié)約了成本，又節(jié)省了占地面積[3，4]。原則上，在平衡變壓器的兩相側(cè)采用增加一套副繞組的雙重接線方案，便可得到三相變四相電力變壓器。而事實上，平衡變壓器單柱繞組數(shù)目較多，平衡條件要求各繞組阻抗關(guān)系嚴格，設(shè)計制造要求較高[5～7]。如果采用雙重接線方案，則單柱繞組數(shù)目增加近一倍，實施時，滿足平衡條件則更加困難，甚至使繞組在空間布置上產(chǎn)生矛盾，無法達到各相參數(shù)平衡的要求。故此，國內(nèi)外尚無研究三相變四相電力變壓器的成功經(jīng)驗。

文獻[8]首次構(gòu)成了一種四相四心柱結(jié)構(gòu)的三相變四相電力變壓器，提出了三相變四相電力變壓器的接線方案。該變壓器的每相鐵心柱上繞組不超過3 個，是不等相變換的最簡單形式，它與現(xiàn)有的各類平衡變壓器比較具有更多的優(yōu)越性。本文建立了該變壓器的數(shù)學(xué)模型，分析了其各繞組阻抗的相互關(guān)系，提出并證明了設(shè)計三相變四相變壓器時，繞組阻抗須滿足的中性點接地條件與平衡條件。設(shè)計制作了三相變四相電力變壓器實驗?zāi)Ｐ?，驗證了所提出的繞組阻抗關(guān)系理論的正確性。

1 三相變四相電力變壓器的基本原理

三相變四相變壓器采用四相四心柱式鐵心，每相均有3 個繞組[8]，繞組接線如圖1 所示。

圖1 三相變四相電力變壓器接線原理圖

設(shè)三相側(cè)的相電壓與四相側(cè)的相電壓之比k =UA/Ua。取各相繞組的匝數(shù)關(guān)系為Wa1/Wa3= k、Wa2= Wa1/2、Wb1= Wb2= Wa1/2、Wa1= Wc1、Wa2= Wc2、Wb1= Wd1、Wb2= Wd2、Wa3= Wb3= Wc3= Wd3。由每相鐵心磁勢平衡的原理，原副邊的電流變換關(guān)系：

根據(jù)式（1），當三相側(cè)電流對稱時，四相側(cè)電流也對稱。

2 三相變四相電力變壓器的數(shù)學(xué)模型

三相變四相電力變壓器接線原理如圖1 所示。同一鐵心柱上各繞組的同名端方向均用箭頭方向標注。各繞組的等值阻抗、電流、電壓均已統(tǒng)一折算到相繞組Wb3的匝數(shù)。另外，各繞組的阻抗、電流、電壓符號中的下標分別與相應(yīng)的繞組符號對應(yīng)。三相側(cè)各繞組的電流、電壓參考方向均與繞組同名端的箭頭方向相同。四相側(cè)各繞組的電壓方向與繞組同名端的箭頭方向相同，但電流方向與繞組同名端的箭頭方向相反?？紤]到繞組a 相與c 相對稱，b 相與d 相對稱，有Zwa1= Zwc1、Zwa2= Zwc2、Zwa3= Zwc3、Zwb1= Zwd1、Zwb2= Zwd2、Zwb3= Zwd3。

對每個鐵心柱上的三繞組變壓器，可以求出各對繞組之間的電壓降：

又各并聯(lián)支路的電壓相等，有：

忽略勵磁電流，有磁勢平衡方程：

設(shè)四相側(cè)任意負載阻抗分別為ZLa、ZLb、ZLc、ZLd，同樣已折算到相繞組Wa1的匝數(shù)，則：

由各繞組的匝數(shù)比例關(guān)系，三相輸入電流和輸入電壓的實際值分別為

節(jié)點M 的電流方程為

其中三繞組變壓器等值電路中的各繞組等值阻抗按如下方法計算

式（2）—式（8）即為三相變四相變壓器的數(shù)學(xué)模型。通過直接求解數(shù)學(xué)模型，不僅可以計算平衡變壓器在各種短路及運行情況下，變壓器各繞組的電流分布；還可以考慮繞組阻抗存在設(shè)計誤差與制造誤差時，分析變壓器運行特性的變化情況。通過對非理想?yún)?shù)平衡變壓器特性進行仿真分析，可以詳細討論不同的繞組阻抗變化對變壓器零序電流與負序電流的影響，為設(shè)計制造變壓器確定繞組阻抗時應(yīng)優(yōu)先控制的參數(shù)誤差提供理論指導(dǎo)。

下面再進一步討論方程組的數(shù)目與變量的數(shù)目。式（2）—式（8）聯(lián)立方程組總計27 個方程。每一個繞組均有電流和電壓2 個變量，有12 個繞組24 個變量，加上3 相輸入電流和3 相輸入電壓，總計30 個變量。如果已知三相側(cè)電源的3 相輸入電壓，則方程組即可求解，也就是說，變壓器的運行狀態(tài)可以完全確定。如果變壓器三相側(cè)中性點O不接地，那么只能已知電源輸入的2 個獨立的線電壓，此時可增加中性點O的節(jié)點電流方程IA+ IB+ IC= 0，方程組亦可求解。

3 變壓器的繞組阻抗關(guān)系

變壓器在正常運行情況下，四相側(cè)負載阻抗相等時，要求三相側(cè)電流對稱；四相側(cè)負載阻抗任意不相等條件下，三相側(cè)仍無零序電流。為此，在設(shè)計制造變壓器時，各繞組之間的阻抗關(guān)系必須滿足嚴格的條件。下面進一步分析該變壓器的中性點接地條件和三相（或四相）輸入阻抗的平衡條件。

3.1 中性點接地條件分析

將式（3）—式（6）代入式（2），假定中性點不接地，考慮IA+ IB+ IC= 0 或(Ia1- Ic1) = 2(Ia2-

I

c2)，并令：

則有 UAO+ UBO+ UCO= 0

于是，只要滿足式（10），就有UAO+ UBO+UCO= 0，即變壓器三相電壓的零序分量（中性點O的電壓）為0。所以，當三相側(cè)輸入三相對稱電壓時，如果變壓器中性點不接地，四相側(cè)帶任意不對稱負載，中性點O 的電位始終為0，是一虛地點。也就是說，在設(shè)計制造變壓器時，只要各繞組的等值阻抗?jié)M足式（10）確定的約束條件，則中性點懸空的電位始終不會發(fā)生偏移。此時如果中性點直接接地，也不會產(chǎn)生零序電流。故稱式（10）為該變壓器的中性點接地條件。將式（9）代入式（10），中性點接地條件可以進一步表達成如下每對繞組之間的阻抗約束關(guān)系：

3.2 三相輸入阻抗平衡條件分析

當四相側(cè)各相負載阻抗相等，即ZLa=ZLb= ZLc= ZLd= ZL時，并考慮到已滿足式（10）中性點接地條件中的ZWb1= ZWb2，并令：

則ZA- ZB= ZA- ZC= 0。故式（12）即為變壓器三相輸入阻抗平衡的條件。根據(jù)變壓器的可逆原理，如果在三相側(cè)接三相對稱負載，則四相側(cè)的各相輸入阻抗亦平衡。將式（9）代入式（12），平衡條件可以進一步表達成如下每對繞組之間的阻抗約束關(guān)系：

3.3 繞組布置的實施方案

根據(jù)繞組阻抗的約束條件，簡要討論變壓器繞組布置的實施方案。在a 相鐵心柱上，因為繞組Wa2的匝數(shù)只有繞組Wa1的匝數(shù)的一半，為了使繞組之間偶合緊密，將繞組Wa2布置在繞組Wa1與繞組Wa3的中間。根據(jù)式（11），要求在b 相鐵心柱上，繞組Wb1與Wb2的布置具有對稱性，故此Wb1與Wb2可以考慮采用交叉繞組的布置方案。顯然，由于Wb1與Wb2采用對稱交叉分裂形式，故式（10）的第二式便自然得到滿足。變壓器繞組布置方案見圖2。

圖2 平衡變壓器a 相、b 相繞組布置圖

4 模型實驗驗證

為了驗證本文提出的變壓器繞組阻抗約束條件以及變壓器模型的正確性，設(shè)計制作了1 臺變壓器模型。變壓器銘牌參數(shù)為，SN= 800 V·A，400/230 V，VS% = 10.5，ZS= 21 Ω。各繞組短路阻抗測試值見表1。值得注意的是，在變壓器模型設(shè)計中，由于繞組阻抗值中的電阻部分較大，必須計及其對變壓器短路阻抗的影響。

表1 各繞組短路阻抗實驗結(jié)果數(shù)據(jù)表

定義|ΔO|%為不滿足中性點接地條件式（11）的誤差與短路阻抗ZS之比，定義|ΔP|%為不滿足平衡條件式（13）的誤差與短路阻抗ZS之比。對該變壓器進行短路試驗、額定負載（cosφ = 1.0）試驗與半載試驗，結(jié)果見表2。表2 中，I0/I1、I2/I1分別表示零序電流、負序電流與正序電流的比值，它們體現(xiàn)了三相側(cè)電流的不對稱度。

前面理論證明，如果|ΔO|%≠0，則短路試驗三相側(cè)有零序電流；如果|ΔP|%≠0，則短路試驗三相側(cè)有負序電流。由表2 可以看出，|ΔO|%與|ΔP|%越大，短路試驗時三相側(cè)的零序電流與負序電流越大。當負載達到額定值時，零序電流不變，而負序電流顯著減小，這證實了零序電流與變壓器的負載阻抗無關(guān)，負序電流的大小主要由負載阻抗的大小及其是否對稱決定。在分析中性點接地條件的過程中，中性點不接地時的零序電壓與中性點接地條件的誤差量成正比，表明零序電流與|ΔO|%成正比。再來討論如何優(yōu)先滿足變壓器繞組阻抗設(shè)計的約束條件。盡管平衡條件誤差大于中性點接地條件誤差（|ΔP|%＞|ΔO|%），可是隨著負載阻抗的增大，負序電流顯著減小。當由短路試驗達到額定負載時，負序電流已變得很小，而零序電流的相對值始終維持不變。所以，根據(jù)以上分析，在設(shè)計平衡變壓器的阻抗約束關(guān)系中，應(yīng)優(yōu)先滿足中性點接地條件的要求。

表2 短路試驗與額定負載試驗結(jié)果數(shù)據(jù)表

根據(jù)變壓器中性點接地條件與平衡條件，在設(shè)計各對繞組之間的短路阻抗時，可以分析各對繞組之間的短路阻抗設(shè)計值對運行特性影響的靈敏性。在式（11）中各個阻抗值前面的系數(shù)為該繞組阻抗對零序電流影響的靈敏度系數(shù)；在式（13）中各個阻抗值前面的系數(shù)則為該繞組阻抗對負序電流影響的靈敏度系數(shù)。

5 結(jié)論

（1）建立了三相變四相變壓器的數(shù)學(xué)模型，通過求解數(shù)學(xué)模型，不僅可以計算平衡變壓器在各種短路及運行情況下，變壓器各繞組的電流分布，還可以考慮繞組阻抗存在設(shè)計誤差與制造誤差時，分析變壓器運行特性的變化情況。

（2）分析設(shè)計三相變四相變壓器時，繞組阻抗必須滿足的中性點接地條件式（11）與平衡條件式（13）。當滿足中性點接地條件時，變壓器任意運行狀態(tài)三相側(cè)無零序電流。當滿足平衡條件時，變壓器短路試驗三相側(cè)輸入阻抗平衡。

（3）模型實驗表明，中性點接地條件相對誤差|ΔO|%與平衡條件相對誤差|ΔP|%越大，短路試驗時三相側(cè)的零序電流與負序電流越大。在設(shè)計平衡變壓器必須滿足的阻抗約束關(guān)系中，應(yīng)優(yōu)先滿足中性點接地條件的要求，為如何控制平衡變壓器參數(shù)的設(shè)計誤差提供了理論指導(dǎo)。

（4）制作的三相變四相變壓器的試驗?zāi)Ｐ万炞C了該種變壓器的可行性。模型實驗表明，變壓器在正常運行條件下，三相側(cè)僅存在很小的零序電流與負序電流。

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